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Mathematik in der Theorie der Petri Netze Joachim Wehler München 1999.

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Präsentation zum Thema: "Mathematik in der Theorie der Petri Netze Joachim Wehler München 1999."—  Präsentation transkript:

1 Mathematik in der Theorie der Petri Netze Joachim Wehler München 1999

2 2 Beispiel: Petri Netz p1p1 t3t3 p2p2 p3p3 p5p5 p4p4 t2t2 t1t1 w - (t 1,p 1 ) w + (t 1,p 3 )

3 3 Definition: Petri Netz Ein Stellen/Transitions Netz ist ein Tupel N = ( T, P, w -, w + ): T (Transitionen) und P (Stellen) disjunkte, nicht-leere (endliche) Mengen Abbildungen w - / + : T x P N. Petri Netz (N, M): Netz N zusammen mit Anfangsmarkierung M: P N.

4 4 Inzidenzabbildung w := w + - w : T x P Z induziert Z-lineare Abbildungen w T : C T (N) C P (N, Z), w T (t):= w(t, p) w P := w T *: C P (N) C T (N, Z) (dual). Notation: C T (N) := Z (T), C P (N) := Z (P), C i (N, Z) := Hom Z (C i (N), Z), i = T, P. N definiert Positivitätsbegriff.

5 5 Zustandsübergang Transition t ist aktiviert unter Markierung M pre, wenn M pre (p) w - (t, p) für alle p P (nicht-linear) Schalten einer aktivierten Transition bewirkt Markenfluß gemäß der Zustandsgleichung: M post = M pre + w T (t) (linear)

6 6 Potentielle Erreichbarkeit Notwendige Voraussetzung für die Erreichbarkeit einer Markierung M post in Petrinetz (N, M pre ) ist die Lösbarkeit der Zustandsgleichung über N: M := M post - M pre = w T ( ), C T (N) +. Satz. Lösbarkeit über Z ist äquivalent mit rank w T = rank (w T, M ) =: r =.

7 7 Moduln über Hauptidealringen Beweis. Transformiere w T über Z auf Smith Normalform M( n x m, Z ) mit r = rang w T and a i | a i+1, i = 1,...,r-1.

8 8 Beispiel (2) Für Markierung M post := M pre + p 2 * gilt rank (w) = 3 = rank (w, M ) = M post = M pre + w( t 1 + (1/2)(t 2 + t 3 ) )

9 9 Erhaltungssätze Modul der T-Flüsse, Z T (N, Z) := ker w T Modul der P-Flüsse, Z P (N, Z) := ker w P Schaltfolgen zu T-Flüssen verändern die Markierung (den Zustand) des Petri Netzes nicht. Die mit P-Flüssen gewichteten Markierungen sind invariant bei jeder Schaltfolge.

10 10 Netzklassen S/T-Netze: Theorie der Moduln über Z, Lineare Programmierung Gefärbte kommutative Netze: Ganze Z-Algebren, Gröbner Theorie

11 11 Beispiel Die tafelnden Philosophen

12 12 Die tafelnden Philosophen (2) C := Z n, C(p) = B(t) = C konstant sh: Z n --> Z n, sh(x) := x+1 nehmen links denkend zurücklegen links nehmen rechts zurücklegen rechts essend freie Gabeln hat links hat rechts sh

13 13 Definition: Gefärbtes Petri Netz Gefärbtes Netz N = ( T, P, B, C, w -, w + ): T (Transitionen), P (Stellen) B = (B(t)) t T (Schaltmodi), C = (C(p)) p P (Datentypen) Familien endlicher Mengen Familien w - = (w - (t, p)) (t,p) TxP von Farbfunktionen w - (t, p)) Hom N (B(t) N, C(p) N ) (analog w + ). Gefärbtes Petri Netz: Gefärbtes Netz mit Anfangsmarkierung.

14 14 Definition: Farbenalgebra Sei N = ( T, P, C, w, w ) ein homogenes gefärbtes Netz mit Farbenmenge C. Die von allen Farbfunktionen erzeugte assoziative Algebra A Z := Z [ w ( t, p), w ( t, p) ] (t,p) TxP End Z (C Z ) heißt Farbenalgebra von N. Das Netz heißt kommutativ, wenn A Z kommutativ ist.

15 15 Kategorie A Z -Mod A Z -Modulstruktur von C Z A Z x C Z C Z, (a, c) a(c). Inzidenzabbildung auf dem Niveau der Farbenalgebra w T,A : C T (N, A Z ) C P (N, A Z ), t w(t, -) Inzidenzabbildung auf dem Niveau des Farbenmoduls w T,C = w T,A id C : C T (N, C Z ) C P (N, C Z ).

16 16 Die tafelnden Philosophen (3) Farbenmodul C Z = span Z freier Z-Modul mit n Erzeugern Farbenalgebra A Z = Z [ sh ] Inzidenzabbildung

17 17 Berechnung von ker w T,A 1. Lifte Problem zu linearer Abbildung zwischen freien Moduln über Polynomringen. 2. Gröbner-Theorie über Polynomringen berechnet Kern.

18 18 Farbenalgebra als ganze Z-Algebra Jede Farbenfunktion f := w +/- (t, p) A Z End Z (C Z ) hat Minimalpolynom P f Z [ t ]. Gauß: Z [ f ] Z [ t ] /. Farbenalgebra ist ganz über Z: A Z R / I, I = R := Z [ t 1,...,t k ].

19 19 Lift über Polynomring Studiere Inzidenzmatrix mit Die Restklassen von erzeugen ker w T,A.,RRR:H,ww ~ via 221 npnn

20 20 Gröbner Theorie Buchberger Algorithmus berechnet Erzeugende eines Ideals von Polynomen. Prinzip: Reduktion auf Kalkulation mit Monomen höchsten Grades. Gröbner Theorie ist Grundlage der Algorithmischen Kommutativen Algebra: Faktorisierung von Idealen, Berechnung von Kernen, Syzygien, Normalisierungen...

21 21 Toolunterstützung Algorithmische Kommutative Algebra über Körpern: Macaulay 2: Singular:

22 22 Die tafelnden Philosophen (4) Z P (N, A Q ) = span AQ Z T (N, A Q ) = span AQ

23 23 Kommutatives Netz: Q-Erreichbarkeit w T,C = w T,A id C : C T (N, C Q ) C P (N, C Q ) Farbenalgebra A Q : A Q = i=1,..,k A i mit lokalen Artin Algebren A i, im reduzierten Fall Zahlkörper A i. Farbenmodul C Q : C Q = i=1,..,k C i mit Artin Moduln C i, im reduzierten Fall endlich-dimensionale Vektorräume C i über Zahlkörpern.

24 24 Fitting Ideale Satz. Sei A Dedekindring und f: A n A m A-lineare Abbildung. Für y A m sind äquivalent: y im f rang f = rang (f, y) =: r und = A Beweis. Lokalisierungen eines Dedekindringes sind Hauptidealringe, Lokal-Global-Prinzip.

25 25 Kommutatives Netz: Z-Erreichbarkeit w T,C = w T,A id C : C T (N, C Z ) C P (N, C Z ) Farbenalgebra A Z : Reduktion, Normalisierung in Produktform, Fitting Kriterium für w T,A über der Normalisierung. Farbenmodul C Z : Strukturtheorie torsionsfreier Moduln über Dedekindringen (Spaltungssatz mit invertierbarem Ideal).

26 26 Die tafelnden Philosophen (5) Farbenalgebra A Z = Z [ t ] / Kreisteilungspolynom zerfällt t n - 1= d|n d (t) Z [ t ] Beispiel mit n = 6 Philosophen: 1 (t) = t - 1, 2 (t) = t + 1, 3 (t) = t 2 + t +1, 6 (t) = t 2 - t +1

27 27 Spec Z [ t ] / Z Q [ t ] Q 6 [ t ] 1 [ t ] 2 [ t ] 3 [ t ] p-1 F 2 [ t ]F 5 [ t ]F 3 [ t ] [ t ] 3 [ t ]

28 28 Algorithmen Gröbner Basis: Buchberger Algorithmus für Ideal I R := Z [ t 1,...,t k ]. Faktorisierung: Gianni-Trager-Zacharias Algorithmus für Primärzerlegung I = I 1... I n Normalisierung: Grauert-Remmert-de Jong Algorithmus für die Normalisierung Z [t 1,...,t m ] / J von R / rad ( I ).

29 29 Literatur Reisig, Wolfgang, Rozenberg, Grzegorz (Eds.): Lectures on Petri nets I, II. Lecture Notes in Computer Science 1491, Springer, Berlin et al Jensen, Kurt: Coloured Petri Nets. 3 Vols., Springer, Berlin et al., 1992, 1995, 1997 Vasconcelos, Wolmer: Computational Methods in Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Springer, Berlin et al Buchberger, Bruno; Winkler, Franz (Eds.): Gröbner Bases and Applications. London Mathematical Society Lecture Note Series 251. Cambridge University Press 1998


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