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Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before.

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Präsentation zum Thema: "Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before."—  Präsentation transkript:

1 Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAA

2 Graphentheorie Kapitel 2:

3 Szenario Gegeben: Flugplan einer Airline Aufgabe: Schreibe ein Programm, das Anfragen der Form Kann man von A nach B mit höchstens einmal umsteigen gelangen? beantwortet.

4 Modellierung etc.

5 Graph Ein Graph G ist ein Tupel (V,E), wobei V eine (endliche) nichtleere Menge von Knoten ist. Die Menge E ist eine Teilmenge der zweielementigen Teilmengen von V, also E { {x,y} : x,y V, xy}. Die Elemente der Menge E bezeichnet man als Kanten.

6 Einige spezielle Graphenklassen (I) Vollständiger Graph K n Kreis C n Pfad P n K5K5 C6C6 P4P4 #edges(K n ) = n(n-1)/2 #edges(C n ) = n #edges(P n ) = n #vertices(P n ) = n+1

7 Einige spezielle Graphenklassen (II) Vollständiger bipartiter Graph K n,n Hyperwürfel Q d K 3,3 Q3Q3

8 Nachbarschaft, Grad Nachbarschaft: (v) = {u V | {u,v} E } Grad: deg(v) = | (v) | G heisst k-regulär, wenn deg(v)=k v V Sprechweise für e={u,v} E: - u und v sind adjazent, und - u und e sind inzident. Definitionen: Graph G=(V,E), v V

9 Drei einfache Resultate Für jeden Graphen G=(V,E) gilt: deg(v) = 2 |E|. v V In jedem Graphen G=(V,E) ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. In jedem Graphen G=(V,E) gibt es einen Knoten v mit Grad deg(v) £ 2|E|/|V| und einen Knoten v mit Grad deg(v) ³ 2|E|/|V|.

10 Summe der Grade Lemma: Für jeden Graphen G=(V,E) gilt deg(v) = 2 |E| v V Beweis: Doppeltes Abzählen

11 Anzahl Knoten mit ungeradem Grad Korollar: Für jeden Graphen G=(V,E) gilt: Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade. Beweis: Wir haben eben gezeigt: deg(v) = 2 |E| v V Ein Summe von ganzen Zahlen ist aber genau dann gerade, wenn die Anzahl ungerader Summanden gerade ist.

12 Durchschnittsgrad Aus deg(v) = 2 |E| folgt: v V Der Durchschnittsgrad ist 2|E| / |V|. Korollar: Für jeden Graphen G=(V,E) gilt: Es gibt Knoten v, v mit deg(v) £ 2|E|/|V| und deg(v) ³ 2|E|/|V|.

13 Wege, Pfade, Kreise Ein Weg in G ist eine Folge (v 0,…,v n ) mit {v i,v i+1 } E Ein Pfad in G ist eine Folge (v 0,…,v n ) mit {v i,v i+1 } E und v i v j Ein Kreis in G ist eine Folge (v 0,…,v n ) mit {v i,v i+1 } E und v i v j und {v 0,v n } E und n³2 Einen Weg (Pfad) mit Anfangsknoten u und Endknoten v nennt man u-v-Weg (u-v-Pfad). Definition: Sei G=(V,E) Graph

14 Wege, Pfade, Kreise - Beispiele (a,c,d,c,b) ist ein a-b-Weg (a,c,b) ist ein a-b-Pfad (a,c,b) und (f,g,i,h) sind Kreise der Länge 3 bzw 4

15 Wege vs. Pfade Lemma Beweisidee: Auslassen von Umwegen!

16 Teilgraphen Definition: Sei G=(V G,E G ) Graph. Gilt V H Í V G und E H Í E G so nennt man H = (V H,E H ) einen Teilgraphen von G. Gilt sogar E H = E G Ç ( ) so nennt man H einen induzierten Teilgraphen von G. V H 2

17 Teilgraphen - Beispiele G:

18 Teilgraphen - Sprechweise Sind G=(V G,E G ) und H = (V H,E H ) zwei Graphen. So sagt man, dass G den Graphen H enthält, wenn es eine Teilmenge V Í V G gibt und eine Bijektion φ: V V H so dass {x,y} ÎE H Þ {φ(x), φ(y)} ÎE G

19 Teilgraphen - Beispiel … enthält Kreise der Länge 3, 5 und 6; aber keinen Kreis der Länge 4.

20 Zusammenhang G heisst zusammenhängend, wenn für alle u,v V ein u-v-Pfad existiert. Die zusammenhängenden Teile von G heissen seine Komponenten. Definition: Sei G=(V,E) Graph

21 Zusammenhang - Beispiel

22 Eigenschaften Lemma: Jeder Graph G=(V,E) enthält mindestens |V|- |E| viele Komponenten. Beweis: Induktion über |E|: Der Graph G 0 =(V, ) besitzt |V| Komponenten. Das sukzessive Hinzufügen von Kanten verringert die Anzahl der Komponenten jeweils um höchstens 1.

23 Eigenschaften Lemma: Jeder Graph G=(V,E) enthält mindestens |V|- |E| viele Komponenten. Korollar: Jeder zusammenhängende Graph G=(V,E) enthält mindestens|V|- 1 viele Kanten. Beweis: Es muss gelten: |V|- |E| £ 1.

24 Eigenschaften Lemma: G=(V,E) zshgd. Graph, C Kreis in G Dann gilt:G e =(V,E\e) zshgd. e C Beweisidee: Betrachte die Definition von Zusammenhang! Lemma: Sei G=(V,E) und vÎV beliebiger Knoten. Dann gilt: G zshgd. ÜÞ $ u-v-Pfad in G " uÎV Beweis: Þ: klar Ü: Idee: für x,yÎV setze x-u-Pfad und u-y-Pfad zu einen x-y-Weg zusammen.

25 k-Zusammenhang Definition: Sei G=(V,E) Graph. G heisst k-zusammenhängend, wenn – |V| ³ k+1 und –"XÍV mit |X| < k gilt: G[V \ X] ist zusammenhängend Satz von Menger: Sei G=(V,E) Graph. Dann gilt: G k-zsghd ÜÞ " u,v ÎV: $ k intern-knotendiskunkte u-v-Pfade in G


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