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Vermischungsvorgänge Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern W. Kinzelbach, O. Cirpka SS 06.

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Präsentation zum Thema: "Vermischungsvorgänge Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern W. Kinzelbach, O. Cirpka SS 06."—  Präsentation transkript:

1 Vermischungsvorgänge Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern W. Kinzelbach, O. Cirpka SS 06

2 Molekulare Diffusion (1) –Angetrieben durch Brownsche Molekularbewegung –Nur wichtig in Grenzschichten und bei Transport über sehr kleine Distanzen –Beschreibung durch das Ficksche Gesetz –Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung –Diffusionsgleichung –Diffusionskonstante ist Produkt aus mittlerer molekularer Geschwindigkeit und mittlerer freier Weglänge (+ Anfangs- und Randbedingungen)

3 Molekulare Diffusion (2) Asymptotik –Wachstum der Verteilungsbreite proportional –Nach Einstein: Molekulare Diffusion ist Random Walk Prozess –Z. B. in 1D entlang x-Achse: Schrittweite L in Zeit, N Schritte in Zeit t (N = t/ ) Beweis durch vollständige Induktion. Aus Richtigkeit für N folgere Richtigkeit für N+1 x

4 Turbulente Diffusion (1) Angetrieben durch Turbulenz (Wirbel) –Taylors Theorie der turbulenten Diffusion (im mitbewegten Koordinatensystem d.h. =0) Ensemblemittel

5 Turbulente Diffusion (2) Lagrangesche Autokorrelationsfunktion für stationäre Turbulenz 1 R( ) Lagrangesche Zeitskala Ersetze s = 2 - 1, = ( )/2 Analog für

6 Turbulente Diffusion (3) Grenzbetrachtungen –Für sehr kleine t ist R x ungefähr 1 also kein Diffusionsprozess da proportional zu t 2 –Für sehr grosse t (t > T L ) –Turbulenter Diffusionskoeffizient

7 Turbulente Diffusion (4) Zwischen beiden Zeitskalen Richardson/Batchelor –Betrachte relative Diffusion bezüglich Schwerpunkt 4/3-Gesetz empirisch bestätigt in grossen Strömungen Ursache: Energiedichtespektrum der Wirbel, die Energie von grosser zu kleiner Skala transportieren

8 Turbulente Diffusion (5) Drei Ausbreitungsstadien (1)Differentielle Advektion (2)Zwischenbereich (3)Asymptotische Ficksche Diffusion

9 Formeln für die turbulente Diffusion (1) Vertikale turbulente Mischung im breiten Fluss z z zbzb Log-Profil: Reynoldsanalogie Mittelung von turb über die Tiefe und = 0.4 liefert Karmankonstante d.h. Annahme der Analogie zwischen turbulentem Impulstransport und turbulentem Transport des gelösten Stoffes mit und

10 Formeln für die turbulente Diffusion (2) Transversale turbulente Mischung Empirischer Ansatz in Analogie zur vertikalen Mischung mit * = Fischer * = 0.6

11 Dispersion in scherenden Strömungen Laminarer Fall: Taylor (2D Strömung zw. Platten, Breiteneinheit) b y x Transformation ins mitbewegte Koordinatensystem Vernachlässigung des longitudinalen Diffusionsterms Annahme: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und lateraler Diffusion

12 Reynolds-Zerlegung in Zeit bei turb. Diffusion im Raum bei Dispersion

13 Lösung Einsetzen liefert den Massenfluss über den Querschnitt Identifikation mit einem Fluss-Gradienten-Gesetz liefert die Definition des Dispersionskoeffizienten D x

14 Analog: Herleitung des Dispersionskoeffizienten in turbulenter Strömung Ausgangspunkt: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und transversaler turbulenter Diffusion Im mitbewegten Koordinatensystem = x – ut gilt: Sowohl vertikales u-Profil als auch horizontales u-Profil wirken bei der Längsdispersion mit. I. Allg. ist das Querprofil wichtiger, da das log. Tiefenprofil ausgeglichener ist. Gleichung (*) wird deshalb tiefengemittelt (*)

15 Lösung Zweimalige Integration über y von 0 bis y liefert Daraus folgt der dispersive Massenfluss und durch Vergleich mit der Fluss-Gradienten-Form der Dispersionskoeffizient D x (**)

16 Formeln für die Dispersion Formel von Fischer (aus (**) formal durch Einsetzen von konstanter Tiefe) u aus gemessenen Profilen Näherungsformel für (***) Werte für den Rhein: D x = 100 – 1000 m 2 /s (***)

17 Analytische Lösungen der Transportgleichung (1) Momentaner Tracerstoss Permanente Tracereinleitung Tracerstoss der Dauer t

18 Analytische Lösungen der Transportgleichung (2) Stationäre Lösung ( t gegen unendlich in c permanent ) Für x > 0: Für x < 0: Anwendung: Bestimmung des Dispersionskoeffizienten in einem gut durchmischten Ästuar aus Salinitätsverteilung ( = 0) Meer c = c 0 x > 0 Ästuar c < c 0 x > 0 x = 0 Upstream Dispersion

19 Analytische Lösungen der Transportgleichung (3) Stationäre Lösung für Fahne in Ufernähe Approximation falls: Fahnenbreite Methode zur Messung von y im Tracerversuch K 0 ist eine Besselfunktion) u y x x) Falls Anfangsbreite >0

20 Probleme der 1D-Behandlung 1D-Modell in natürlichen Flüssen oft nicht bestätigt, Totwasserzonen!! Ausweg: Heterogenes Modell (2 Transportgleichungen) Anwendbarkeit des 1D-Modells erst nach Fliesslänge L mit u < 0 u = 0 Hauptfluss Totwasser

21 Tiefenmischung in Seen Tiefenmischung in Seen wird behindert durch stabile Dichteschichtung Dichteschichtungen kommen zustande durch: –Temperaturgradienten –Salinitätsgradienten Stabile Schichtung: Stabil bedeutet: Wasserpaket kehrt nach Auslenkung in die Ausgangslage zurück

22 Stabilitätsfrequenz (1) Infinitesimale Auslenkung eines Wasserpakets mit Masse m, Volumen V um Strecke führt zu Auftriebskraft: Das Wasserpaket schwingt mit der Frequenz N (T = 2 /N) N heisst Stabilitätsfrequenz (oder Brunt–Väisälä-Frequenz) z

23 Stabilitätsfrequenz (2) Bei negativem N ist die Schichtung instabil Der vertikale Mischungskoeffizient ist ein Funktion von N Falls auch die Salinität an der Dichteverteilung über die Tiefe beteiligt ist, gilt: Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Dichte vom Druck, so muss die potentielle Temperatur statt der tatsächlichen Temperatur T betrachtet werden, d.h. die um den adiabatischen Temperaturverlauf bereinigte Temperaturverteilung (erst im tiefen Ozean wichtig)

24 Vertikale turbulente Vermischung Turbulente Vermischung wirkt der stabilen Schichtung entgegen Instabile Schichtung erzeugt konvektive Turbulenz und damit Vermischung Bezogen auf die Masse N 2 0 Turbulenz wird gedämpft

25 Charakteristische dimensionslose Zahl Gradienten-Richardson-Zahl: Vergleicht die relative Wichtigkeit von Turbulenz und Stratifikation Definition: Stratifikation Produktion von Turbulenz

26 Vertikaler Vermischungskoeffizient Empirische Ansätze haben die Form: Messung von z aus Spurenstoffprofilen (z. B. Radon) oder Temperaturprofilen


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