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- UNTERSUCHUNG VON REALITÄTSNAHEN PROBLEMEN MIT FUNKTIONEN Christian, Jannik, Stefan EXTREMWERTPROBLEME.

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Präsentation zum Thema: "- UNTERSUCHUNG VON REALITÄTSNAHEN PROBLEMEN MIT FUNKTIONEN Christian, Jannik, Stefan EXTREMWERTPROBLEME."—  Präsentation transkript:

1 - UNTERSUCHUNG VON REALITÄTSNAHEN PROBLEMEN MIT FUNKTIONEN Christian, Jannik, Stefan EXTREMWERTPROBLEME

2 Übersicht Realitätsnahe Probleme Textaufgaben Tipps Extremwertaufgaben Ziel Lösungsstrategie Beispielaufgabe

3 Umgang mit Textaufgaben Was ist die Aufgabe? Welche Teile sind unwichtig? Meistens: Namen Orte Welche Teile sind wichtig? Meistens Zahlen Operatoren

4 Beispielaufgabe Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei Segelfliegern saufen genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(v w ) zu finden, sie ist mit dem Saufen (v s ) über die Funktion verbunden. Wie kommt man möglichst schnell möglichst weit, ohne dabei an Höhe zu verlieren?

5 Beispielaufgabe Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei Segelfliegern saufen genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(v w ) zu finden, sie ist mit dem Saufen (v s ) über die Funktion verbunden. Wie kommt man möglichst schnell möglichst weit, ohne dabei an Höhe zu verlieren?

6 Beispielaufgabe Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei Segelfliegern saufen genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(v w ) zu finden, sie ist mit dem Saufen (v s ) über die Funktion verbunden. Wie kommt man möglichst schnell möglichst weit, ohne dabei an Höhe zu verlieren?

7 Beispielaufgabe Wie kommt man möglichst schnell ohne Höhenverlust am Weitesten?

8 Extremwertaufgaben Ziel: Größe extrem groß (maximal) bzw. extrem klein (minimal) zu bekommen Prozesse optimieren minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder Volumen Schwierigkeit: Mathematik zur Lösung ist einfach ABER: Extremwertaufgaben sind meistens Textaufgaben, die zuerst verstanden werden müssen.

9 Extremwertaufgaben - Lösungsstrategie Aufgabe: An einer Hauswand soll mit einem 20 m langem Zaun ein möglichst großer, rechteckiger Garten abgesteckt werden. Wie groß ist die Fläche des Gartens? 1) Aufgabensituation, wenn möglich, in einer Skizze darstellen 2) Aufschreiben, was gegeben und was gesucht ist (Namen für Ausgangsgrößen und Unbekannte [a, x, q, A, F, V usw.]) 3) Zielfunktion erkennen und als mathematische Funktion formulieren 4) Nebenbedingung erkennen

10 Extremwertaufgaben – Lösungsstrategie (II) 5) Nebenbedingungen in Zielfunktion einsetzen 1) Zu optimierender Wert steht in Abhängigkeit von nur einer Variablen 2) Maximum oder Minimum bestimmen 6) Interpretation des Ergebnisse Liegt Wert im Definitionsbereich? Gibt es noch weitere Maxima? 7) Übrige relevante Werte berechnen 8) Antwort formulieren

11 Eine Firma für Qualitäts-Uhren hat ein Firmengelände von 680 m². In der seit 1985 existierenden Fabrik werden pro Jahr 20 Uhren hergestellt. Der Chef hat in der Jahresbilanz 2007 festgestellt, dass die Nachfrage mit 14 Mitarbeitern und der 450 m² großen Arbeitsfläche nicht mehr gedeckt werden kann. Eine Erweiterung kostet die Firma 5,0 Millionen. Nach wie viel Jahren rentiert sich der Ausbau aus dem Mehrgewinn, wenn der Gewinn pro Uhr maximal gehalten werden soll? Den Gewinn für eine Uhr in Abhängigkeit von der produzierten Anzahl kann man durch die Funktionen und s annähern. (Eine Einheit entspricht dabei 1000.)

12 Lösungsansatz Zielfunktion suchen Gewinnfunktion Produktion bei maximalem Gewinn Maximum bestimmen Berechnung des Mehrgewinns Verteilung auf die Anzahl der Jahre

13

14 Ergebnis - Antwort Nach 4 Jahren rentiert sich die Vergrößerung des Unternehmens.


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