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Heisenbergsche Unschärferelation Kopenhagener Interpretation WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 6. Vorlesung.

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1 Heisenbergsche Unschärferelation Kopenhagener Interpretation WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 6. Vorlesung

2 Macht es einen Unterschied, in welcher Reihenfolge Messungen durchgeführt werden ?

3 Orts- und Impulsmessung Orts- und Impulserwartungswert sind gegeben durch :

4 Orts- und Impulsmessung Unterschied in der Reihenfolge der Messungen : „Kommutator“ … unterschiedliche Messabfolge Abkürzung für Erwartungswert von Messoperator

5 Orts- und Impulsmessung Kommutator kann allgemein bestimmt werden bzw. Reihenfolge der Messungen spielt eine Rolle !!! Normierung Bilden des Erwartungswertes

6 bzw. Heisenbergsche Unschärferelation Je genauer man den Ort misst (  x klein), desto unbestimmter ist der Impuls (  p groß) und umgekehrt ! Teilcheneigenschaft (  x genau) und Welleneigenschaft (  p genau) schließen einander aus ( Komplementarität ) ! Heisenbergsche Unschärferelation Es kann gezeigt werden (s.u.), dass allgemein gilt

7 Heisenbergsche Unschärferelation : Beweis Positiv definite Hilfsgröße Umschreiben auf Erwartungswerte  x und  p müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit Ungleichung erfüllt ist !!!

8 Heisenbergsche Unschärferelation : Beweis Grenzfall I( ) = 0 … quadratische Form  x und  p müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit Ungleichung erfüllt ist !!! reell … Wurzelausdruck muss größer oder gleich Null sein

9 Werner Heisenberg (1901 – 1976)

10 bzw. Heisenberg: „Im Augenblick der Ortsbestimmung, also dem Augenblick, in dem das Lichtquant vom Elektron abgebeugt wird, verändert das Elektron seinen Impuls unstetig [ … ]. Je genauer der Ort bestimmt ist, desto ungenauer ist der Impuls bekannt und umgekehrt.“ = h / p Heisenbergmikroskop Werner Heisenberg (1901 – 1976) Heisenbergsche Unschärferelation

11 Doppelspaltexperiment: Information über „welcher Spalt“ (  x genau) zerstört Interferenzmuster (da  p ungenau) Was macht Elektron zwischen den Messungen ? Frage kann physikalisch nicht sinnvoll beantwortet werden ! bzw. Heisenberg: „Im Augenblick der Ortsbestimmung, also dem Augenblick, in dem das Lichtquant vom Elektron abgebeugt wird, verändert das Elektron seinen Impuls unstetig [ … ]. Je genauer der Ort bestimmt ist, desto ungenauer ist der Impuls bekannt und umgekehrt.“ Heisenbergsche Unschärferelation Begriff der „Komplementarität“

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13 - Potentielle Energie klein, wenn Elektron möglichst lokalisiert - Kinetische Energie klein, wenn Elektron möglichst delokalisiert Warum fällt im Wasserstoffatom das Elektron nicht in den Kern ?

14 Wie stark ist Elektron lokalisiert ? Energie kann aus Heisenbergscher Unschärferelation abgeschätzt werden Natur wählt mittleren Abstand r so, dass Energie minimiert wird !!! … Aufgabe : Bestimmen Sie r und E

15 Teilchen in der Schachtel : Particle in a box Gegeben sei ein Teilchen, das sich in einer Schachtel mit unendlich hohen Potentialwänden bewegt Die ungefähre Energie kann aus der Heisenbergschen Unschärferelation bestimmt werden

16 Teilchen in der Schachtel : Quantenpunkte Quantenpunkte sind künstliche Atome, die aus Halbleitermaterialien hergestellt werden. Je nach Wachsumtsbedingungen sind die Quantenpunkte unterschiedlich groß. Chemisch synthetisierte Quantenpunkte (colloidal quantum dots)

17 Kleine Quantenpunkte Teilchen in der Schachtel : Quantenpunkte Die optischen Übergänge hängen von der Größe der Quantenpunkte ab : Je größer der Quantenpunkt, desto niedriger ist die Elektronenenergie und entsprechend die Energie des ausgesandten Photons, E=h Große Quantenpunkte

18 bzw. Energie – Zeit – Unschärfe Energie-Zeit-Unschärfe Fouriertransformation z.B. Gausspaket

19  – Teilchen „borgt“ sich für kurze Zeit Energie (unter Berücksichtigung der Heisenbergschen Unschärferelation) und überspringt Potentialbarriere Energie-Zeit-Unschärfe : radioaktiver Zerfall

20 Energie-Zeit-Unschärfe : Linienbreite Beispiel : angeregter Atomzustand hat Lebensdauer von ~ 1 ns Wie breit ist Spektrallinie ?

21 A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, Ed. Herzen, Th. De Donder, E. Schrödinger, J.E. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg, R.H. Fowler, L. Brillouin, P. Debye, M. Knudsen, W.L. Bragg, H.A. Kramers, P.A.M. Dirac, A.H. Compton, L. de Broglie, M. Born, N. Bohr, I. Langmuir, M. Planck, Mme. Curie, H.A. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. E. Guye, C.T.R. Wilson, O.W. Richardson Kopenhagen – Interpretation (1927)

22 Die Schrödingersche Wellenfunktion  …  ist eine reine Hilfsgröße  besitzt keine „objektive Realität“  benötigt eine Interpretation Die Quantenmechanik …  ist eine statistische Theorie – nur Ergebnisse von vielen Messungen sind vorhersagbar – das Ergebnis einer einzelnen Messungen kann nur im Sinne einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vorausgesagt werden Kopenhagener Interpretation

23 … Will man nun dieses Resultat korpuskular umdeuten, so ist nur eine Interpretation möglich:  bestimmt die Wahrschein- lichkeit [Anmerkung bei der Korrektur: Genauere Überlegung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit dem Quadrat der Größe proportional ist.] dafür, dass das aus z-Richtung kommende Elektron in eine andere Richtung geworfen wird. … Die Schrödingersche Quantenmechanik gibt also auf die Frage nach dem Effekt eines Zusammenstoßes eine ganz bestimmte Antwort; aber es handelt sich um keine Kausal- beziehung. Man bekommt keine Antwort auf die Frage, ‘wie ist der Zustand nach dem Zusammenstoße’, sondern nur auf die Frage, ‘wie wahrscheinlich ist ein vorgegebener Effekt des Zusammenstoßes’. Hier ergibt sich die ganze Problematik des Determinismus. Vom Standpunkt der Quantenmechanik gibt es keine Größe, die im Einzelfalle den Effekt eines Stoßes kausal festlegt […] Ich selber neige dazu, die Determiniertheit in der atomaren Welt aufzugeben. Aber das ist eine philosophische Frage, für die physikalische Argumente allein nicht maßgebend sind. Bornsche Interpretation (1926)

24 Komplementarität bedeutet, dass bestimmte Größen nicht gleichzeitig genau gemessen werden können. In der klassischen Physik sind beide dieser Größen (z.B. Ort und Impuls) notwendig, um das System voll- ständig zu charakterisieren. Heisenbergsche Unschärferelation

25 Bisher beruht alle Beschreibung von Erfahrungen auf der bereits dem gewöhn- lichen Sprachgebrauch innewohnenden Annahme, dass es möglich sei, zwischen dem Verhalten der Objekte und der zu ihrer Beobachtung notwendigen Geräte scharf zu unterscheiden. […] Wir müssen uns einerseits klarmachen, dass das Ziel jedes physikalischen Experimentes — nämlich Erfahrungen unter reproduzierbaren und mitteilbaren Versuchsbedingungen zu gewinnen— uns keine andere Wahl lässt als die Begriffe des täglichen Lebens anzuwenden. Unter bestimmten, einander ausschließenden Versuchsbedingungen gewonnene Aufschlüsse über das Verhalten ein und desselben Objektes können jedoch gemäß einer häufig in der Atomphysik angewandten Terminologie treffend als komplementär bezeichnet werden, da sie, obgleich ihre Beschreibung mit Hilfe alltäglicher Begriffe nicht zu einem einheitlichen Bilde zusammengefasst werden kann, doch jeder für sich gleich wesentliche Seiten der Gesamtheit aller Erfahrungen über das Objekt ausdrückt, die überhaupt in jenem Gebiet möglich sind Nils Bohr

26 … so enthielt doch der Bohr-Kramer- Slatersche Deutungsversuch sehr wesentlich Züge der späteren richtigen Interpretation. Der wichtigste war die Einführung der Wahrscheinlichkeit als einer neuen Art von ‘objektiver’ physikalischer Realität. Der Bohrsche Begriff der Komplementarität führte zu der Begrenzung in der Anwendbarkeit klassischer Begriffe durch das Aufzeichnen ganz verschiedenartiger, eben ‘komplementärer’ anschaulicher Bilder, die nur dann ohne Widerspruch nebeneinander existieren konnten, wenn ihr Anwendungsbereich eingeschränkt wurde. Werner Heisenberg

27 Kritik an der Kopenhagener Deutung

28 Einstein an Schrödinger, 1928 Die Heisenberg-Bohrsche Beruhigungsphilosophie –oder Religion?— ist so fein ausgeheckt, dass sie dem Gläubigen einstweilen ein sanftes Ruhekissen liefert, von dem er sich nicht so leicht aufscheuchen lässt. Stapp, 1972 Lehrbuchdarstellungen der Kopenhagener Deutung übergehen die heiklen Punkte im allgemeinen. Bezüglich näherer Details werden die Leser meist auf die Schriften Bohrs und Heisenbergs verwiesen. Aber auch dort ist es schwer Klarheit zu gewinnen. Die Schriften Bohrs sind außerordentlich schwer erfassbar und scheinen nie zu sagen, was man eigentlich wissen will. Sie weben einen Schleier von Worten rund um die Kopenhagener Deutung, sagen aber nicht, was sie nun wirklich ist. Heisenbergs Schriften sind direkter. Seine Aussagen scheinen aber auf eine subjektive Deutung hinauszulaufen, die scheinbar den Intentionen Bohrs diametral widerspricht. Leggett (Nobelpreis 2003) … though it should probably more correctly called the ‘Copenhagen non-interpretation’, since its whole point is that any attempt to interpret the formalism in intuitive terms is doomed to failure. Kritik an der Kopenhagener Deutung


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