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Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK Konstantinos Panagiotou.

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Präsentation zum Thema: "Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK Konstantinos Panagiotou."—  Präsentation transkript:

1 Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK Konstantinos Panagiotou

2 Organisatorisches

3 Das Team Falls es Fragen gibt, bitte unterbrechen Sie mich…! Robert Graf Benedikt Stufler Manuel Wickmann Michael Wolff Iosif Petrakis Ronja Kuhne Alexisz Gaal Tobias Ried

4 Die Geburtsstunde der Graphentheorie

5 Vor vielen Jahren …

6 Populäres Puzzle (~1700): ist es möglich durch die Stadt zu laufen, so dass man jede Brücke genau einmal überquert?

7 Ist es wichtig, wie breit der Fluss ist? Ist es wichtig, wie groß die Insel ist? Ist es wichtig, dass die Brücke aus Stein gebaut ist? Ist es wichtig, ob es regnet? Was ist wichtig?

8 Andere Beispiele Kann man eine gegebene Figur zeichnen, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen?

9 Euler Eulers Kommentar: Was dieses Problem angeht, so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden ob es einen gibt der den Anforderungen genügt. Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.

10 Nur eine Spielerei? Problem in der Logistik: – Post – Müllabfuhr –…–… Viele weitere Anwendungen: – Gentechnologie: Sequenzierung –…–… Eulers Problem

11 Ein ähnliches Problem Ein Reisender möchte bestimmte Städte besuchen Er kennt die Verbindungen zwischen den Städten Am Schluss möchte er wieder an seinem Ausgangsort ankommen Er will keine Stadt mehrmals besuchen

12 Was ist (nicht) wichtig?

13 Beispiele

14

15 Ursprung

16 Wie macht man das? […] so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden […] (Euler) … Es gibt insgesamt n Städte Die Städte sind komplett miteinander verbunden Jede Verbindung hat ein unterschiedliches Gewicht Möglicher Lösungsansatz: vollständige Aufzählung aller möglichen Wege! Wieviel Zeit braucht ein heutiger Computer?

17 Zeit? Zeit = Anzahl Wege * t, wobei – t = Zeit, um die Länge des Weges zu berechnen Nehmen wir mal an, dass t sehr klein ist: 1/ Sekunden Was ist die Anzahl Wege?

18 Anzahl Wege Anzahl Wege = Anzahl Mögl. den ersten Schritt zu machen * Anzahl Mögl. den zweiten Schritt zu machen … * Anzahl Mögl. den i-ten Schritt zu machen … * Anzahl Mögl. den letzten Schritt zu machen = (n-1) * (n-2) *… * (n-i) * … * 1 = (n-1)!

19 Beispiele n = 11: Die benötigte Zeit ist – 10 * 9* 8* … *2*1 * t = *1/ ~ 3 Sek. n = 13: – 12*11*…*2*1 * t ~ 360 Sek. (6 Minuten!) n = 16: – 15*14*…*2*1 * t ~ Sek (ca. 300 Stunden!!) n = 21: – 20*19*….*2*1 * t ~ 2* Sek. (ca. 700 Jahre!!!) n = 41 – 40*39*…*2*1 * t ~ … (> Alter des Universums!!!!) Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.

20 Ein Zuordnungsproblem Nikolaus hat viele verschiedene Geschenke, die er verteilen möchte. Jedes Kind freut sich nur über bestimmte Geschenke. z.B. Peter freut sich über Modelleisenbahn, Nintendo WII, aber nicht über Lego. Problem: Wie soll der Nikolaus die Geschenke verteilen (eins pro Kind), so dass möglichst viele Kinder sich freuen?

21 Was ist (nicht) wichtig?

22 Eine abstrakte Sichtweise Die Aufgabe vom Nikolaus: Mache möglichst viele Kinder glücklich und jedes Kind bekommt höchstens ein Geschenk = Finde eine maximale Menge von Verbindungen, so dass jeder rote und blaue Punkt zu höchstens einer gehört! KinderGeschenke Peter WII Eisenbahn Lego … … …

23 Nur eine Spielerei? Welche Züge sollen welche Routen fahren? Welche Professoren sollen welche Vorlesungen halten? Welche Zulieferer sollen welche Waren wo liefern? …

24 Ein letztes Beispiel Experiment in den 60er Jahren, durchgeführt von Stanley Milgram – Eine Person s erhielt einen Brief, der an eine andere Person t adressiert war – Wichtige Informationen über t wurden s mitgeteilt – s konnte den Brief nur an jemanden schicken, der/die ihm/ihr persönlich bekannt war 1) Viele Briefe gingen verloren 2) Mittlere Länge einer erfolgreichen Kette: 5.6 1) Viele Briefe gingen verloren 2) Mittlere Länge einer erfolgreichen Kette: 5.6

25 Fragen Warum existieren kurze Ketten? Wie können Individuen solche Ketten finden (ohne alle Bekanntschaften zu kennen?) Heute: – Durchschnittliche Länge in Facebook: 4.7 (!) – Yahoo! Labs Small World Experiment – Ähnliche Eigenschaften in anderen Netzwerken: Twitter, Youtube, … Es gibt auch deutlich längere Ketten.

26 Eine abstrakte Sichtweise Mitglieder von FACEBOOK: Punkte Freundschaft in FACEBOOK: Verbindung Wie sieht FACEBOOK aus?

27 FACEBOOK

28 Zusammenfassung Eulers Problem Zuordnungsproblem Reisender FACEBOOK

29 Was haben diese Probleme gemeinsam? Sie lassen sich durch sehr ähnliche (abstrakte) Objekte beschreiben: – Punkte – Verbindungen Genau das sind Graphen…!


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