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Versichern und Bausparen 1 Copyright by Debeka VVaG Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung ? Karl - Josef Maiwald Welche Arten von Mathematik.

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1 Versichern und Bausparen 1 Copyright by Debeka VVaG Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung ? Karl - Josef Maiwald Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung ? Karl - Josef Maiwald 22. März 2010: ILF-Fortbildung bei der Debeka

2 Versichern und Bausparen 2 Copyright by Debeka VVaG Themen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Welche Arten von Mathematik werden dazu benötigt?

3 Versichern und Bausparen 3 Copyright by Debeka VVaG Gefahr: Der Ernährer der Familie fällt aus Schutz durch Lebensversicherung Gefahr: Altersarmut Schutz durch Rentenversicherung Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Vorzeitiger TodRisiko: Langlebigkeit

4 Versichern und Bausparen 4 Copyright by Debeka VVaG Gefahr: Einkommensausfall Schutz durch Berufsunfähigkeits- versicherung Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Gefahr: Krankheitskosten nicht bezahlen zu können Schutz durch Krankenversicherung Risiko: Krankheit Risiko: Invalidität und Berufsunfähigkeit

5 Versichern und Bausparen 5 Copyright by Debeka VVaG Gefahr: Pflegekosten nicht bezahlen zu können Schutz durch Pflegeversicherung Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch KFZ-Haftpflichtversiche- rung Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Pflegefall Risiko: Autounfall

6 Versichern und Bausparen 6 Copyright by Debeka VVaG Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch Wohngebäudeversiche- rung bzw. Elementarversicherung Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch Haftpflichtversicherung Risiko: Schadenersatzansprüche gegenüber Dritten Risiko: Feuer, Wasser, Sturm, Erd- beben, Hochwasser, Hagel...

7 Versichern und Bausparen 7 Copyright by Debeka VVaG Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Die Absicherung der wirtschaftlichen Folgen von Risiken ist das Betätigungsfeld einer Versicherung Bedarfsgerechte Produkte zur Absicherung der Risiken schaffen. Preise festlegen. Aufgabe einer Versicherung:

8 Versichern und Bausparen 8 Copyright by Debeka VVaG Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Wie kann man Risiken messen? Antwort: mit Mathematik! Um einen Preis für eine Versicherung fest- setzen zu können, müssen die Risiken mess- bar gemacht werden.

9 Versichern und Bausparen 9 Copyright by Debeka VVaG Für biometrische Risiken benötigt man deren Eintrittswahr- scheinlichkeit. Wie kann man Risiken messen? Für Kosten-, Schaden- und Haftungsrisiken benötigt man zusätzlich deren Schadenhöhen und Verteilung. Die Messbarkeit der Eintritte von Risiken und deren Schaden- höhen erfolgt mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik. Es steckt somit viel Stochastik in einer Versicherung. Es können nur Risiken versichert werden, die noch nicht eingetreten sind. ! Brennende Häuser kann man nicht mehr versichern.

10 Versichern und Bausparen 10 Copyright by Debeka VVaG Ein 45-jähriger Mann möchte eine einjährige Lebensversicherung über Euro abschließen. 1. Beispiel: Risikomessung in der Lebensversicherung Risikomessung: Bestimmung der Sterbewahrscheinlichkeit. 1) 2)Das Verfahren liefert für jedes Alter die Sterbetafel. Ergebnis: q 45 = 0,3 %

11 Versichern und Bausparen 11 Copyright by Debeka VVaG Prämienbestimmung: E(VS) = Erwartete Versicherungsleistung = Eintrittswahrscheinlichkeit für Todesfall x Schadenhöhe (Versicherungssumme) = q 45 x VS = 0,003 x = 30 EUR

12 Versichern und Bausparen 12 Copyright by Debeka VVaG Versicherung kann nur funktionieren, wenn viele Personen eine solche Versicherung abschließen. Beispiel: Einnahmen jährige Männer: x 30 = EUR Ausgaben 3 Personen sterben: 3 x EUR= EUR Es wird eine große Gefahren- gemeinschaft benötigt.

13 Versichern und Bausparen 13 Copyright by Debeka VVaG 2. Beispiel: Risikomessung in der Krankenversicherung: Eintrittswahrscheinlichkeit für Krankheit Höhe der Schäden bzw. Schadenhöhenverteilungen Bei einer Krankenversicherung liegt ein besonderes Schutz- bedürfnis der Versicherten vor. Für die Risikomessung und Prämienberechnung sind gesetz- liche Rahmenbedingungen zu berücksichtigen.

14 Versichern und Bausparen 14 Copyright by Debeka VVaG § 12 Abs.1 Nr.1 VAG Die Prämien sind auf versicherungsmathemati- scher Grundlage... zu berechnen. Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation Wahrscheinlichkeitstafeln statistische Daten zur Krankheitsgefahr Sterblichkeit Stornowahrscheinlichkeit... Für die Beitragskalkulation in der substitutiven Krankenversicherung gilt:

15 Versichern und Bausparen 15 Copyright by Debeka VVaG Es ist eine Alterungsrückstellung nach § 341 f HGB zu bilden. Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation Der Versicherer verzichtet auf das ordentliche Kündigungsrecht. § 12 c VAG Kalkulationsverordnung § 12 Abs 1 Nr. 2 VAG: § 12 Abs 1 Nr. 3 VAG:

16 Versichern und Bausparen 16 Copyright by Debeka VVaG 1. Dauernde Erfüllbarkeit Der Beitrag muss so kalkuliert sein, dass der Versicherungs- vertrag dauernd, d. h. lebenslang, erfüllbar ist. Kalkulationsgrundsätze PKV: Dauerhaft deshalb, weil eine Kündigung durch den Versicherer ausgeschlossen ist.

17 Versichern und Bausparen 17 Copyright by Debeka VVaG 2. Äquivalenzprinzip Die erwarteten Leistungen müssen genau durch die erwarteten Beitragseinnahmen gedeckt werden. künftige Leistungen (Leistungs- barwert) künftige Beiträge (Prämien- barwert) Das heißt: kein Gewinnzuschlag! Kalkulationsgrundsätze

18 Versichern und Bausparen 18 Copyright by Debeka VVaG Alter EUR 3. Risikogerechter / Risikoadäquater Beitrag Kalkulationsgrundsätze Keine Bemessung der Prämie nach dem Einkommen wie in der GKV. Das Krankheitsrisiko ist unabhängig vom Einkommen.

19 Versichern und Bausparen 19 Copyright by Debeka VVaG Alter EUR Kalkulationsgrundsätze 4. Beitrag vom Eintrittsalter abhängig Der Beitrag darf wegen Älterwerdens der versicherten Person nicht erhöht werden

20 Versichern und Bausparen 20 Copyright by Debeka VVaG Risikomessung: Krankheit 1 Person je Alter

21 Versichern und Bausparen 21 Copyright by Debeka VVaG 10 Personen je Alter Risikomessung: Krankheit

22 Versichern und Bausparen 22 Copyright by Debeka VVaG 50 Personen je Alter Risikomessung: Krankheit

23 Versichern und Bausparen 23 Copyright by Debeka VVaG 100 Personen je Alter Risikomessung: Krankheit

24 Versichern und Bausparen 24 Copyright by Debeka VVaG 250 Personen je Alter Risikomessung: Krankheit

25 Versichern und Bausparen 25 Copyright by Debeka VVaG 500 Personen je Alter Risikomessung: Krankheit

26 Versichern und Bausparen 26 Copyright by Debeka VVaG 1000 Personen je Alter Risikomessung: Krankheit

27 Versichern und Bausparen 27 Copyright by Debeka VVaG Risikomessung: Krankheit

28 Versichern und Bausparen 28 Copyright by Debeka VVaG Risikomessung: Arzneien und Verbandmittel 0,00 200,00 400,00 600,00 800, , , , , , , Alter EUR Frauen Männer

29 Versichern und Bausparen 29 Copyright by Debeka VVaG Risikomessung: ambulant 0, , , , , , , Alter EUR Männer Frauen

30 Versichern und Bausparen 30 Copyright by Debeka VVaG Risikomessung: Krankenhaus 0,00 500, , , , , , , , , , Alter Männer Frauen

31 Versichern und Bausparen 31 Copyright by Debeka VVaG Alter 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300, Männer Frauen Risikomessung: Zahnbehandlung

32 Versichern und Bausparen 32 Copyright by Debeka VVaG Alter 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300,00 350,00 400,00 450, Frauen Männer und Risikomessung: Kieferorthopädie / Zahnersatz

33 Versichern und Bausparen 33 Copyright by Debeka VVaG Wie werden die Wahrscheinlichkeiten m p x und die Er- wartungswerte K x+m bestimmt? Ableitung aus Beobachtungen an eigenen Versicherten- beständen oder - falls nötig - aus branchenweiten Sammel- statistiken mit Hilfe von Methoden der Statistik. Insbesondere werden Verfahren der Schätztheorie, Testtheorie und (nicht-parametrischen) Regression eingesetzt. Risikomessung: Krankheit

34 Versichern und Bausparen 34 Copyright by Debeka VVaG Datengewinnung Anzahl der Rechnungen jährlich: 25 Millionen Für 4 Jahre:100 Millionen Versicherte Personen:4 Millionen

35 Versichern und Bausparen 35 Copyright by Debeka VVaG Der Gesetzgeber verlangt von den Versicherungsunternehmen, dass sie zur Sicherstellung der dauernden Erfüllbarkeit der Verträge Eigenmittel bilden, um mögliche Verluste abdecken zu können. 3. Beispiel: Das Versicherungsunternehmen als Risiko Eigenmittel Verluste

36 Versichern und Bausparen 36 Copyright by Debeka VVaG Die Risiken eines Versicherungsunternehmens Kapitalanlage- risiko Kalkulations- risiko operationales Risiko Versicherungsleistungen Kursänderungen von Aktien, Zinsen sinken Verluste durch Menschen (Fehlverhalten, Betrug) Ausfall von Krediten Konzentrationsrisiko Verbleibewahrscheinlichkeiten Kosten IT-Systeme (Zusammenbruch) externe Ereignisse (Gesetzgebung)

37 Versichern und Bausparen 37 Copyright by Debeka VVaG Verteilungsfunktion Das VU benötigt Kenntnisse über die Eintrittswahrschein- lichkeit und die Ausprägung der Risiken. Es muss die Verteilung der Zufallsvariablen kennen, die die Ereignisse beschreiben. Eine der bekanntesten Verteilungsfunktionen ist die Normal- oder Gaußverteilung.

38 Versichern und Bausparen 38 Copyright by Debeka VVaG Normalverteilung

39 Versichern und Bausparen 39 Copyright by Debeka VVaG Beispiel Ein VU möchte am in Aktien investieren. Das VU benötigt am zur Erfüllung einer Versicherungsleistung. Wie viel Kapital muss das VU neben dem Aktieninvestment sicher anlegen, um auch bei einem Rückgang des Aktienkurses seine Leistung mit 90 %-iger Sicherheit erfüllen zu können ?

40 Versichern und Bausparen 40 Copyright by Debeka VVaG Verteilungsfunktion Gewinn (50 %) Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt, Erwartungswert der Aktien ( ): Verlust (50 %)

41 Versichern und Bausparen 41 Copyright by Debeka VVaG Ziel: Die Gefahr für einen Verlust soll von 50% auf 10% reduziert werden. Das Risikomaß Value at Risk zum 10%-Niveau ist der größte Wert, den die Zufallsvariable mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit unterschreitet. VaR(10%) = : Mit nur 10%-iger Wahrscheinlichkeit fällt der Wert der Aktien unter Mit dem VaR kann die Verlustrücklage bestimmt werden, die das VU bilden muss, damit es nach einem Rückgang des Aktienkurses mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit die Leistung nicht erfüllen kann. Verlustrücklage = =

42 Versichern und Bausparen 42 Copyright by Debeka VVaG Verteilungsfunktion Gewinn (50 %) Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt, Erwartungswert der Aktien: Verlust (10 %) Verlustrücklage (3.845 )

43 Versichern und Bausparen 43 Copyright by Debeka VVaG Modellvorgabe: VaR mit 0,5%-Niveau Ein VU muss so viel Sicherheitskapital besitzen, dass es höchstens mit 0,5%-iger Wahrscheinlichkeit einen Verlust erleidet bzw. mit 99,5%-iger Wahrscheinlichkeit keinen Verlust erleidet.

44 Versichern und Bausparen 44 Copyright by Debeka VVaG Statistik Analysis lineare Algebra Numerik Wahrscheinlichkeits- theorie Risikotheorie Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung? Je mehr Mathe, desto besser!

45 Versichern und Bausparen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit


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