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Anfang Präsentation 10. November, 2004 Lösung nichtlinear Gleichungssysteme In dieser Vorlesung werden wir uns mit der gemischt symbolischen und numerischen.

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1 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Lösung nichtlinear Gleichungssysteme In dieser Vorlesung werden wir uns mit der gemischt symbolischen und numerischen Lösung algebraisch gekoppelter nichtlinear Gleichungs- systeme befassen. Die Aufschneidemethode eignet sich auch zur effizienten Behandlung nichtlinear Gleichungs- systeme. Die numerische Iteration nichtlinear Gleichungs- systeme kann auf die Schnittvariablen begrenzt werden.

2 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Übersicht Nichtlineare GleichungssystemeNichtlineare Gleichungssysteme Newton IterationNewton Iteration Newton Iteration mit AufschneidenNewton Iteration mit Aufschneiden Newton Iteration linearer GleichungssystemeNewton Iteration linearer Gleichungssysteme

3 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel I

4 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel II p 2 p 0 Stausee Schleuse Verbrau- cher I Verbrau- cher II Umgebungs- druck p 1 q 1 q 3 q 2

5 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel III q p q: Durchflussrate p: Druckabfall q p q = k · sign( p ) · p p = sign(q) · q 2 / k

6 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel IV p 2 p 0 Stausee Schleuse Verbrau- cher I Verbrau - cher II Umgebungs- druck p 1 q 1 q 3 q 2 p 2 = 100 p 0 = 1 f S (q 1,p 1,p 2 ) = 0 f I (q 2,p 0,p 1 ) = 0 f II (q 3,p 0,p 1 ) = 0 q 1 = q 2 + q 3

7 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel V p 2 = 100 p 0 = 1 f S (q 1,p 1,p 2 ) = 0 f I (q 2,p 0,p 1 ) = 0 f II (q 3,p 0,p 1 ) = 0 q 1 - q 2 - q 3 = 0 p 2 = 100 p 0 = 1 f S (q 1,p 1,p 2 ) = 0 f I (q 2,p 0,p 1 ) = 0 f II (q 3,p 0,p 1 ) = 0 q 1 - q 2 - q 3 = 0 Nichtlineares Gleichungssystem in 4 Unbekannten

8 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newtonsches Iterationsverfahren I f(x) = 0 x n f n x 0 x i+1 = x i - x i H n n x i = H(x i ) -1 · f(x i ) x n H(x) = f(x) x Nichtlineares Gleichungssystem: Anfangsschätzwert: Iterationsformel: Inkrement: Hesssche Matrix:

9 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newtonsches Iterationsverfahren: Beispiel I x = p1q1q2q3p1q1q2q3 p 2 - p 1 - sign(q 1 ) · q 1 2 / k 1 p 1 – p 0 - sign(q 2 ) · q 2 2 / k 2 p 1 – p 0 - sign(q 3 ) · q 3 2 / k 3 q 1 - q 2 - q 3 f(x) = = 0 - 2|q 1 |/k 1 - 2|q 2 |/k 2 - 2|q 3 |/k H(x) =

10 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newtonsches Iterationsverfahren II x i = H(x i ) -1 · f(x i ) H(x i ) · x i = f(x i ) x n Bestimmung des Inkrements: Lineares Gleichungssystem in den Unbekannten x

11 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newton Iteration mit Schneideverfahren I Wahl p 2 = 100 p 0 = 1 f S (q 1,p 1,p 2 ) = 0 f I (q 2,p 0,p 1 ) = 0 f II (q 3,p 0,p 1 ) = 0 q 1 - q 2 - q 3 = 0 p 2 = 100 p 0 = 1 f S (q 1,p 1,p 2 ) = 0 f I (q 2,p 0,p 1 ) = 0 f II (q 3,p 0,p 1 ) = 0 q 1 - q 2 - q 3 = 0 p 2 = 100 p 0 = 1 f S (q 1,p 1,p 2 ) = 0 f I (q 2,p 0,p 1 ) = 0 f II (q 3,p 0,p 1 ) = 0 q 1 - q 2 - q 3 = 0

12 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newton Iteration mit Schneideverfahren II p 2 = 100 p 0 = 1 f S (q 1,p 1,p 2 ) = 0 f I (q 2,p 0,p 1 ) = 0 f II (q 3,p 0,p 1 ) = 0 q 1 - q 2 - q 3 = 0 p 2 = 100 p 0 = 1 q 1 = q 2 + q 3 p 1 = f 1 (q 1,p 2 ) q 2 = f 2 (p 0,p 1 ) q 3 = f 3 (p 0,p 1 ) q 1 = f 2 (p 0,p 1 ) + f 3 (p 0,p 1 ) = f 2 (p 0, f 1 (q 1,p 2 ) ) + f 3 (p 0, f 1 (q 1,p 2 ))

13 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newton Iteration mit Schneideverfahren III q 1 = f 2 (p 0,p 1 ) + f 3 (p 0,p 1 ) = f 2 (p 0, f 1 (q 1,p 2 ) ) + f 3 (p 0, f 1 (q 1,p 2 )) x = q 1 f(x) = q 1 - f 2 (p 0, f 1 (q 1,p 2 ) ) - f 3 (p 0, f 1 (q 1,p 2 )) = 0 H(x i ) · x i = f(x i ) Lineares Gleichungssystem in den Unbekannten x x 1

14 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newtonsches Iterationsverfahren: Beispiel II p 2 = 100 p 0 = 1 q 1 = q 2 + q 3 p 1 = p 2 - sign(q 1 ) · q 1 2 / k 1 q 2 = k 2 · sign(p 1 - p 0 ) · p 1 - p 0 q 3 = k 3 · sign(p 1 - p 0 ) · p 1 - p 0 pq 1 q 1 = 1 pp 1 q 1 = - 2|q 1 | / k 1 pq 2 q 1 = k 2 / ( 2 · p 1 - p 0 ) · pp 1 q 1 pq 3 q 1 = k 3 / ( 2 · p 1 - p 0 ) · pp 1 q 1 f = q 1 - q 2 - q 3 h = pq 1 q 1 - pq 2 q 1 - pq 3 q 1 Das Substituieren von Aus- drücken lohnt sich kaum je. Es ist besser, über alle Glei- chungen zu iterieren und bei der Ermittlung der partiellen Ableitungen jede Gleichung separat abzuleiten.

15 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newtonsches Iterationsverfahren: Beispiel III q 1 = Anfangsschätzwert dx = 1 while dx > dxmin p 1 = p 2 - sign(q 1 ) · q 1 2 / k 1 q 2 = k 2 · sign(p 1 - p 0 ) · p 1 - p 0 q 3 = k 3 · sign(p 1 - p 0 ) · p 1 - p 0 pp 1 = - 2|q 1 | / k 1 pq 2 = k 2 / ( 2 · p 1 - p 0 ) · pp 1 pq 3 = k 3 / ( 2 · p 1 - p 0 ) · pp 1 f = q 1 - q 2 - q 3 h = 1 - pq 2 - pq 3 dx = h \ f q 1 = q 1 – dx end Es wird über alle Gleichungen iteriert. Das interne lineare Gleichungssystem muss jedoch nur für die Schnittvariablen gelöst werden.

16 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Newton Iteration für lineare Systeme Lineares System: A·x = b f(x) = A·x – b = 0 H(x) = f(x)/ x = A A· x = A·x – b x = x – A -1 ·b x 1 = x 0 – (x 0 – A -1 ·b) = A -1 ·b Die Newton Iteration konvergiert in einem Schritt

17 Anfang Präsentation 10. November, 2004 Zusammenfassung Das Schneideverfahren eignet sich genau so gut für nichtlineare wie für lineare Systeme. Die Νewtonsche Iteration eines nichtlinearen Gleichungs- systems führt intern zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Die Hesssche Matrix dieses Glei- chungssystems erstreckt sich nur über die Schnittvariablen. Die Νewtonsche Iteration kann auch sehr effizient im Falle grösserer linearer Systeme eingesetzt werden, da sie (bei korrekter Berechnung der H(x) Matrix) in einem einzigen Schritt konvergiert. In Praxis wird die H(x) Matrix jedoch häufig numerisch ermittelt und nur angenähert. Es ist aber möglich, symbolische Formelmanipulations- techniken zu entwickelt, welche symbolische Ausdrücke für die Elemente der Hessschen Matrix ermitteln.


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