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A LLGEMEINE STETIGE V ERTEILUNGEN UND KONKRETE A NWENDUNGEN Universität Potsdam Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Dozentin: Prof.

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1 A LLGEMEINE STETIGE V ERTEILUNGEN UND KONKRETE A NWENDUNGEN Universität Potsdam Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Dozentin: Prof. Dr. Roelly Referentin: Madlen Weps

2 G LIEDERUNG (1) Theorie zu stetigen Verteilungen Zufallsvariable Verteilungsfunktion Dichtefunktion Erwartungswert Varianz (2) Konkrete Beispiele Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung (3) Zusammenfassung

3 D EFINITION : Z UFALLSVARIABLE Es sei (Ω,,) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine (reelle) Zufallsvariable ist eine Abbildung : Ω mit der sogenannten Messbarkeitseigenschaft { Ω:()} für jedes.

4 D EFINITION : V ERTEILUNGSFUNKTION Ist X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlich- keitsraum (Ω,,), so heißt die durch () (), definierte Funktion : (0,1) die Verteilungs- funktion von X.

5 D EFINITION : S TETIGE Z UFALLSVARIABLE Eine Zufallsvariable X heißt stetig (verteilt), wenn es eine nichtnegative integrierbare Funktion : mit der Eigenschaft gibt, so dass die Verteilungsfunktion von die folgende Darstellung besitzt: ()=()= (t),. ()=1

6 B EMERKUNG Für reelle Zahlen a)=1()= ()

7 D EFINITION : E RWARTUNGSWERT Sei : (0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichte. Falls () existiert, heißt () () der Erwartungswert der Verteilungsfunktion F mit Dichte f.

8 D EFINITION : V ARIANZ Sei : (0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichtefunktion. Die Zahl ² () (())²() heißt Varianz der Verteilungsfunktion mit Dichte f, falls existiert und das Integral existiert.

9 Die Zahl heißt Standardabweichung der Verteilungsfunktion F mit der Dichte f.

10 D IE G LEICHVERTEILUNG Die Zufallsvariable hat eine stetige Gleich- verteilung auf dem Intervall (,), kurz ~(,), falls die Dichte besitzt.

11 D IE G LEICHVERTEILUNG Die Verteilungsfunktion von hat die Darstellung

12 S ATZ : Die Gleichverteilung (,) hat den Erwartungswert =((,))= und die Varianz ²=((,))=

13 B EISPIEL Die S-Bahnen einer bestimmten Linie fahren tagsüber alle 15 Minuten an einer Haltestelle ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man an der Haltestelle eine maximale Wartezeit von x Minuten hat, bis die nächste S-Bahn kommt?

14 D IE E XPONENTIALVERTEILUNG Die Zufallsvariable hat eine Exponentialverteilung mit dem Parameter >0,, kurz ~(), falls die Dichte

15 D IE E XPONENTIALVERTEILUNG Die Verteilungsfunktion von hat die Darstellung

16 S ATZ : Die Exponentialverteilung () hat den Erwartungswert =(())= und die Varianz ²=(())=

17 B EISPIEL Lebenserwartung einer Glühbirne Die Glühbirnen einer bestimmten Sorte haben eine Lebenserwartung von 2000 Stunden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Glühbirne. a) eine Brenndauer von mind Stunden hat? b) eine Brenndauer von mehr als 5000 Stunden hat? c) eine Brenndauer zw.1800 und 2800 Stunden hat? Nach welchem Zeitraum ist von einer Glühbirnen-Menge dieser Sorte die Hälfte intakt? (unter Voraussetzung, dass alle dieser Birnen gleich beansprucht werden?

18 D IE N ORMALVERTEILUNG

19 Die Zufallsvariable hat eine Normalverteilung mit den Parametern und ²,, >0, kurz ~(,²), falls die Dichte, besitzt.

20 D IE S TANDARDNORMALVERTEILUNG Die Standardnormalverteilung (0,1) mit =0 und ²=1 besitzt die Verteilungsfunktion, mit der Dichtefunktion

21 D IE N ORMALVERTEILUNG Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung hat die Darstellung,

22

23 S ATZ : Die Normalverteilung (,²) hat den Erwartungswert((,²)= und die Varianz ((,²)=²

24 A UFGABE : Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X)=0 und Var(X)=1. Berechne

25 B EISPIEL Der Intelligenzquotient (IQ) einer bestimmten Bevölkerungsschicht sein (100,15²)-verteilt. Man bestimme die Konstante c so, dass eine aus dieser Bevölkerungsschicht zufällig ausgewählte Person mit Wahrscheinlich- keit 0,3 einen IQ von mindestens c besitzt.

26 A UFGABE Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte a) Bestimme k so, dass f(x) eine Dichte wird. b) Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. c) Bestimme die Verteilung F(x) dieser Zufallsvariablen. d) Berechne die Wahrscheinlichkeit.

27 Z USAMMENFASSUNG Allgemeine stetige Verteilungen mit Dichten Wichtige Beispiele: Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung

28 Q UELLEN Bosch, K. (2003). Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Dehling, H., Haupt, B. (2004). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Berlin: Springer Verlag. Fischer, G. (2005). Stochastik einmal anders. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Henze, N. (2010). Stochastik für Einsteiger. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. Hübner, G. (2009). Stochastik. 5.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. Kersting, G., Wakolbinger, A. (2008). Elementare Stochastik. Basel: Birkhäuser. Krengel, U. (2005). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Kütting, H., Sauer, M. (2008). Elementare Stochastik. 2. Auflage. Berlin: Springer Verlag. Wahrscheinlichkeitsrechnung/zufallsvariable.pdf, Zugriff am , 14:20Uhr Zugriff am , 15:45Uhr https://home.zhaw.ch/~maz/Aufgaben/Wahrscheinlichkeit/ Stetige_Verteilung.pdf Zugriff am , 15:30Uhr


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