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Kapitel 7 Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2 Magnetfelder und Teilchenfokussierung.

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1 Kapitel 7 Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU , version 2.2 Magnetfelder und Teilchenfokussierung

2 2 Übersicht Magnete Warum Fokussierung? Geometrische (schwache) Fokussierung Dispersionsbahn im homogenen Magnetfeld Magnettypen Maxwellgleichungen für Magnetostatik Fokussierung mit Quadrupolen Vom Quadrupole zur Stahloptik Fokussierung mit einem Linsensystem in einer Ebene Transformationsmatrizen Fokussierung mit einem Linsensystem in beiden Ebenen

3 3 Warum Strahloptik und Fokussierung? Teilchen haben unterschiedliche Anfangsparameter (Position, Winkel) und laufen mit der Zeit auseinander Mit der Annahme, dass zwei Teilchen eine Winkeldifferenz von rad haben, würden die Teilchen nach einer Strecke von 10 6 m um 1 m auseinanderlaufen. Bei LHC, mit einer Länge von m, wäre das nach 50 Umläufen (5 ms !) Teilchen würden durch die Gravitation herunterfallen An verschiedenen Stellen des Beschleunigers soll der Strahl eine definierte Dimension haben am Kollisionspunkt im Speicherring sollen die Strahlen klein sein Teilchen mit unterschiedlicher Energie sollen nicht auseinanderlaufen

4 4 Geometrische Fokussierung im homogenen Dipolfeld z x s v B F B Zwei Teilchen, die mit gleicher Energie von der gleichen Position mit leicht unterschiedlichem Anfangswinkel starten, treffen sich nach jedem halben Umlauf. Sollbahn Teilchen A Teilchen B

5 5 Geometrische - Schwache - Fokussierung Annahme: der Winkel zwischen beiden Teilchen beträgt = 1 mrad. Der maximale Abstand zur Sollbahn ist: xmax = R Bei einem Radius von 1 m wäre dieser Abstand xmax = 1 mm Bei einem Radius von 1000 m wäre dieser Abstand xmax = 1 m xmax Die schwache Fokussierung gilt nur in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld. In der anderen Ebene laufen zwei Teilchen mit unterschiedlichen Anfangswinkel kontinuierlich auseinander. Es wird eine fokussierende Kraft benötigt.

6 6 Dispersionsbahn im homogenen Dipolfeld B Zwei Teilchen, die mit unterschiedlicher Energie und gleichen Winkel von der gleichen Position starten, kommen nach jedem Umlauf zur gleichen Position zurück. Sollbahn Teilchen rot mit Impuls p 0 Teilchen blau mit Impuls p 1 auf Dispersionsbahn

7 7 Magnettypen Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur Quadrupolmagnet – Feld im Zentrum Null, linear ansteigend (entspricht einer Linse in Lichtoptik) Sextupolmagnet - Feld im Zentrum Null, quadratisch ansteigend z x z x Feldlinien für DipolmagnetfeldFeldlinien für Quadrupolmagnetfeld

8 Eisenjoch Parallele Eisenpole Spule N S Vakuum- kammer Dipolmagnet Hyperbolische Polflächen Spulen Eisenjoch N N S S x z x z S N N S Quadrupolmagnet N S Vakuum- kammer BzBz

9 9 Quadrupolmagnet Rende Steerenberg (CERN) Magnetfeld Hyperbolische Fläche x · y = constant

10 10 Dipolmagnet

11 11 Dipolmagnet und Quadrupolmagnet: Realisierung

12 Magnet für SNS Beams eye view of an SNS half cell. From front to back: corrector, quad polefaces, sextupole faces, and last the dipole

13 13 Magnetostatik Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet Magnetfeld gemessen in A/m Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig: In einem isotropen Material mit der Permeabilität gilt : Im allgemeinen ist etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist in der Grössenordung von einigen tausend.

14 14 Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers z x s v B F

15 15 Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum

16 16 Quadrupol: Fokussierung in einer Ebene, Defokussierung in der anderen Ebene Annahme im 2-dimensionalem Fall (keine Feldkomponente in Richtung der Teilchenbewegung) : und daher: z-Komponente des Quadrupolmagnetfeld auf der x-Achse Typischer Wert: x z

17 17 Teilchenablenkung in einem Quadrupolmagnet Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung in die Tafelebene hinein z x x z s z s x Sicht von der Seite fokussierend Sicht entlang der Teilchenbahn Sicht von oben defokussierend

18 Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU , version 2.2 Strahloptik

19 19 Fokussierung eines Linsensystems in einer Ebene d f1f1 f2f2 F

20 20 Fokussierung eines Linsensystems in beiden Ebenen d = 50 m Horizontale Ebene Vertikale Ebene

21 21 Transformationsmatrizen Annahme: Ein Teilchen hat die Koordinaten: Position x 0 und Winkel x 0 Wie in der Lichtoptik lässt sich die Teilchenbahn mit Transformationsmatrizen berechnen s L f s 0 … beim Eintritt in die dünne Linse s 1 … beim Austritt aus der dünnen Linse s 2 … nach einer Strecke L s1s1 s0s0 s2s2

22 22 Transformationsmatrix für eine dünne Linse s f s1s1 s0s0

23 23 Transformationsmatrix für eine feldfreie Strecke: Driftstrecke s L f s1s1 s2s2

24 Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - Februar 2007, version 2.0 Anhang

25 25 Anhang: Maxwellgleichungen

26 26 Maxwellgleichungen: Zeitlich konstant, im Vakuum


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