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Warteschlangen Modelle Marie-Therese Stumberger Bettina Totz.

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Präsentation zum Thema: "Warteschlangen Modelle Marie-Therese Stumberger Bettina Totz."—  Präsentation transkript:

1 Warteschlangen Modelle Marie-Therese Stumberger Bettina Totz

2 Dynamik von Warteschlangen Dynamik von Warteschlangen Eins der besten Beispiele: Eins der besten Beispiele: Disney World Konstruktion, Kapazitäts- und Layoutplanung, Verwaltung des Inventars, Zeitablaufplanung (scheduling) Konstruktion, Kapazitäts- und Layoutplanung, Verwaltung des Inventars, Zeitablaufplanung (scheduling)

3 Warum sich Warteschlangen bilden Warten auf Bedienung Warten auf Bedienung Menschen, Maschinen, Verkaufsaufträge Menschen, Maschinen, Verkaufsaufträge Momentane Unausgeglichenheit zwischen Nachfrage und Kapazität Momentane Unausgeglichenheit zwischen Nachfrage und Kapazität

4 Beispiel (Bank) 15 Kunden kommen in einer Stunde an 15 Kunden kommen in einer Stunde an 20 Kunden können bedient werden 20 Kunden können bedient werden Mittlere Bedienrate > Mittlere Bedienrate > mittlere Ankunftsrate => trotzdem Warteschlange

5 Struktur von Warteschlangen-Problemen Input – Customer Population Input – Customer Population Warteschlange von Kunden Warteschlange von Kunden Bedieneinrichtung Bedieneinrichtung Prioritätsregel Prioritätsregel

6 Customer population Warteschlange Prioritäts- regel Bedien- einrichtung Bediente Kunden Bediensystem

7 Customer Population Quelle für den Input des Bediensystems Quelle für den Input des Bediensystems Endliche Inputquelle Endliche Inputquelle Unendliche Inputquelle Unendliche Inputquelle Geduldige/ungeduldige Kunden Geduldige/ungeduldige Kunden

8 Das Bediensystem Anzahl der Bedienungskanäle Anzahl der Bedienungskanäle Bedieneinrichtungen Mehrere Schlangen Einzelne Schlange

9 Ausstattung der Bedieneinrichtung Personal, Betriebsmittel Personal, Betriebsmittel Optimale Ausstattung Optimale Ausstattung Abhängig von Kundenanzahl und der Art der angebotenen Leistung Einzelner oder mehrere Arbeitsschritte Einzelner oder mehrere Arbeitsschritte

10 Prioritätsregel FCFS – First come, first serve FCFS – First come, first serve SPT – shortest expected processing time SPT – shortest expected processing time EDD – earliest promised due date EDD – earliest promised due date Prä-emptiv Prä-emptiv

11 Verwendung von Warteschlangen- Modellen zur Analyse von Arbeitsabläufen (operations) Vorteile der Effizienzsteigerung vs. dadurch entstehende Kosten Vorteile der Effizienzsteigerung vs. dadurch entstehende Kosten Kosten durch das Nichtverbessern Kosten durch das Nichtverbessern

12 1. Schlangenlänge 2. Anzahl der Kunden im System 3. Wartezeit 4. Gesamte Zeit im System 5. Nutzung der Bedieneinrichtung Betriebseigenschaften des Systems

13 Wahrscheinlichkeits- verteilungen Ankunftszeiten folgen oft einer Poissonverteilung : Ankunftszeiten folgen oft einer Poissonverteilung : Erwartungswert u. Varianz sind λT Erwartungswert u. Varianz sind λT für n=0,1,2,…

14 Beispiel (Kundenbüro) Wie groß ist die Ws., dass in der nächsten Stunde 4 Kunden kommen? Wie groß ist die Ws., dass in der nächsten Stunde 4 Kunden kommen? –Ankunftsrate:λ=2 –Zeitperiode:T=1 –Anzahl der Kunden:n=4

15 Ankunftszeiten – Poissonprozess Ankunftszeiten – Poissonprozess => Zwischenankunftszeiten exponentialverteilt

16 Bedienzeiten oft exponentialverteilt Bedienzeiten oft exponentialverteilt Mittlere Bedienzeit: Mittlere Bedienzeit: Varianz: Varianz:

17 Dichtefunktion der Exponentialverteilung Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung λ=2 λ=1 λ=0,5 λ=2 λ=1 λ=0,5

18 Beispiel (Kundenbüro) Wie groß ist die Ws., dass ein Kunde weniger als 10 min Bedienzeit hat? Wie groß ist die Ws., dass ein Kunde weniger als 10 min Bedienzeit hat? –Bedienrate:μ=3 –Zeitperiode:T=1/6

19 Gedächtnislosigkeit Gedächtnislosigkeit A/B/s A/B/s M/M/s (memoryless) M/M/s (memoryless)

20 Single-Server Model (M/M/1) Customer Population unendlich Customer Population unendlich Kunden geduldig Ankunft poissonverteilt Ankunft poissonverteilt Bedienzeiten exponentialverteilt Bedienzeiten exponentialverteilt FCFS FCFS Warteschlange unbeschränkt Warteschlange unbeschränkt

21 Operative Eigenschaften Auslastung des Systems Ws., dass n Kunden im System sind () mittlere Anzahl an Kunden im System mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Zeit im System mittlere Wartezeit

22 Beispiel (Supermarkt) Eigene Kassa für Senioren Eigene Kassa für Senioren 30 Kunden/Stunde bezahlen 30 Kunden/Stunde bezahlen 35 Kunden bedienen 35 Kunden bedienen

23 Der Kassier ist 85,7% seiner Zeit beschäftigt. Im Schnitt sind 6 Senioren im System. Im Mittel warten 5,14 Kunden auf ihre Bedienung. Im Schnitt verbringen die Kunden 12 Minuten im System. Die mittlere Wartezeit beträgt gute 10 Minuten.

24 Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass die Kunden nur 8 min im System sind? Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass die Kunden nur 8 min im System sind?

25 Wie hoch ist dann die Ws., dass mehr als 4 Kunden im System sind? Wie hoch ist dann die Ws., dass mehr als 4 Kunden im System sind? mit

26 Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass diese Ws. Nur 10% beträgt? Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass diese Ws. Nur 10% beträgt?

27 Multiple-Server Model (M/M/s) Wählen einen der Bedienungskanäle, wenn einer frei ist Wählen einen der Bedienungskanäle, wenn einer frei ist Ein Arbeitsschritt Ein Arbeitsschritt Gleiche Annahmen wie bei M/M/1 Gleiche Annahmen wie bei M/M/1 Zusätzlich: Bedienungskanäle identisch Zusätzlich: Bedienungskanäle identisch

28 Operative Eigenschaften für Auslastung des Systems Ws., dass kein Kunde im System ist Wahrscheinlichkeit, dass n Kunden im System sind

29 mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Wartezeit mittlere Zeit im System mittlere Anzahl an Kunden im System

30 Beispiel (Verladestation) 4 Ablade-Stationen 4 Ablade-Stationen Pro Station ein Arbeitsteam - $30/h Pro Station ein Arbeitsteam - $30/h Verlust - $50/h Verlust - $50/h 3 LKWs pro Stunde 3 LKWs pro Stunde Team benötigt 1 Stunde fürs Ausladen Team benötigt 1 Stunde fürs Ausladen

31 Wie hoch sind nun die stündlichen Kosten dieses Betriebs?

32 LKWs im System Lohnkosten$30s=$304=$120,00 Verlust der LKWs$50L=$504,53=$226,50 Gesamte Kosten/Stunde$346,50

33 Finite-Source Model Gleiche Annahmen wie Single-Server außer: Gleiche Annahmen wie Single-Server außer: Customer Population endlich (N)

34 Operative Eigenschaften Ws., dass kein Kunde im System ist Auslastung des Systems mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Anzahl an Kunden im System mittlere Wartezeit mittlere Zeit im System

35 Beispiel (Roboter) 10 Roboter in Betrieb 10 Roboter in Betrieb Zeit zwischen Ausfälle: 200 Stunden Zeit zwischen Ausfälle: 200 Stunden Pro Stunde Ausfall Kosten von $30 Pro Stunde Ausfall Kosten von $30 10 Stunden für Reparatur 10 Stunden für Reparatur Arbeiter bekommt $10/h Arbeiter bekommt $10/h

36 Wie hoch sind nun die täglichen Kosten für den Arbeiter und der ausgefallenen Maschinen? Ausfälle pro Stunde Roboter werden pro Stunde bedient oder 46,2%

37 Roboter in der Warteschlange Roboter im System Stunden Wartezeit Stunden im System

38 Lohnkosten$1080,462=$ 36,96 Verlust durch Ausfall$3080,76=$182,40 Gesamte Kosten/Tag$219,36

39 Entscheidungsbereich des Managements 1. Ankunftsrate 2. Anzahl der Bedienungseinrichtungen 3. Anzahl der Arbeitsschritte 4. Anzahl der Bediener pro Bedieneinrichtung 5. Effizienz der Bediener 6. Prioritätsregel 7. Anzahl der Warteschlangen


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