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Exponentielles Wachstum. Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen:

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Präsentation zum Thema: "Exponentielles Wachstum. Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen:"—  Präsentation transkript:

1 Exponentielles Wachstum

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6 Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen: gefunden am Modellierung von Wachstumsprozessen

7 1.In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. 2.Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. 3.Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Wir betrachten eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert : Bakterien und exponentielles Wachstum

8 Wachstum von Bakterienkulturen Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 1, 2, 4 und nach 6 Stunden? TOP: Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 12 Stunden, wie viele nach t Stunden? 1.In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. 2.Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. 3.Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien.

9 Exponentielles Wachstum xf(x) 0f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) =64000 Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

10 Exponentielles Wachstum xf(x) 0f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) =64000 Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

11 Mathematischer Hintergrund Vokabeln Eine Potenz ist ein Term der Form b c Bedeutung: b wird c-mal mit sich selbst multipliziert. Beispiel: 3 5 = b wird Basis genannt. c wird Exponent genannt. Spezialfall: 3 0 = 1 Weil wir den Exponenten verändern, schreiben wir im Folgenden b x. Potenz-Rechenregeln s. Formelsammlung

12 Exponentielles Wachstum xf(x) 0f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) =64000 Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

13 Exponentielles Wachstum xf(x) = 0f(0) = 1000 = f(1) = 2000 = f(2) = 4000 = f(3) = 8000 = f(4) =16000 = f(5) =32000 = f(6) =64000 = Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

14 Exponentielles Wachstum xf(x) = x 0f(0) = 1000 = f(1) = 2000 = f(2) = 4000 = f(3) = 8000 = f(4) =16000 = f(5) =32000 = f(6) =64000 = Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

15 Vergleich von linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum

16 Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x x f(x)22,533,544,55 + 0,5 Quelle: Schmid, A./ Weidig, I. (1996). Lambacher Schweizer 10. Stuttgart: Klett, S.60

17 Exponentielles Wachstum 2x2x xf(x) 0f(0)=2 0 =1 +11f(1)=2 1 =2 +12f(2)=2 2 =22=4 +13f(3)=2 3 =222=8 +14f(4)=2 4 =2222=16 +15f(5)=2 5 =22222=32 +16f(6)=2 6 =222222=64 f(x) = 2 x

18 Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x +2 x f(x)22,533,544,55 + 0,5 Exponentielles Wachstum: f(x) = 2 x x f(x)

19 Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion Unsere Frage war: Wie verändert sich die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit? Die Funktion, die diese Veränderung beschreibt, wird deshalb Exponentialfunktion genannt. f(x)=b x f(x)=b x b ist die Basis und x der veränderliche Exponent. Oder rein mathematisch: Wie verändert sich der Wert der Potenz, wenn man den Exponenten verändert? Natur des Bakterienwachstums: In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor.

20 Wachstum – Funktionaler Zusammenhang Die Frage nach der Art des Wachsens führte zur Frage, welche Art von Funktion das Wachstum adäquat beschreiben kann. Die Anzahl der Bakterien wächst exponentiell. Oder: Der funktionale Zusammenhang zwischen der Zeit und der Anzahl der Bakterien ist exponentiell. (Zur Erinnerung: Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge eines Holzstabes und seinem Gewicht ist linear. Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge der Seite eines Quadrates und der Fläche ist quadratisch.)

21 Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion In unserem Beispiel gab es zum Zeitpunkt 0 (x = 0) bereits 1000 Bakterien. Deshalb hatte unsere Funktion einen Faktor: f(x)=b x f(x)=b x b ist die Basis und x der veränderliche Exponent. f(x) = x Allgemein: f(x) = a b x a ist der Startwert für x = 0 (im Beispiel 1000), b ist der Wachstumsfaktor (im Beispiel verdoppeln) a, b und x sind reell, b > 0, b 1

22 Wie viele Bakterien gibt es nach einer halben Stunde? Quelle: ( )www.mathe-online.at/mathint/log/i.html f(1) = bezeichnet die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde. Als Potenz sind auch Brüche zulässig! Also bezeichnet f( ½ ) = ½ 1414 die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde. Zurück zu unseren Bakterien:

23 Quelle: ( )www.mathe-online.at/mathint/log/i.html Jetzt sind wir in der Lage, einfache Aufgaben der folgenden Art zu lösen: Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde und 15 Minuten? Lösung: Eine Stunde und 15 Minuten ist 1,25 Stunden. Wir setzen t = 1,25 ein und erhalten 2378, , also sind nach 1,25 Stunden etwa 2378 Bakterien vorhanden. Eine weitere Frage f(x) = x

24 Quelle: ( )www.mathe-online.at/mathint/log/i.html Man kann zeigen, dass als Exponent nicht nur rationale Zahlen (also Brüche), sondern alle reellen Zahlen gewählt werden können. Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion f(x) = b x ist also die Menge der reellen Zahlen. Erweiterung der Exponentialfunktion f(x) = x

25 Rückblick Potenz, Basis, Exponent a x f(x) = a b x, Exponentialfunktion: f(x) = a b x,, wobei a, b, x reell, b > 0, b 1 Schritte der Modellbildung: V – Ü – R – Z - A Aufstellen einer Exponentialfunktion (Modellbildung auf Grundlage eines realen Problems) Beschreiben des Wachstums von Bakterienkulturen Erweiterung der Exponentialfunktion: Als Exponenten sind alle reellen Zahlen möglich.

26 Drei Fragen Was ist eine Potenz, was ist eine Exponentialfunktion? Worin bestehen Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum? Wie errechne ich Bestandszahlen mit Hilfe einer Exponentialfunktion (z. B. Anzahl von Bakterien)?

27 Internetlinks Internetlinks Selbstlernmaterial von Thomas Unkelbach unter

28 Hausaufgabe Hausaufgabe BASICs Arbeitsblatt liegt am Ausgang aus.


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