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Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade.

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Präsentation zum Thema: "Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade."—  Präsentation transkript:

1 Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade

2 Beispiele 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

3 Collatz-Zahlen Def.: Eine Zahl n N heißt Collatz-Zahl, wenn die Collatz-Folge mit a 0 = n bei 1 endet (4–2–1) Wir kennen derzeit für die Menge der Collatz-Zahlen keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Zahl sicher anhält und die Ausgabe ja oder nein liefert. Es ist nicht bekannt, ob die Menge entscheidbar ist. Sollten alle natürlichen Zahlen Collatz-Zahlen sein, so ist die Menge entscheidbar. Leicht ist es hingegen, eine Turingmaschine zu entwickeln, die mit ja anhält, falls es sich bei der Eingabe um eine Collatz-Zahl handelt, und andernfalls nicht anhält.

4 Das Halteproblem Kann man eine Turingmaschine bauen, die von einer anderen Turingmaschine feststellt, ob diese hält oder nicht?

5 TM Hält Stellt fest, ob TM t hält oder nicht ?j/n Hält TM t hält vielleicht manchmal und manchmal nicht, je nach Eingabe

6 TM Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht ?j/n Hält Was sollte auf dem Band stehen?

7 TM Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht t#wj/n Hält Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n

8 Frage: Kann man so eine Turingmaschine Hält basteln?

9 Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält

10 Fragen: Angenommen, wir können die Turingmaschine Hält programmieren. Welche Auswirkung hätte das auf die Goldbachsche Vermutung? Welche Auswirkung hätte das auf das Collatz-Problem? Welche Auswirkung hätte das auf die Software-Industrie? Hausaufgabe!

11 1. TM: Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält t#wj/n Hält Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n

12 2. TM: Kopierer Kopiert den Bandinhalt hallo#hallo Kopierer Verdoppeln

13 3. TM: Seltsam ? tj/ Seltsam Eingabe TM t, Ausgabe stopp mit j oder Endlosschleife

14 TM Seltsam Seltsam ruft zuerst TM Kopierer auf, danach TM Hält tj/ Seltsam Kopierer Hält 1. 2.

15 TM Seltsam Seltsam ruft nun noch TM Hält auf t#t Seltsam Hält 2.

16 TM Seltsam Was hat Hält auf das Band geschrieben? j : Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n : Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. t#tj/n Seltsam

17 TM Seltsam j : Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. t#t Seltsam

18 TM Seltsam n : Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. t#tj Seltsam

19 TM Seltsam spezielle Eingabe Seltsam Seltsam Seltsam bekommt sich selbst als Eingabe!

20 Frage: Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam ? Akzeptiert Seltsam sich selbst?

21 Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

22 Widerspruch! Annahme 2 a) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam ist unmöglich!

23 Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

24 Widerspruch! Annahme 2 b) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht ist unmöglich!

25 Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält Schlussfolgerung: Diese Annahme ist unmöglich !

26 Frage: Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam ? Akzeptiert Seltsam sich selbst?

27 Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

28 TM Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam Seltsam Kopierer Hält 1. 2.

29 TM Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam Seltsam # Hält 2.

30 TM Seltsam Was hat Hält auf das Band geschrieben? j : Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n : Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam # j Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

31 TM Seltsam j : Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. Seltsam Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

32 Widerspruch! Annahme 2 a) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam ist unmöglich!

33 Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

34 TM Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht Seltsam Kopierer Hält 1. 2.

35 TM Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht Seltsam # Hält 2.

36 TM Seltsam Was hat Hält auf das Band geschrieben? j : Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n : Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam # n Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

37 TM Seltsam n : Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam j Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

38 Widerspruch! Annahme 2 b) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht ist unmöglich!

39 Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält Schlussfolgerung: Diese Annahme ist unmöglich !

40 Halteproblem Resümee: Es gibt keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Turingmaschine t und eines Wortes w entscheidet, ob t bei Eingabe von w hält oder nicht. Die Menge aller Paare (t,w) [t, w, wie oben] derart, dass t auf w hält, ist nicht entscheidbar. Satz von Turing (1936)


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