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Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 2 Kalender und die Gaußsche Osterformel – was steckt dahinter? Vortrag auf der Jahresversammlung der.

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2 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 2 Kalender und die Gaußsche Osterformel – was steckt dahinter? Vortrag auf der Jahresversammlung der Gauß-Gesellschaft Göttingen Freitag, 27. Oktober 2006 Peter H. Richter Universität Bremen

3 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 3 Kalender: eine Kunst der Kompromisse Frühlingsanfang bis Frühlingsanfang: … Tage Frühlingsanfang bis Frühlingsanfang: … Tage nicht 365 (Ägypten) oder (julianisch) oder (gregorianisch) nicht 365 (Ägypten) oder (julianisch) oder (gregorianisch) Neumond bis Neumond: … Tage Neumond bis Neumond: … Tage nicht 30 oder 29 oder gar 31 bzw. 28 nicht 30 oder 29 oder gar 31 bzw. 28 Das Sonnenjahr hat … Monate Das Sonnenjahr hat … Monate nicht 12 (arabisch) oder 13 oder 235/19 = (metonisch) nicht 12 (arabisch) oder 13 oder 235/19 = (metonisch) Sonntag bis Sonntag: 7 Tage Sonntag bis Sonntag: 7 Tage

4 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 4 Forderungen an die Kalenderkunst Der Sonnenlauf muss das Wirtschaftsleben regeln Der Sonnenlauf muss das Wirtschaftsleben regeln Jahreszeiten, Landwirtschaft Jahreszeiten, Landwirtschaft Der Mond soll das Feiern regieren Der Mond soll das Feiern regieren Passah; Ostern; Laternen- und Mondfest in China Passah; Ostern; Laternen- und Mondfest in China Einfache Verzahnung von Sonnen-, Mond- und Tageslauf Einfache Verzahnung von Sonnen-, Mond- und Tageslauf möglichst einfache rationale Verhältnisse möglichst einfache rationale Verhältnisse Präzise Vorhersage der Sonnen- und Mondpositionen Präzise Vorhersage der Sonnen- und Mondpositionen Sonnenwenden, Äquinoktien, Neu- und Vollmonde Sonnenwenden, Äquinoktien, Neu- und Vollmonde Übereinstimmung von Rechnung und Beobachtung Übereinstimmung von Rechnung und Beobachtung algorithmische oder astronomische Kalender? algorithmische oder astronomische Kalender?

5 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 5 Es wäre alles so einfach, wenn … das Jahr 364 Tage und das Jahr 364 Tage und ein Monat 30 Tage + 8 Stunden hätte. ein Monat 30 Tage + 8 Stunden hätte. Dann hätte das Jahr genau 52 Wochen und 12 Monate. Dann hätte das Jahr genau 52 Wochen und 12 Monate. Der Frühlingsvollmond fiele immer auf denselben Tag nach Frühlingsanfang, genauso wie der erste Sonntag danach. Der Frühlingsvollmond fiele immer auf denselben Tag nach Frühlingsanfang, genauso wie der erste Sonntag danach. Kalender0

6 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 6 Aber schon im julianischen Kalender … hat das Jahr Tage, hat das Jahr Tage, und 19 Jahre sind 235 Monate. und 19 Jahre sind 235 Monate. Der Mondlauf wird mit dieser Regel der Sonne angepasst. Der Mondlauf wird mit dieser Regel der Sonne angepasst. Dann ist alle 4 Jahre ein Schaltjahr einzuführen, und die Sonntage ändern ihr Datum von Jahr zu Jahr um 1 oder 2 Tage Dann ist alle 4 Jahre ein Schaltjahr einzuführen, und die Sonntage ändern ihr Datum von Jahr zu Jahr um 1 oder 2 Tage Der Vollmond wandert von Jahr zu Jahr um Tage zurück oder um Tage voran. Das wird durch einen bestimmten Takt von elf Schritten -11, einen Schritt -12 und sieben Schritte +19 realisiert. Der Vollmond wandert von Jahr zu Jahr um Tage zurück oder um Tage voran. Das wird durch einen bestimmten Takt von elf Schritten -11, einen Schritt -12 und sieben Schritte +19 realisiert. KJ 342 KJ 342

7 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 7 Der erste Sonntag nach dem julianischen 21. März FSj = 22 + S mit S = (4Jahr + 2b + 6) mod 7, wobei b = Jahr mod 4 FSj = 22 + S mit S = (4Jahr + 2b + 6) mod 7, wobei b = Jahr mod 4 Jahr b S FSj Jahr b S FSj Jahr b S FSj Jahr b S FSj Periode: 28 Jahre KJ 342 KJ 342

8 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 8 Der erste Vollmond im julianischen Frühling OGj = 21 + d mit d = (19a + 15) mod 30, wobei a = Jahr mod 19 OGj = 21 + d mit d = (19a + 15) mod 30, wobei a = Jahr mod 19 Jahr a d OGj Jahr a d OGj Jahr a d OGj Jahr a d OGj Periode: 19 Jahre KJ342

9 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 9 Aus Ostergrenze und den Sonntagsdaten berechnet man das julianische Ostern: JOsternj = OGj (S – d) mod 7 JOsternj = OGj (S – d) mod 7 Jahr OGj S d (S - d) mod 7 JOsternj Jahr OGj S d (S - d) mod 7 JOsternj Periode: = 532 Jahre KJ342

10 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 10 Aber … das Jahr hat in Wirklichkeit nicht , sondern … Tage, das Jahr hat in Wirklichkeit nicht , sondern … Tage, und 235 synodische Monate sind 2:05 Stunden mehr als 19 Jahre und 235 synodische Monate sind 2:05 Stunden mehr als 19 Jahre Das verursacht in 128 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Sonnenlauf, in 218 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Mondlauf relativ zur Sonne. Das verursacht in 128 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Sonnenlauf, in 218 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Mondlauf relativ zur Sonne. In 1700 Jahren sind das etwa 13.3 Tage Fehler bei der Sonne und 7.8 Tage Fehler beim Mond. In 1700 Jahren sind das etwa 13.3 Tage Fehler bei der Sonne und 7.8 Tage Fehler beim Mond. Es reicht offenbar, dies nur an Jahrhundertgrenzen zu korrigieren. Das ist der Grundgedanke des gregorianischen Kalenders von Es reicht offenbar, dies nur an Jahrhundertgrenzen zu korrigieren. Das ist der Grundgedanke des gregorianischen Kalenders von JK1987

11 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 11 Die gregorianische Korrektur … … verbessert die Sonnenperiode um einen Faktor 30, indem in 400 Jahren 3 Schalttage ausfallen, nämlich bei solchen Jahrhunderten, die nicht durch 400 teilbar sind. Sei J ein gegebenes Jahr und k = int(J/100) das zugehörige Jahrhundert, dann ist die Zahl der seit k = 0 ausgefallenen Schalttage Sk = int ((3k + 3) / 4) = 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, …. … verbessert die Sonnenperiode um einen Faktor 30, indem in 400 Jahren 3 Schalttage ausfallen, nämlich bei solchen Jahrhunderten, die nicht durch 400 teilbar sind. Sei J ein gegebenes Jahr und k = int(J/100) das zugehörige Jahrhundert, dann ist die Zahl der seit k = 0 ausgefallenen Schalttage Sk = int ((3k + 3) / 4) = 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, …. … verbessert die Anpassung des Mondlaufs an das Sonnenjahr, indem in 2500 Jahren netto 8 Schaltungen des Mondalters vorgenommen werden, und zwar in dem Takt Mk = int ((8k + 13) / 25) = 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, …. … verbessert die Anpassung des Mondlaufs an das Sonnenjahr, indem in 2500 Jahren netto 8 Schaltungen des Mondalters vorgenommen werden, und zwar in dem Takt Mk = int ((8k + 13) / 25) = 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, ….

12 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 12 Carl Friedrich Gauß fand 1800/1816, dass der gregorianische erste Frühlingssonntag FS gegeben ist durch FS = 22 + S mit S = (4Jahr + 2b Sk) mod 7. Für k = 2 stimmt das mit dem julianischen Kalender überein, denn S2 = 2 und daher 4 + S2 = 6. dass der gregorianische erste Frühlingssonntag FS gegeben ist durch FS = 22 + S mit S = (4Jahr + 2b Sk) mod 7. Für k = 2 stimmt das mit dem julianischen Kalender überein, denn S2 = 2 und daher 4 + S2 = 6. dass der gregorianische Ostervollmond gegeben ist durch OG = 21 + d mit d = (19a Sk – Mk ) mod 30. Das stimmt mit dem julianischen Kalender überein, wenn (Sk – Mk) mod 30 = 0. Das wird zuerst für k = 67 der Fall sein, mit Sk = 51, Mk = 21, Sk – 2 = 49, also 7 Wochen Differenz der Kalender. dass der gregorianische Ostervollmond gegeben ist durch OG = 21 + d mit d = (19a Sk – Mk ) mod 30. Das stimmt mit dem julianischen Kalender überein, wenn (Sk – Mk) mod 30 = 0. Das wird zuerst für k = 67 der Fall sein, mit Sk = 51, Mk = 21, Sk – 2 = 49, also 7 Wochen Differenz der Kalender. Im Übrigen gilt weiter Ostern = OG (S – d) mod 7. Im Übrigen gilt weiter Ostern = OG (S – d) mod 7. GK

13 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 13 Was steckte noch dahinter? Gauß wollte den Tag seiner Geburt wissen, von dem seine Mutter nur sagen konnte, dass es der Mittwoch vor Rogate 1777 war, also 31 Tage nach Ostern (Brendel, Maennchen). Für J = 1777 gilt Gauß wollte den Tag seiner Geburt wissen, von dem seine Mutter nur sagen konnte, dass es der Mittwoch vor Rogate 1777 war, also 31 Tage nach Ostern (Brendel, Maennchen). Für J = 1777 gilt k = int (J/100) = 17 Sk = int ((3k + 3) / 4) = 13 Mk = int ((8k + 13) / 25) = Sk = Sk – Mk = 23 b = J mod 4 = 1 S = (4J + 2b Sk) mod 7 = 1 FS = 22 + S = 23 a = J mod 19 = 10 d = (19a Sk – Mk ) mod 7 = 3 OG = 21 + d = 24 Ostern = OG (S – d) mod 7 = 30. März Sein Geburtstag war deshalb der 30. April b = J mod 4 = 1 S = (4J + 2b Sk) mod 7 = 1 FS = 22 + S = 23 a = J mod 19 = 10 d = (19a Sk – Mk ) mod 7 = 3 OG = 21 + d = 24 Ostern = OG (S – d) mod 7 = 30. März Sein Geburtstag war deshalb der 30. April 1777.

14 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 14 Was steckte nicht dahinter? Gauß, der mehrfach auf das Kalenderthema zurückkam (1802: Passah, 1807, 1814, 1816, Nachlass), hat – als Astronom! – keine Veranlassung gesehen, die gregorianische Korrektur zu verbessern. Dabei hatte bereits 1786 Barnaba Oriani aufgrund verbesserter Daten für die Länge des Sonnenjahres vorgeschlagen, deren Kettenbruchentwicklung zu nutzen, um noch bessere Übereinstimmung von Theorie und Realität zu erzielen. Der von Milankovic 1923 in Griechenland eingeführte Kalender geht darauf ein: er lässt in 9 Jahrhunderten 7 Schaltjahre aus, das ist besser als 3 in 4. Hinsichtlich des Mondes ist weniger Handlungsbedarf. Die optimale Korrektur gegenüber 235/19 würde netto 46 statt 43 Mond-Resets in Jahren erfordern, aber das kümmert kaum jemanden, zumal das Mondlicht für unsere Feste an Bedeutung verliert … Gauß, der mehrfach auf das Kalenderthema zurückkam (1802: Passah, 1807, 1814, 1816, Nachlass), hat – als Astronom! – keine Veranlassung gesehen, die gregorianische Korrektur zu verbessern. Dabei hatte bereits 1786 Barnaba Oriani aufgrund verbesserter Daten für die Länge des Sonnenjahres vorgeschlagen, deren Kettenbruchentwicklung zu nutzen, um noch bessere Übereinstimmung von Theorie und Realität zu erzielen. Der von Milankovic 1923 in Griechenland eingeführte Kalender geht darauf ein: er lässt in 9 Jahrhunderten 7 Schaltjahre aus, das ist besser als 3 in 4. Hinsichtlich des Mondes ist weniger Handlungsbedarf. Die optimale Korrektur gegenüber 235/19 würde netto 46 statt 43 Mond-Resets in Jahren erfordern, aber das kümmert kaum jemanden, zumal das Mondlicht für unsere Feste an Bedeutung verliert …

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16 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 16 Aus Ostergrenze und den Sonntagsdaten berechnet man das julianische Ostern: Julianisch: JOsternj = OGj (S – d) mod 7 Gregorianisch: JOsterng = Osternj + 13 Jahr OGj S d (S - d) mod 7 JOsternj JOsterng Jahr OGj S d (S - d) mod 7 JOsternj JOsterng

17 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 17 Der Begriff der Epakte Ep Es handelt sich um das Alter des Mondes an Neujahr. Dieses ist äquivalent der Kenntnis der Ostergrenze. Wenn die gregorianische Ostergrenze Es handelt sich um das Alter des Mondes an Neujahr. Dieses ist äquivalent der Kenntnis der Ostergrenze. Wenn die gregorianische Ostergrenze OG = 21 + (19 a + M) mod 30 OG = 21 + (19 a + M) mod 30 ist, dann ist die Epakte ist, dann ist die Epakte EP = (11 a + 53 – M) mod 30. EP = (11 a + 53 – M) mod 30. Es gilt also EP + OG = 44 oder 74, je nachdem, ob OG kleiner ist als 44 oder nicht. Es gilt also EP + OG = 44 oder 74, je nachdem, ob OG kleiner ist als 44 oder nicht. Dabei ist a = Jahr mod 19. Dabei ist a = Jahr mod 19.

18 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 18 Der Irrtum in der Arbeit von 1800 Damals hatte Gauß für Mk statt int((13 + 8k)/25) angegeben den Wert M = int(k/3), das heißt, er hatte Mondschaltungen gegen den Metonzyklus alle 300 Jahre vorgenommen. Das wären 8 Schaltungen in 2400 Jahren statt in 2500 Jahren. Damals hatte Gauß für Mk statt int((13 + 8k)/25) angegeben den Wert M = int(k/3), das heißt, er hatte Mondschaltungen gegen den Metonzyklus alle 300 Jahre vorgenommen. Das wären 8 Schaltungen in 2400 Jahren statt in 2500 Jahren. Es war aber im gregorianischen Kalender immer so, dass auf 7 Schaltungen nach je 300 Jahren die nächste erst nach 400 Jahren erfolgt. Mit der neuen Formel, die Gauß anscheinend von Tittel 1816 übernahm, fand er die volle Übereinstimmung. Es war aber im gregorianischen Kalender immer so, dass auf 7 Schaltungen nach je 300 Jahren die nächste erst nach 400 Jahren erfolgt. Mit der neuen Formel, die Gauß anscheinend von Tittel 1816 übernahm, fand er die volle Übereinstimmung.

19 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik 19 Der jüdische Kalender Eingeführt von Hillel II um 360 AD. Im Prinzip das Spiegelbild des julianischen Kalenders, insofern zwischen Sonnen- und Mondlauf der Metonzyklus als exakt postuliert wird, aber statt der Sonne setzt hier der Mond mit einer Monatslänge von den Rhythmus, und die Sonne wird angepasst. Eingeführt von Hillel II um 360 AD. Im Prinzip das Spiegelbild des julianischen Kalenders, insofern zwischen Sonnen- und Mondlauf der Metonzyklus als exakt postuliert wird, aber statt der Sonne setzt hier der Mond mit einer Monatslänge von den Rhythmus, und die Sonne wird angepasst. Das verursacht in 218 Jahren eine Drift um 1 Tag gegenüber dem wahren Sonnenkalender. Das verursacht in 218 Jahren eine Drift um 1 Tag gegenüber dem wahren Sonnenkalender. Gauß hat auch für diesen Kalender Algorithmen angegeben, einen für den 15. Nissan (Frühlingsvollmond, Pessach) und einen für den 1. Tishri (Neujahr, Beginn des 7. Monats). Gauß hat auch für diesen Kalender Algorithmen angegeben, einen für den 15. Nissan (Frühlingsvollmond, Pessach) und einen für den 1. Tishri (Neujahr, Beginn des 7. Monats).

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