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Seminar SE 2 st. Uni Klagenfurt: 814.515 und TU Wien: 187.234 Mathematische Modellbildung und Simulation Ökonometrische, systemdynamische, Input-Output.

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1 Seminar SE 2 st. Uni Klagenfurt: und TU Wien: Mathematische Modellbildung und Simulation Ökonometrische, systemdynamische, Input-Output Modelle sowie agent-based systems Peter Fleissner

2 websites Allgemeines ell.phphttp://www.iff.ac.at/socec/lehre/lehre_aktu ell.php Laufende Ereignisse, Skripten, Termine MathModhttp://cartoon.iguw.tuwien.ac.at/zope/lvas/ MathMod

3 Termine immer montags, 9:15-13:00 1. Block: Montag, 23. Okt 2006 TU 2. Block: Montag, 06. Nov 2006 IFF Seminarraum 4c 3. Block: Montag, 13. Nov 2006 IFF Seminarraum 6 4. Block: Montag, 20. Nov 2006 IFF Seminarraum 4c 5. Block: Montag, 27. Nov 2006 IFF Seminarraum 6 6. Block: Montag, 11. Dez 2006 IFF Seminarraum 4c 7. Block: Montag, 18. Dez 2006 IFF Seminarraum 6 8. Block: Montag, 15. Jänner 2007: Prüfung A 9. Block: Montag, 22. Jänner 2007: Prüfung B Die Termine finden im Seminarraum bzw. im Computerlabor des IGW oder am IFF, Schottenfeldgasse 29, Stiege 1/I-506, A-1070 Wien, statt.

4 Was wir heute machen werden: Fortsetzung der Mehrebenenökonomie und der Input-Output-Analyse: –Ein konkretes Transformationsproblem –Effekte des technischen Fortschritts Einführung in agent based modelling –the blind and the lame –Predator-prey-model (LSD) –The Product Life Cycle Model (Anylogic)

5 Anwendung von Input-Output-Modellen Effekte technischer Veränderungen

6 Input-Output-Grundformel: x = (E-A) -1 y Lösung in erster Näherung x = (E-A) -1 ( Ax + y) Veränderungen der A-Matrix...… A und/oder veränderungen der Nachfrage … y -> Veränderungen im Output ……… x -> Veränderungen der Beschäftigtenzahlen -> Veränderungen der Lohnsumme -> Veränderungen der Nachfrage …………. y(t+1) Wie komme ich dazu?

7 …. ein wenig Mathematik x 0 = (E-A 0 ) -1 y 0 x 1 = (E-A 1 ) -1 y 1 y 1 = y 0 + y; A 1 = A 0 + A; x 1 = x 0 + x Substitution ergibt x 1 = (E-A 1 ) -1 y 1 = [E - (A 0 + A)] -1 (y 0 + y) =…. [E - (A 0 + A)] -1 = (Von Neumann Reihe) = E+(A 0 + A)+(A 0 + A) 2 +(A 0 + A) 3 +… Substitution: B anstelle von A

8 E+(A+B)+(A+B) 2 +(A+B) 3 +…= E + A + BE A 2 + BA + ABE + B 2 A 3 + BA 2 + ABA + A 2 BE + AB 2 + B 2 A+ BAB+ B 3 A 4 + BA 3 + ABA 2 + A 2 BA + A 3 BE + …. A 5 + BA 4 + ABA 3 + A 2 BA 2 + A 3 BA + A 4 BE + +…. =(E-A) -1 +B(E-A) -1 +AB(E-A) -1 +A 2 B(E-A) -1 + … Terme von B höher als erster Ordung werden vernachlässigt

9 (E-A) -1 +B(E-A) -1 +AB(E-A) -1 +A 2 B(E-A) -1 +…= = (E + B + AB + A 2 B + A 3 B +…) (E-A) -1 = = [E + (E + A + A 2 + A 3 +…….)B] (E-A) -1 = = [E + (E-A) -1 B] (E-A) -1 Rücksubstitution: A anstelle von B ergibt [E-(A+ A)] -1 = (E-A 1 ) -1 ~ [E + (E-A) -1 A](E-A) -1 Zu zeigen war, dass aus x 1 = (E-A 1 ) -1 y 1 in erster Näherung x = (E-A) -1 ( Ax + y) folgt.

10 x 1 = x 0 + x = [E-(A 0 + A)] - 1 (y 0 + y) = = [E + (E-A 0 ) -1 A] (E-A 0 ) -1 (y 0 + y) = = x 0 + (E-A 0 ) -1 A x 0 + (E-A 0 ) -1 y + (E-A 0 ) -1 A (E-A 0 ) -1 y => x = (E-A 0 ) -1 ( A x 0 + y) q.e.d.

11 Effekte technischer Veränderungen Input-Output-Grundformel: x = (E-A) -1 y Lösung in erster Näherung x = (E-A) -1 ( Ax + y) Veränderungen der A-Matrix...… A und/oder veränderungen der Nachfrage … y -> Veränderungen im Output ……… x -> Veränderungen der Beschäftigtenzahlen -> Veränderungen der Lohnsumme -> Veränderungen der Nachfrage …………. y(t+1)

12 Beispiele auf der Mikroebene Selbstorganisierende Systeme (Beispiel: the blind and the lame) Agentenbasierte Simulationen (Einführende Literatur: Simulationsmethoden

13 The blind and the lame Zwei interagierende Welten … Welt A: die physische Welt (klassische Mechanik) Welt B: die Welt der Symbole (Alphabet ohne Bedeutung) Simulationsmethoden

14 …und zwei interagierende Akteure Akteur 1: Der Blinde kann –springen –hören –die Töne, die er hört, interpretieren –und danach handeln (springen) Akteur 2: Der Lahme kann –Die Länge des Hindernisses sehen –Töne verschiedener Höhe erzeugen (mit Trompete) –die Länge des Hindernisses mit der Tonhöhe verknüpfen –Und die Töne mit Bedeutung versehen Simulationsmethoden

15 Agentenbasierte Simulationen Auf der Mikroebene spielen sich die Interaktionen der Individuen ab Auf der Meso/Makroebene kann neues Verhalten abgelesen werden, das nicht aus der bloßen Aggregation der Daten für die einzelnen Akteure gewonnen werden kann Simulationsmethoden

16 Vier Arten von Verständnis durch ABS Empirisch –Warum haben sich bestimmte Makrophänomene entwickelt (auch wenn keine top-down-Kontrolle existiert)? Normativ –Welches Design ist für bestimmte Institutionen optimal? Heuristisch –Können Einsichten über die grundlegenden Kausalmechanismen des Systems gewonnen werden? Methodisch –Wie können Theorien mit ABS getestet, erweitert und verbessert werden (was bisher aus methodischen Beschränkungen nicht möglich war)? Simulationsmethoden

17 Agentenbasierte Simulationen Das GNU Softwarepaket von Marco Valente: GNU is not UNIX ! Laboratory of Simulation Development -> LSD Anwendungsbeispiel: Schafe und Wölfe (50 Schafe, 20 Wölfe) Simulationsmethoden

18 Phasendiagramm Simulationsmethoden

19 Agentenbasierte Simulationen Beispiel: Räuber-Beute Modell (x…Schafe, y…Wölfe) (Beschrieben auf der Makroebene mit der Lotka- Volterra-Differentialgleichung): dx/dt = alfa*x + beta*y + gamma*x.y dy/dt = delta*x + epsilon*y + eta*x.y -> Ökonometrische Schätzung der Parameter aus den Daten der ABS (beta = delta = 0) Simulationsmethoden

20 Regressionsergebnisse Simulation des korrespondierenden aggregierten Modells mit LSD mit den oben angeführten geschätzten Parametern Simulationsmethoden dy/dt (wolves) Term Coefficie ntSEp 95% CI of Coefficient y -0,03970,0013< ,0423to -0,0370 xy 0,00020,0000< ,0002to 0,0002 dx/dt (sheep) Term Coefficie ntSEp 95% CI of Coefficient x 0,01290,0011< ,0107to 0,0151 xy -0,00020,0000< ,0002to -0,0001

21 Agentenbasierte Simulation Systemdynamik Simulation

22 SD-Modelle und ABS Die Leistungsfähigkeit der Computertechnologie erlaubt es, Probleme, die bisher auf der Aggregatebene analysiert wurden, auf der Ebene der Individuen zu formulieren SD-Modelle und ABS können als Endpunkte eines ganzen Spektrums von Modellierungsmöglichkeiten angesehen werden Man hat im Prinzip die Wahl zwischen aggregierten und agent based Modellen und deren Kombinationen Was sind die Entscheidungskriterien? Simulationsmethoden im Vergleich

23 SD-Modelle und ökonometrische Modelle bestehen aus (nicht)linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen, die numerisch gelöst werden. Relativ wenige Parameter beschreiben die Gleichungen Positive und negative Rückkopplungsschleifen bestimmen das Verhalten des Gesamtsystems Die individuellen Akteure werden in eine (kleine) Zahl von Clustern (compartments) integriert. Innerhalb der compartments herrscht Homogenität, Blindheit des Modells gegenüber dem einzelnen Akteur Übergänge zwischen den compartments beruhen auf Erwartungs- oder Durchschnitts (ev. durch stochastische Variablen gestört) Einfacher Vergleich mit Realität Simulationsmethoden im Vergleich

24 Beispiele für SD Modelle –Ansteckungsprozesse werden durch eine Diffusionsgleichung beschrieben; –Räuber-Beute Modelle durch die nichtlineare Lotka-Volterra Differentialgleichung –Mathematisches Modell einer Volkswirtschaft (siehe oben) ABS erlauben es, emergente Phänomene in vielen Anwendungsgebieten zu studieren ABS können sehr gut Heterogenität der Akteure und deren individuelle Interaktion abbilden Grosse Zahl von Parametern nötig Hoher Rechenaufwand für die Simulation und erschwerte Sensitivitätsanalyse Erschwerter Vergleich mit der Realität Simulationsmethoden im Vergleich

25 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!


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