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1 STATISIK LV Nr.: 0028 SS 2005 1. Juni 2005. 2 Test für arithmetisches Mittel Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel –Unterscheiden.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 0028 SS Juni 2005

2 2 Test für arithmetisches Mittel Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten? –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier verbundener Stichproben?

3 3 Test für arithmetisches Mittel Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen. Voraussetzung: –Stichproben unabhängig –Stichproben stammen aus einer N-vt. Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig –Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar

4 4 Test für arithmetisches Mittel Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht. Varianzen verschieden, σ 1 ² σ 2 ² : Teststatistik: Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.

5 5 Test für arithmetisches Mittel Varianzhomogenität, σ 1 ² = σ 2 ² = σ²: Teststatistik: wobei Testverteilung: T ~ t v mit v=n 1 +n 2 -2 Freiheitsgarden

6 6 Test für arithmetisches Mittel Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.) –Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen. Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.

7 7 Test für arithmetisches Mittel Differenzen der Wertepaare: D i = X 2i – X 1i sind N-vt. mit E(D i ) = µ 2i - µ 1i = δ und Var(D i ) =σ D ² Teststatistik: Testverteilung: T~t v mit v=n-1

8 8 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz: –Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? –Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für die Varianz –Unterscheiden sich die Varianzen zweier Gruppen? –Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

9 9 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H 0 : σ² = σ 0 ² gegen H 1 : σ² σ 0 ² Teststatistik: Testverteilung: χ² v mit v=n-1 Entscheidung: –χ² > χ² c o oder χ² < χ² c u, lehnen H 0 ab –p-Wert < α, lehne H 0 ab

10 10 Test für Varianz Zweistichprobentest für den Quotienen zweier Varianzen: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H 0 : σ 1 ² = σ 2 ² gegen H 1 : σ 1 ² σ 2 ² Teststatistik: Testverteilung: F v1,v2 mit v 1 =n 1 -1 und v 2 =n 2 -1 Entscheidung: –F > F c o oder F < F c u, lehnen H 0 ab –p-Wert < α, lehne H 0 ab

11 11 Nichtparametrische Tests Nichtparametrische Tests (v.a. wenn Annahme der Normalverteilung nicht erfüllt ist). Rangtests für Lageparameter –Zeichentest –Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Verteilung Verteilungsfreie Lokationsvergleiche –Wilcoxon Rangsummentest oder Mann-Whitney U Test

12 12 Rangtests für Lagemarameter Zeichentest (Ordinalskala ausreichend) –Annahme: unabhängige Beobachtungen x 1,..., x n stammen aus einer Grundgesamtheit mit stetiger Verteilungsfunktion F. Test für den Median ξ 0,5 der Grundgesamtheit Einseitige Hypothesen: –H 0 : ξ 0,5 ξ 0 gegen H 1 : ξ 0,5 > ξ 0 –H 0 : ξ 0,5 ξ 0 gegen H 1 : ξ 0,5 < ξ 0 Zweiseitige Hypothese: –H 0 : ξ 0,5 = ξ 0 gegen H 1 : ξ 0,5 ξ 0

13 13 Rangtests für Lagemarameter Vorgehensweise: Transformation der Beobachtungswerte: –x i = x i - ξ 0 Bestimmung von y i –y i = 1 falls x i > 0, y i = 0 falls x i < 0, Bindungen: y i = ½ falls x i = 0

14 14 Rangtests für Lagemarameter Teststatistik: Unter H 0 ist T ~ B(n, ½) Approximation durch N(0,1): Entscheidung: Vergleich von Z mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

15 15 Rangtests für Lagemarameter Beispiel für Zeichentest (Hartung, S. 243): –Alter von Frauen bei der Geburt des ersten Kindes. H 0 : ξ 0,5 25 gegen H 1 : ξ 0,5 > 25. Zufällige Auswahl von n = 36 Müttern. iAlter x i x i yiyi 130,65,61 217,8-7,20 :::: ,5-1,50

16 16 Rangtests für Lagemarameter Beispiel Approximation durch N-Vt Entscheidung (bei α=0,05): Z < 1,645 Lehne H 0 : ξ 0,5 25 nicht ab.

17 17 Rangtests für Lagemarameter Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Grundgesamtheit –Basiert auf Rangzahlen der Beobachtungen –Annahme: n unabhängige Beobachtungen (x 1,..., x n ) stammen aus einer Grundgesamtheit mit Verteilungsfunktion F Frage: Ist die Verteilung symmetrisch um einen Wert ξ 0, d.h. gilt F(ξ 0 -y) = 1-F(ξ 0 +y)?

18 18 Rangtests für Lagemarameter

19 19 Rangtests für Lagemarameter Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum ξ 0 einer Grundgesamtheit Einseitige Hypothesen: –H 0 : F symmetrisch um ξ ξ 0 Zweiseitige Hypothese: –H 0 : F symmetrisch um ξ = ξ 0

20 20 Rangtests für Lagemarameter Vorgehensweise: Transformation der Beobachtungswerte: –x i = x i - ξ 0 Ohne Berücksichtigung der Vorzeichen der x i Rangzahlen R i zuweisen (1 für kleinsten Wert,..., n für größten Wert). Den Rangzahlen werden die Vorzeichen der zugehörigen x i Werte zugewiesen => Rangstatistik R̃ i

21 21 Rangtests für Lagemarameter Teststatistik: mit c i = 0 falls R̃ i 0 Entscheidung: Vergleich von T + mit kritischen Werten w n,α des Vorzeichenrang- test von Wilcoxon (z.B. Hartung S. 245)

22 22 Rangtests für Lagemarameter Approximation durch N(0,1) Verteilung: Teststatistik T* (keine Bindungen): mit E T + = n(n+1) / 4 und Var T + = n(n+1)(2n+1) / 24 (Beim Auftreten von Bindungen: T* laut Hartung, S. 246) Vergleich von T* mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

23 23 Rangtests für Lagemarameter Beispiel Wilcoxon Vorzeichenrangtest Psychologischer Test, Bewertung durch Punkte x i H 0 : F symmetrisch um ξ = ξ 0 = 61, α = 0,05 Teststatistik: c i = 0 falls R̃ i 0

24 24 Rangtests für Lagemarameter Beispiel: T + = 1·10,5+0·(-3)+1·3+0·(-7)+1·7+1·9+0·(-3)+1·5+1·1 +1·10,5+1·7 = 53 ixixi x i = x i - ξ 0 RiRi R̃ i , ,

25 25 Rangtests für Lagemarameter Beispiel: Kritische Werte aus Tabelle: w n;α/2 = w 11;0,025 = 11 und w n;1-α/2 = w 11;0,975 = 54 Entscheidung: w 11;0,025 = 11 < T + = 53 < 54 = w 11;0,975 Daher: lehne H 0 nicht ab, F ist symmetrisch um ξ 0 = 61.

26 26 Vt.-freie Lokationsvergleiche Wilcoxon Rangsummentest oder Mann- Whitney U Test Annahme: zwei unabhängige Messreihen, zugrundeliegenden Verteilungsfunktionen sind stetig und vergleichbar (d.h. sie schneiden einander nicht). Frage: Besteht ein Unterschied in den Verteilungen? Sind z.B. die Werte der einen Messreihe im Durchschnitt größer als die der anderen?

27 27 Vt.-freie Lokationsvergleiche

28 28 Vt.-freie Lokationsvergleiche Einseitige Hypothesen: –H 0 : F 1 (x) F 2 (x) gegen H 1 : F 1 (x) F 2 (x) und für mind. ein x gilt: F 1 (x) < F 2 (x) –H 0 : F 1 (x) F 2 (x) gegen H 1 : F 1 (x) F 2 (x) und für mind. ein x gilt: F 1 (x) > F 2 (x) Zweiseitig Hypothese: –H 0 : F 1 (x) = F 2 (x) gegen H 1 : F 1 (x) F 2 (x)

29 29 Vt.-freie Lokationsvergleiche Vorgehensweise: Gemeinsame Rangzahlen der beiden Messreihen bilden: r 1,..., r n1, r n1+1,..., r n1+n2 Teststatistik: Kritische Werte des Wilcoxon- Rangsummen-Tests aus Tabelle (siehe z.B. Hartung 518)

30 30 Vt.-freie Lokationsvergleiche Entscheidung: –H 0 : F 1 (x) F 2 (x), H 0 verwerfen falls W n1,n2 > W n1;n2;1-α –H 0 : F 1 (x) F 2 (x), H 0 verwerfen falls W n1,n2 < W n1;n2;α Zweiseitig Hypothese: –H 0 : F 1 (x) = F 2 (x) H 0 verwerfen falls W n1,n2 W n1;n2;1-α/2

31 31 Vt.-freie Lokationsvergleiche Beispiel: Behandlung von Pilzen mit Vitamin B 1. Führt diese Behandlung zu (signifikant) höherem Gewicht? Behand- lungRangz. Behand- lungRangz.KontrolleRangz.KontrolleRangz , , ,5518,58 20,51224,51713,539,51 29, ,512, ,535, ,5 2113

32 32 Vt.-freie Lokationsvergleiche Beispiel: H 0 : F B (x) F K (x) bzw. X B ist stochastisch kleiner als X K, α = 0,05. Teststatistik: Summe der Ranzahlen der ersten Messreihe (Behandlungsgruppe): W n1,n2 = 220. Kritischer Wert: w n1;n2;0,95 = 191 Entscheidung: 220 > 191 => H 0 ablehnen. D.h. die Behandlung führt zu einem signifikant höheren Gewicht.

33 33 Varianzanalyse Varianzanalyse od. ANOVA Frage: Hat ein Faktor Einfluss auf ein Merkmal? Faktor: Nominal skalierte Größe, Faktorausprägungen = Ebenen oder Stufen Merkmal (durch Faktor beeinflusst): Metrische Größe

34 34 Varianzanalyse Einfache Varianzanalyse: Ein Faktor Zweifache Varianzanalyse: Zwei Faktoren …

35 35 Varianzanalyse Test, für arithmetische Mittel von zwei oder mehr Grundgesamtheiten. –Test, ob die Differenz der arithmetischen Mittel von zwei oder mehr als zwei Grundgesamtheiten signifikant von Null verschieden ist.

36 36 Varianzanalyse Modellannahmen der Varinazanalyse: –Unabhängigkeit der Stichproben (i=1,…,r) –Normalverteilung der Merkmale mit µ i und σ i ² –Varianzhomogenität (Homoskedastizität), d.h. σ i ² = σ²

37 37 Varianzanalyse Nullhypothese: Alle Gruppen haben den gleichen Mittelwert µ H 0 : µ 1 = µ 2 = … = µ Alternativhypothese: Nicht alle Gruppen haben den gleichen Mittelwert µ H 1 : mindestens zwei µ i sind ungleich

38 38 Varianzanalyse Frage: Beeinflusst der Faktor (nominal- skalierte Größe) das Merkmal (metrisch- skalierte Größe)? Unter H 0 : µ i = µ für alle i (i = 1,…,r Faktorstufen). Abweichung, die dem Faktor zuzuschreiben sind: α i = µ i - µ (i = 1,…,r) heißen wahre Effekte auf der i-ten Ebene.

39 39 Varianzanalyse Modell der einfachen Varianzanalyse: x ij = µ + α i + e ij –µ … Gesamtmittelwert –α i … Effekt auf der i-ten Ebene –e ij … Versuchsfehler = die Abweichung eines zufällig aus der i-ten Ebene des Faktors herausgegriffenen Beobachtungswertes x ik vom Mittelwert µ i dieser Ebene. e ij = x ij – µ i = x ij – (µ + α i )

40 40 Varianzanalyse Beispiel: Zugfestigkeit von r = 3 Drahtsorten überprüfen, je Sorte 6 Proben, unabhängig voneinander und N(µ i,σ²)-vt. Frage: Bestehen signifikante Unterschiede in der Zugfestigkeit? i Drahtsorte j , ,415,69,6 38,214,211,5 43,91319,4 57,36,817,1 610,89,714,4

41 41 Varianzanalyse Vorgehensweise: Gesamtmittelwert aller Faktorstufen und Mittelwerte der Faktorstufen bestimmen Bestimmung der Abweichungen Zerlegung der Abweichungsquadratsumme Teststatistik und Testverteilung bestimmen Entscheidung, Interpretation

42 42 Varianzanalyse Gesamtmittelwert über alle Faktorstufen r Mittelwerte der r Faktorstufen

43 43 Varianzanalyse Beispiel: Drahtsorten i Drahtsorte j123 x.. 197, ,415,69,6 38,214,211,5 43,91319,4 57,36,817,1 610,89,714,4 x i. 9,111,11511,7

44 44 Varianzanalyse Abweichungen: Quadratsumme der Abweichungen (Sum of Squares) –Abweichungen der Beobachtungen vom Gesamtmittelwert. –Summe der Quadratischen Abweichungen –Bezeichnungen: SST (Total), SSG (Gesamt)

45 45 Varianzanalyse Sum of Squares: –Abweichungen der Beobachtungen der einzelnen Messreihen vom Mittelwert der jeweiligen Messreihe. –Summe der Quadratischen Abweichungen des Restes, Maß für die nicht durch den Faktor beeinflusste Restvariabilität –Bezeichnungen: SSW (Within), SSE (Error), SSR (Residual).

46 46 Varianzanalyse Sum of Squares: –Abweichungen der Mittelwerte der einzelnen Messreihen vom Gesamtmittelwert. –Mit Stichprobengröße multiplizierte Summe der Quadratischen Abweichungen der Stichprobenmittelwerte vom Gesamtmittelwert, also der beobachteten Effekte des Faktors. –Bezeichnungen: SSB (Between), SSE (Explained), SSM (Model), SST (Treatment),

47 47 Varianzanalyse Quadratsummenzerlegung: SST = SSB + SSW Interpretation: Gesamtvarianz (SST) setzt sich aus der Variation zwischen den Messreihen (SSB) und der Variation innerhalb der Messreihen (SSW) zusammen.

48 48 Varianzanalyse Idee für Test: –Vergleich der Variation zwischen den Messreihen mit der Variation innerhalb der Messreihen –Ist die Variation zwischen den Messreihen größer als jene innerhalb der Messreihen, schließe auf Unterschied zwischen den Messreihen (Faktoreffekt).

49 49 Varianzanalyse Teststatistik – Idee: –Aus den Beobachtungswerten werden zwei voneinander unabhängige Schätzwerte für s W ² und s B ² für die Varianzen der Beobachtungswerte innerhalb und zwischen den Stichproben bestimmt. –Liegen keine wahren Effekte vor (Gültigkeit von H 0 ), sind s W ² und s B ² (bis auf zufällige Abweichungen) gleich. –Bei Vorhandensein von wahren Effekten (H 1 ) ist s B ² systematisch größer als s W ².

50 50 Varianzanalyse Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz innerhalb der Messreihen (Restvarianz): Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz zwischen den Messreihen (Faktoreffekt)

51 51 Varianzanalyse Mittlere Quadratsummen (MSS = Mean Sum of Squares): Quadratsummen dividiert durch entsprechende Freiheitsgrade MSB und MSW sind erwartungstreue Schätzer der Varianz zwischen- und innerhalb der Messreihen.

52 52 Varianzanalyse Varianzanalysetafel (r Messreihen): Streuungs- ursache Freiheits- grade (DF) Quadrat- summe (SS) Mittlere Quadratsumme (MS) Unterschied zw Messreihen r-1SSB (Between) MSB = SSB / (r-1) Zufälliger Fehler N-rSSW (Within) MSW = SSW / (N-r) GesamtN-1SST (Total)

53 53 Varianzanalyse Teststatistik: F = MSB / MSW F ~ F (r-1),(N-r) Entscheidung: Ist F F c, lehne H 0 nicht ab (F c = kritischer Wert der F-Verteilung mit (r-1) und (N-r) Freiheitsgraden).

54 54 Varianzanalyse Beispiel: Drahtsorten Quadratsummenzerlegung: SST = SSB + SSW –324,62 = 108, ,58 Mittlere Quadratsummen: –MSB = 108,04 / (3-1) = 54,02 –MSW = 216,58 / (18-3) = 14,44 Teststatistik: –F = MSB / MSW = 3,74 Kritischer Wert der F 2;15 Vt. 3,68 Entscheidung: 3,74 > 3,68 => H 0 ablehnen, d.h. es besteht ein signifikanter Unterschied zw. den Sorten

55 55 Varianzanalyse Zweifache Varianzanalyse: –2 Faktoren (A und B, wobei r Faktorstufen bei A und p Faktorstufen bei B) –1 metrische Variable Unterscheidung: –Modell ohne Wechselwirkungen zw. den Faktoren –Modell mit Wechselwirkungen zw. den Faktoren

56 56 Varianzanalyse Modell ohne Wechselwirkungen zw. den Faktoren x ijk = µ + α i + β j + e ijk (für i=1,…,r, j=1,…,p, k=1,…,n) –µ gemeinsamer Mittelwert –α, β Faktoreffekte –e ijk zufällige Fehler

57 57 Varianzanalyse Mittelwerte: Gesamt Faktor A Faktor B

58 58 Varianzanalyse Schätzer für Gesamtmittel und Effekte Gesamtmittel Effekt von Faktor A Effekt von Faktor B

59 59 Varianzanalyse Quadratsummen SSR = SST – SSE(A) – SSE(B)

60 60 Varianzanalyse Quadratsummenzerlegung –SST = SSE(A) + SSE(B) + SSR Mittlere Quadratsummen: –MSE(A) = SSE(A) / (r-1) –MSE(B) = SSE(B) / (p-1) –MSR = SSR / (rpn-r-p+1)

61 61 Varianzanalyse Prüfgrößen und kritische Werte: Faktor A: –F(A) = MSE(A) / MSR –F r-1,(nrp-r-p+1);1-α Faktor B: –F(B) = MSE(B) / MSR –F p-1,(nrp-r-p+1);1-α

62 62 Varianzanalyse Beispiel: 2 Faktoren (Erreger, Antibiotikum) Erreger i (A) Antibiotikum j (B) 123MittelwerteSchätzer a i k ,50, ,7-0, ,3-0,500 Mittelwerte 39,838,235,537,8 Schätzer b j 2,0000,333-2,333

63 63 Varianzanalyse Modell mit Wechselwirkungen zw. den Faktoren x ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + e ijk (für i=1,…,r, j=1,…,p, k=1,…,n) –µ gemeinsamer Mittelwert –α, β Faktoreffekte –αβWechselwirkung –e ijk zufällige Fehler

64 64 Varianzanalyse Mittelwerte: Gesamt Faktor A Faktor B Wechselwirkung

65 65 Varianzanalyse Gesamtmittel und Effekte Gesamtmittel Effekt von Faktor A Effekt von Faktor B Effekt der Wechselwirkung

66 66 Varianzanalyse Quadratsummen SSR = SST – SSE(A) – SSE(B) – SSE(AB)

67 67 Varianzanalyse Quadratsummenzerlegung –SST = SSE(A) + SSE(B) + SSE(AB) + SSR Mittlere Quadratsummen: –MSE(A) = SSE(A) / (r-1) –MSE(B) = SSE(B) / (p-1) –MSE(AB) = SSE(AB) / (p-1)(r-1) –MSR = SSR / (rpn-r-p+1)

68 68 Varianzanalyse Prüfgrößen und kritische Werte: Faktor A: –F(A) = MSE(A) / MSR –F r-1, pr(n-1); 1-α Faktor B: –F(B) = MSE(B) / MSR –F p-1, pr(n-1); 1-α Wechselwirkung: –F(AB) = MSE(AB) / MSR –F (p-1)(r-1), pr(n-1); 1-α

69 69 Varianzanalyse Beispiel: 2 Faktoren + Wechselwirkung Erreger i Antibiotikum j (Faktor B) (Faktor A) 123 x i.. aiai kx i1k x i1. (ab) i1 x i2k x i2. (ab) i2 x i3k x i3. (ab) i ,5-4, ,51, ,52, ,50, ,53, , ,5-1, ,7-0, ,50, , ,5-0, ,3-0,500 x.j. 39,8 38,2 35,5 37,8 bjbj 2,000 0,333 -2,333

70 70 Varianzanalyse Beispiel: Varianzanalysetafel Faktor Erreger: kein Effekt Faktor Antibiotikum: Effekt Interaktion: Effekt (impliziert, dass auch Faktor Erreger eine Wirkung hat). Streuungs- ursache Freiheits- grade Quadrat- summe Mittlere Quadrats. Test- statistik Kritischer Wert Erreger24,332,166670,524,26 Antibiotikum257,3328,66676,884,26 Interaktion493,3323,33335,603,63 Fehler937,504,16667 Total17192,5

71 71 Varianzanalyse

72 72 Nichtparametrische ANOVA Kruskal-Wallis Test Unterscheiden sich die Mittelwerte von p Messreihen (n 1, …, n p )? Voraussetzungen: –Stetige Verteilung der Messreihen –Mindestens Ordinalskala –Setzt weder Normalverteilung, noch Varianzhomogenität voraus. Hypothese: –H 0 : Mittelwerte der p Messreihen sind gleich –H 1 : Mittelwerte unterscheiden sich

73 73 Nichtparametrische ANOVA Vorgehensweise: –N Messwerten X 11, …, X pnp werden Rangzahlen r ij zugewiesen. –Summe der Ränge der einzelnen Messreihen berechnen: –Bindungen (mehrere Messwerte sind gleich): Mittelwert der Ränge

74 74 Nichtparametrische ANOVA Prüfgröße: –g … Anzahl der verschiedenen Messwerte –t … wie oft tritt ein Messwert auf –Treten keine Bindungen auf, ist B = 1

75 75 Nichtparametrische ANOVA Entscheidung: –H 0 ablehnen, wenn H > h p(n1,…,np);1-α –h … kritische Werte (Tabelle, z.B. Hartung S. 615) Approximation durch χ² p-1,1-α Verteilung: –H 0 ablehnen, wenn H > χ² p-1,1-α (Quantile der χ² Verteilung)


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