Geodätische Berechnungen

Präsentation zum Thema: "Geodätische Berechnungen"—  Präsentation transkript:

1 Geodätische Berechnungen
mit Beispielen Horizontalrichtungsmessung Zenitwinkelmessung Geometrisches Nivellement Erste geodätische Grundaufgabe Zweite geodätische Grundaufgabe Polares Anhängen Kleinpunktberechnung Vorwärtsschnitt Polygonzug Flächenberechnung aus Koordinaten Standardabweichung Durch Anklicken gelangt man direkt zu der jeweiligen Aufgabe, Rückkehr mit HOME-Taste unten rechts. Fortfahren in Präsentation mit linken Mausklick

2 Horizontalrichtungsmessung mit Theodolit
1 11 12 13 0,000 gon Stp. 1 Ziel 11 Ziel 12 Ziel 13 2 610 45 953 0 000 0 000 0 000 0 000 58 306 0 000 0 000 0 000 S = 2 x 2 x = + 3 x = Summenproben für Horizontalrichtungsmessung mit n = Anzahl der Ziele, s = Anzahl der Sätze:  Lage I +  Lage II = 2 ∙  Satzmittel + n ∙  (Nullrichtungen Lage I + II) oder  Lage I +  Lage II = 2 ∙ s ∙  Gesamtmittel + n ∙  (Nullrichtungen Lage I + II)

3 Zenitwinkelmessungen mit Theodolit
Stp. 1 Ziel 1 Ziel 2 92 360 -0 004 92 356 92 357 -0 007 92 363 92 358 -0 005 -0 006 2 x 2 x 400 = = S = : 2 = 396,270 S = x 2 = S = Probe für z: z = ((400 + I) - II)/2 Summenproben für Zenitwinkelmessungen mit n = Anzahl der Ziele, s = Anzahl der Sätze: s ∙  Zenitwinkel Spalte 7 = {n ∙ s ∙  Lage I -  Lage II} / 2

4 Geometrisches Nivellement
HP 59 NHN WP 1 1 628 HP 59 Marienstraße 9 MB 1 957 -1 0 416 WP 1 +1 212 +1 140 +0 291 -0 343 +0 789 -1 035 +0 836 +0 773 -0 337 -0 646 S Dh = +2 680 WP 2 1 534 0 816 WP2 1 243 1 586 0 797 1 832 38 Kanaldeckel 39 Bürgersteig 40 OK Fußboden 41 38 39 40 41 M 2 2 215 0 996 M 2 Mauerbolzen 1 539 1 441 WP 3 1 113 1 876 WP 4 WP 3 1 758 HP 76 Ackerwand MB Kontrolle! S r = 9 986 S v = 7 303 WP 4 HSoll = HE - HA = 2 680 HP 76 HIst =  r -  v = 2 683 w = DHSoll - DHIst = fzul = ± 15 mm ·  s[s in km]

5 Erste geodätische Grundaufgabe
x Dy Berechnung der Koordinaten eines Neupunktes aus Richtungswinkel und Strecke Gegeben: x1, y1, t1,2, s Gesucht: x2, y2 x2 P2 Dx s t1,2 P1 Dx = s · cos t1,2 Dy = s · sin t1,2 x2 = x1 + Dx y2 = y1 + Dy x1 y y1 y2

6 Beispiel zur ersten geodätischen Grundaufgabe
x t1,2 Dy Berechnung der Koordinaten eines Neupunktes aus Richtungswinkel und Strecke Gegeben: x1 = ,72 m y1 = ,42 m t1,2 = 140,300 gon s = 47,45 m Gesucht: x2, y2 x1 P1 s Dx x2 P2 y y1 y2 1. Berechnung der Koordinatenunterschiede Dx = s · cos t1,2 = 47,45 m · (-0,59159) = -28,07 m Dy = s · sin t1,2 = 47,45 m · (-0,80624) = +38,26 m 2. Berechnung der Neupunktkoordinaten x2 = x1 + Dx = ,72 m - 28,07 m = ,65 m y2 = y1 + Dy = ,42 m + 38,26 m = ,68 m

7 Zweite geodätische Grundaufgabe
x Dy Berechnung von Richtungswinkel und Strecke aus Koordinaten zweier Punkte Gegeben: x1, y1, x2, y2 Gesucht: t1,2, s x2 P2 t2,1 Dx s t1,2 Dx = x2 - x1 Dy = y2 - y1 P1 x1 y y1 y2 t2,1 = t1, gon Quadrant Dy Dx Richtungswinkel t I + + = arctan (Dy/Dx) II + - = arctan (Dy/Dx) gon III - - = arctan (Dy/Dx) gon IV - + = arctan (Dy/Dx) gon IV I III II

8 Beispiel zur zweiten geodätischen Grundaufgabe
x P1 Berechnung von Richtungswinkel und Strecke aus Koordinaten zweier Punkte Gegeben: x1 = ,61 m y1 = ,34 m x2 = ,93 m y2 = ,23 m Gesucht: t1,2 , s Dy x1 t1,2 s Dx x2 P2 y y2 y1 1. Berechnung der Koordinatenunterschiede Dx = x2 - x1 = ,93 m ,61 m = -34,68 m Dy = y2 - y1 = ,23 m ,34 m = -36,11 m 2. Berechnung des Richtungswinkels Dx < 0, Dy < 0  Richtungswinkel liegt in Quadrant III = arctan (1,04123) gon = 251,286 gon 3. Berechnung der Strecke = 50,07 m

9 Polares Anhängen x DxSA DySA tS,A y ß sS,N A N S
Berechnung der Koordinaten eines Neupunktes aus gemessenem Horizontalwinkel und Strecke Gegeben: xS, yS, xA, yA , ß, sS,N Gesucht: xN, yN tS,N DxSN DySN 1. Berechnung des Richtungswinkels tS,A ( 2. Grundaufgabe) DxS,A = xA - xS DyS,A = yA - yS 2. Berechnung des Richtungswinkels tS,N tS,N = tS,A + ß 3. Berechnung der Neupunktkordinaten ( 1. Grundaufgabe) DxS,N = sS,N · cos tS,N DyS,N = sS,N · sin tS,N xN = xS + DxS,N yN = yS + DyS,N

10 Kleinpunktberechnung
Berechnung der Koordinaten eines Neupunktes xN, yN aus einer Orthogonalaufnahme Gegeben: Koordinaten xA, yA, xE, yE. Gemessen: eA, eE, eN, hN A E N +h +e eE eN eA hE 1. Berechnung von Richtungswinkel tA,E und Strecke sA,E Soll DxA,E = xE - xA DyA,E = yE - yE tA,E = arctan sA,E Soll = DxA,E² + DyA,E² DyA,E DxA,E t A,E +x DyAE DxAE +y 2. Gemessene Länge der Messungslinie und Abweichung d sA,E Ist = eE - eA d = sA,E Soll - sA,E Ist 3. Maßstabsverhältnis q q = sA,E Soll / sA,E Ist 4. Örtliche Polarkoordinaten ß, sA,N ß = arctan sA,N = q · (eN - eA) ² + hN² hN eN - eA sAN ß DyAN DxAN t A,N 5. Berechnung des Richtungswinkels tS,N tA,N = tA,N + ß 6. Berechnung der Neupunktkordinaten ( 1. Grundaufgabe) DxA,N = sA,N · cos tA,N DyA,N = sA,N · sin tA,N xN = xA + DxA,N yN = yA + DyA,N

11 Beispiel zur Kleinpunktberechnung (1)
Gegeben: P1: x1 = ,82 m; y1 = ,90 m P2: x2 = ,92 m; y2 = ,77 m 1 2 5,32 16,80 6,38 102 34,69 24,46 101 1. Berechnung von Richtungswinkel und Strecke 1/2 Dx1,2 = x2 - x1 = 25,10 m Dy1,2 = y2 - y1 = -15,13 m t1,2 || +x 2. Gemessene Länge der Messungslinie S 1,2 Ist und Abweichung d s1,2 Ist = e2 - e1 = 34,69 m - 5,32 m = 29,37 m d = s1,2 Soll - s1,2 Ist = 29,31 m - 29,37 m = -0,06 m 3. Maßstabsverhältnis q q = s1,2 Soll / s1,2 Ist = 29,31 m / 29,37 m = 0,99796

12 Beispiel zur Kleinpunktberechnung (2)
Koordinaten von Punkt 102 4. Örtliche Polarkoordinaten ß102, s1,102 1 2 5,32 16,80 6,38 102 34,69 24,46 101 5. Berechnung des Richtungswinkels t1,102 t1,102 = t1,2 + ß102 = 365,465 gon - 32,292 gon = 333,173 gon t1,2 || +x 6. Berechnung der Neupunktkordinaten (1. Grundaufg.) Dx1,102 = s1,102 · cos t1,102 = 6,52 m Dy1,102 = s1,102 · sin t1,102 = -11,37 m x102 = x1 + Dx1,102 = ,34 m y102 = y1 + Dy1,102 = ,53 m ß s1,102 t 1,102

13 Vorwärtsschnitt Bestimmung der Koordinaten unzugänglicher Punkte
durch Horizontalrichtungsmessungen von zwei Standpunkten sB,N sA,N gegeben: Koordinaten der Standpunkte A, B gemessen: Horizontalwinkel a, b Basislänge b (oder aus Koordinaten) a b b A B 1. Richtungswinkel tA,B und Strecke b zwischen Standpunkten (2.te Grundaufgabe) 2. Richtungswinkel von den Standpunkten zum Neupunkt tA,N = tA,B – a tB,N = tB,A + b 3. Strecken von den Standpunkten zum Neupunkt nach Sinussatz: 4. Neupunktkoordinaten durch polares Anhängen

14 Prinzip Polygonzugberechnung
|| +x tE,E‘ tA‘,A tA,A‘ ßE ß1 tA,1 ß2 ßA s2,E s1,2 A‘ sA,1 E 1 2 A E‘ 1. Richtungswinkel tA‘,A und tE,E‘ aus Koordinaten (2.te Grundaufgabe) 2. Richtungswinkel tA,A‘ = tA‘,A gon (-400 gon, falls > 400 gon) 3. Richtungswinkel tA,1 = tA,A‘ + ßA tA,1 = tA‘,A gon + ßA (-400 gon, falls > 400 gon) + vß 4. Koordinaten von Punkt 1 durch polares Anhängen (1.te Grundaufgabe) DxA,1 = sA,1 · cos tA,1 DyA,1 = sA,1 · sin tA,1 x1 = xA + DxA,1 y1 = yA + DyA,1 + vxi + vyi 5. Folgende Punkte 2, 3, ..., n (und E) entsprechend Schritt 3 und 4 6. Winkelabschluss tE,E‘ (berechnet) = tE,E‘ (aus Koordinaten)? Koordinatenabschluss xE (berechnet) = xE?, yE (berechnet) = yE?  Winkelfehler verteilen  Koordinatenfehler verteilen

15 Beispiel Polygonzugberechnung
|| +x Gegeben: xA‘ = 57224,12 m yA‘ = 14214,72 m xA = 56428,31 m yA = 14296,48 m xE = 55967,21 m yE = 14420,70 m xE‘ = 55824,72 m yE‘ = 14581,21 m A‘ tA‘,A ßA A Gemessen: ßA = 220,713 gon sA,1 = 177,06 m ß1 = 180,308 gon s1,2 = 164,65 m ß2 = 149,730 gon s2,E = 194,49 m ßE = 201,961 gon sA,1 ß1 1 || +x s1,2 ß2 Gesucht: Koordinaten der Neupunkte 1 und 2 2 tE,E s2,E ßE E E‘

16 Beispiel Polygonzugberechnung
10. Koordinatenabschlussfehler fx = DxIst - DxSoll , fy = DyIst - DySoll berechnen 5 . Abschlussrichtung tE,E‘ = arctan Dy/Dx berechnen (2. Grundaufgabe) 9. Koordinatenunterschiede Dx = s · cos t, Dy = s ·sin t berechnen 11. Koordinatenabschlussfehler streckenproportional verteilen 2. Koordinaten x, y der An- und Abschlusspunkte eintragen 6. Winkelabschlußfehler fß = tE,E‘ Ist - tE,E‘ Soll berechnen 4. Anschlussrichtung tA‘A = arctan Dy/Dx berechnen 3. Gemessene Winkel ß und Strecken s eintragen 7. Winkelabschlussfehler gleichmäßig verteilen 12. Koordinaten x, y berechnen 8. Richtungswinkel t berechnen 1. Punktbezeichnungen eintragen A‘ A 1 2 E E‘ 57 224, ,72 A‘ A 1 2 E E‘ - 795, ,76 t A‘,A 193,482 220,713 180,308 149,730 201,961 56 428, ,48 +6 - 172, ,17 - 164, ,17 - 124, ,37 214,201 194,515 144,251 177,06 164,65 194,49 +6 -5 +5 -5 56 255, ,26 56 091, ,38 55 967, ,70 S s = 536,20 - 142, ,51 tE,E‘ 146,218 55 824, ,21 t E,E‘ Ist = t A‘,A + S ßi + n · 200 gon = 146,194 fx = S Dx - (xE - xA) fy = S Dy - (yE - yA) = -0,17 = +0,15 fß = tE,E‘ Ist - tE,E‘ Soll = -0,024 Winkel- u. Koordinatenabschlussfehler auf Zuverlässigkeit prüfen!

17 Flächenberechnung Flächenberechnung aus Trapezen:
x Flächenberechnung aus Trapezen: 1 y1 x1 2 · F1 = (x1 – x2) · (y1 + y2) y2 x2 2 + 2 · F2 = (x2 – x3) · (y2 + y3) y5 x5 + 2 · F3 = (x3 – x4) · (y3 + y4) 5 + 2 · F4 = (x4 – x5) · (y4 + y5) negativ y3 x3 3 + 2 · F5 = (x5 – x1) · (y5 + y1) negativ y4 x4 4 Gaußsche Trapezformel: mit Punkt n + 1 = Punkt 1 y Gaußsche Dreiecksformeln:

18 Beispiel Flächenberechnung aus Koordinaten
+x 1 18,34 Pkt.-Nr. xi yi [m] [m] 5 32, ,75 1 37,92 18,34 2 12,08 14,04 3 5,17 -14,83 4 17,54 -19,34 5 32,50 -14,75 yi+1 - yi-1 xi  (yi+1 - yi-1) [m] [m²] 28, ,72 -33, ,69 -33, ,57 0,08 1,40 37, ,60 2 F = 1.744,45 F = 872,2 m² 37,92 5 32,50 14,75 4 19,34 17,54 14,04 12,08 2 14,83 5,17 3 +y

19 Standardabweichung Eine Strecke wurde 8 mal unabhängig elektro-optisch gemessen: Messwert Nr. xi [m] 1 15,123 2 15,128 3 15,125 4 15,120 5 15,129 6 15,124 7 15,126 8 15,121 Verbesserungen vx = xi - x [mm] -1,5 3,5 0,5 -4,5 4,5 -0,5 1,5 -3,5  vx = 0,0 Quadratsumme vx² [mm²] 2,25 12,25 0,25 20,25  vx² = 70,00  xi = 120,996 Anzahl der Messwerte: n = 8 Arithmetisches Mittel: Empirische Standardabweichung der Einzelmessung: Empirische Standardabweichung des Gesamtmittels: