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Der Goldene Schnitt g in Natur und Kunst

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Präsentation zum Thema: "Der Goldene Schnitt g in Natur und Kunst"—  Präsentation transkript:

1 Der Goldene Schnitt g in Natur und Kunst
Bilder und Plastiken von Marita Kraus Herr Bürgermeister Peter Traub Gratulation zur Neugestaltung des Rathauses. Dank für die Einladung. Freude darüber, dass Marita die erste sein darf, die hier ihre Kunstwerke ausstellt – Kunstwerke, die dem Goldenen Schnitt gewidmet sind, einem Thema, das mich fasziniert, seit mir 1975 die israelische Mathematikerin Hannah Lifson auf einer Tagung in Elmau … (neue Folie) Freitag, 21. Oktober 2011 Oberkochen dell‘Arte Peter H. Richter

2 … diese fast schon verrottete Silberdistel zeigte
… diese fast schon verrottete Silberdistel zeigte. Mich verblüffte als erstes, dass das Muster nicht spiegelsymmetrisch ist, sondern eine unterschiedliche Zahl von rechts- und links-drehenden Spiralen besitzt. Seither habe ich unzählige Male diese Spiralen in Sonnenblumen, Gänseblümchen, Tannenzapfen, Kakteen, Ananasfrüchten, Artischocken … ausgezählt und (fast!) immer dieselben Zahlen aus der Fibonacci-Reihe gefunden: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Kepler war einer der ersten, die den Zusammenhang von Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen verstanden und beschrieben hat – vor 400 Jahren! Aber bevor ich versuche, das zu erklären, möchte ich Sie darauf hinweisen, dass das Thema erstaunlich aktuell ist. Denn der diesjährige Nobelpreis für Chemie ist sehr eng mit dem Goldenen Schnitt verknüpft. Bislang hat die Berichterstattung kaum darauf hingewiesen. Peter H. Richter

3 Penrose – Parkett 1979 G g 1 g : 1 = 1 : (1 + g) g2 + g – 1 = 0
Man kann den Goldenen Schnitt auf viele Weisen einführen, aber im Pentagramm sieht man ihn am deutlichsten. Mit etwas geometrischem Blick erkennt man bald – oder sonst wird man es glauben – dass g/1 = 1/(1+g). Das führt auf die quadratische Gleichung, deren positive Lösung die Zahl … ergibt. Irgendetwas Besonderes? Sie wissen, dass man mit vielerlei Formen die Ebene „parkettieren“ kann, z. B. mit Dreiecken, Vierecken (Rechtecken, Rauten, Parallelogrammen), Sechsecken – aber nicht mit Fünfecken! Die Winkel in den Ecken passen nicht dazu: 3 mal 108 sind 324 Grad, da fehlen 36 Grad bis zum vollen Kreis; 4 mal 108 sind 432 Grad, das sind 72 Grad zu viel. Aber wenn man aus den roten und gelben Dreiecken im Fünfeck die Rauten zusammenstellt (rote Raute: Seite zu langer Diagonale = 1 : G; gelbe Raute: Seite zu kurzer Diagonale = 1 : g), dann kann man nicht nur diese jeweils einzeln zum Parkettieren verwenden, sondern auch beide, wobei dann statt eines periodischen Musters ein aperiodisches entsteht. Zwar kommen immer nur dieselben 10 Richtungen der Kanten vor, aber das Muster geht nicht durch irgendeine Verschiebung in sich über: Orientierungsordnung ohne Translationsinvarianz. Das war vor 30 Jahren eine aufregende Entdeckung des Mathematikers Roger Penrose (Doktorvater von Stephen Hawking). Man fragte sich damals, ob es analoge nichtperiodische Gitter mit Orientierungsordnung auch in drei Dimensionen gibt. Der Tübinger theoretische Physiker Peter Kramer war 1983 der erste, der solche Gitter konstruierte, und etwa gleichzeitig, aber unabhängig davon fand Dan Shechtman einen Kristall, der genau diese Eigenschaften besaß. Das war damals ziemlich aufregend, aber nur unter einigen Physikern. g2 + g – 1 = 0 g = ( √5 – 1) / 2 = … G = 1 + g = 1 / g Peter H. Richter

4 Quasikristalle Chemie-Nobelpreis 2011 für Dan Shechtman, Haifa
Ho-Mg-Zn: Beugungsbild Johannes Keplers Triakontaeder 1619 Peter Kramers Konstruktion 1984 2011 erhält nun Shechtman dafür den Chemie-Nobelpreis! Das Bild entsteht bei der Beugung von Elektronen an einem Quasikristall (hier einem anderen als dem von 1983; inzwischen hat man bessere Beispiele als damals). Die 10-zählige Symmetrie spiegelt die Orientierungsordnung wider trotz fehlender Translationsordnung. Dass solche Beugungsbilder möglich sind, hat man zuerst nicht recht glauben wollen, aber einige Theoretiker waren darauf vorbereitet – vor allem Peter Kramer in Tübingen. Aber bereits Kepler hatte einen Schlüssel dazu gefunden … Ich würde das hier nicht erzählen, wenn nicht die Bausteine dieser Quasikristalle auch wieder ein enges Verhältnis zum goldenen Schnitt hätten. Es sind ein dicker und ein dünner Bauklotz, die beide dieselben Rauten als Seitenflächen haben, und deren Diagonalen stehen im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Hier also taucht er nicht nur als mathematisches Konstrukt, sondern als Baustein in der Natur auf. Peter H. Richter

5 Zwei Bausteine aus denselben Rauten mit Diagonalenverhältnis g : 1
Mit diesem Schnittmuster können Sie sich diese Bausteine selbst herstellen. Aus diesen lässt sich ein Quasikristall aufbauen Peter H. Richter

6 20 verschiedene Bausteine – je 10 dicke und 10 dünne mit 3 aus 5 Farben – fügen sich zu einem Triakontaeder Und wenn sie diese dann noch mit je drei aus fünf Farben kolorieren, erhalten Sie insgesamt 20 Bausteine, mit denen Sie einen Keplerschen 30-Flächner (Triakontaeder) bauen können, wobei immer Flächen gleicher Farbe aneinander grenzen. Es ist eine interessante Frage, wie lange man mit dieser Zusatzforderung an die Farben raumfüllend weiterbauen kann. Dazu müsste man solche Bausteine in großer Zahl haben und diese aneinander haften lassen können – aber so, dass man sie auch wieder auseinander nehmen kann. Vor 30 Jahren hat das nur wenige interessiert, vielleicht findet sich jetzt nach dem Nobelpreis jemand, der solche Bauklötze auf den Markt bringt … Peter H. Richter

7 Was ist so besonders am Goldenen Schnitt?
Die stetige Teilbarkeit? Die maximale Irrationalität! Noch einmal: was ist so besonders am Goldenen Schnitt? Meist sieht man ihn ja als Verhältnis der Kantenlängen eines Rechtecks 1:1 1:1.414… 1:1.618… 1:2 Peter H. Richter

8 Der goldene Schnitt ist die irrationalste Zahl!
g :1 = 1 : (1 + g) 1 1 1 g = 1/1 1 1 1 + g 1/2 1 1 + g 2/3 1 1 + 3/5 1 1 + 5/8 1 1 + 8/13 Das Besondere an der Zahl g ist, dass in seiner Kettenbruch-Entwicklungen nur Einsen auftauchen. Das macht g so irrational wie nur möglich, das heißt: misst man Abstände zu irgendwelchen rationalen Näherungen an g, also |g – p/q|, so sind diese bei gegebenem Nenner q der Näherung für keine andere Zahl so groß. Natürlich kommt man mit wachsendem q der Zahl g beliebig nahe, aber g hält sich doch so gut es irgend geht, von rationalen Verhältnissen entfernt. Die rationalen Zahlen, die g besonders nahe kommen, sind die der aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen, wie sie sich aus der Kettenbruchentwicklung ergeben. Aber wie gesagt: bei irgendwelchen anderen Zahlen als g wären die entsprechenden Näherungen noch näher dran. 1 + … Peter H. Richter

9 Harmonische Näherungen: Fibonacci-Zahlen
Tonika Oktave Quinte gr. Sext kl. Sext 2:1 5:3 8:5 13:8 3:2 1:1 Man kann natürlich jede irrationale Zahl durch rationale annähern, z. B. durch Dezimalzahlen. Aber die Frage ist, wie rasch das geht. Wenn ich etwa fünf Dezimalen nehme, dann weiß ich, dass ich mit G = = / einen Fehler von etwa mache. Dabei ist der Nenner in dieser rationalen Darstellung der Zahl G Denselben Fehler erreicht man aber schon mit der Näherung G = 610/377, also mit einem Nenner, der nur etwa die Wurzel aus ist. Mit anderen Worten: es gibt Näherungen, die sehr viel besser sind als die dezimalen. Das sind die sogenannten Kettenbruch-Näherungen. Aber wenn man die erst einmal hat, kann man sich fragen, ob Zahlen sich besser oder schlechter durch diese optimalen rationalen Approximationen annähern lassen. Und da stellt sich heraus, dass der goldene Schnitt sich so weit entfernt hält von allen rationalen Zahlen, wie es überhaupt nur geht. Auch wenn das der Intuition zunächst widersprechen mag, wenn wir ihn ausgerechnet durch rationale Näherungen approximieren … Solche rationalen Näherungen werden in der Musik als Intervalle definiert. Der goldene Schnitt ist ein Intervall, das zwischen Quart und Quint eine eigenartige Unbestimmtheit einnimmt. Er wirkt nicht falsch wie ein schlecht getroffener Ton, sondern ambivalent. Hören Sie dazu Stria von John Chowning … Beachten Sie, dass in der Folge der rationalen Approximationen an den goldenen Schnitt die Fibonacci-Zahlen auftauchen. Zusammenhang mit Musik: Frequenzverhältnisse Tonika 1:1 (c), Oktave 2:1 (c‘), Quint 3:2 (g), Quart 4:3 (f), große Terz 5:4 (e), kleine Terz 6:5 (es), große Sekunde 9:8 (d), große Sext 5:3 (a), kleine Sext 8:5 (as) 1.618 … Peter H. Richter

10 In der Natur: der goldene Winkel
7 4 2 12 10 9 1 5 14 Nun kommen wir zum Thema der Ausstellung: dem goldenen Schnitt auf dem Kreis Grad teilen den Kreisumfang von 360 Grad im Verhältnis des goldenen Schnitts, derart, dass der kleinere Winkel zum größeren sich so verhält wie der größere zum ganzen Kreis von 360 Grad Grad ist der Winkel, den bei der Entwicklung einer Blüte oder einer Pflanze die aufeinanderfolgenden Blätter einnehmen. Dass dabei Spiralserien zu sehen sind mit Fibonacci-Zahlen, liegt schlicht und einfach daran, dass das die rationalen Approximationen an den goldenen Schnitt sind und die Bildverarbeitung in unserem Gehirn immer nach rationalen Verhältnissen sucht. Wir verbinden also intuitiv die Blätter mit ihren nächsten Nachbarn und erzeugen dabei Spiralen, die an sich in der Natur gar nicht vorliegen. Dort gibt es nur eben Blätter, die eines nach dem anderen entstehen und dabei entweder (im Blütenboden) von innen nach außen oder (am Stamm) von unten nach oben wachsen und gleichzeitig von Blatt zu Blatt in einem Winkelabstand von Grad. Bei großem Abstand in radialer Richtung (oder am Stamm) sieht man Spiralen mit kleinen Fibonacci-Zahlen, bei enger Packung große. Nun könnte man denken: oder – was macht‘s? Aber hier ist das Resultat: 13 6 8 11 3 Peter H. Richter

11 Sonnenblumen, Gänseblümchen, …
138.0 137.5 136.5 Zählt man die Spiralen, so sind die (von innen nach außen) links drehenden 34 (cyan) und die rechts drehenden 55 (magenta) Links oben 138 Grad, in der Mitte Grad, unten Grad. Die Sonnenblume hält offenbar den Winkel Grad sehr gut ein. Peter H. Richter

12 Rose und Doppelpendel Manchmal erkennt man das Bauprinzip erst bei genauem Hinschauen: eine Rose muss man entblättern, Blatt für Blatt, um den Goldenen Schnitt in ihr zu entdecken. In der Mechanik hat man noch mehr Mühe, aber auch dort findet man g: als Frequenzverhältnis von besonders stabilen Bewegungsformen, wenn eine Tendenz zu chaotischem Verhalten besteht. Ich kann hier nicht ausführlich erklären, wie das Bild links entstanden ist. Aber es zeigt zwischen zwei großen chaotischen Bereichen (blau und magenta) eine grüne Linie, die geordnetes Verhalten zeigt: die beiden Pendel rotieren gegenläufig mit g als Verhältnis ihrer Frequenzen. Alle anderen ähnlich regulären Bewegungen, aber mit anderen Frequenzverhältnissen, sind unter dem störenden Einfluss der Schwerkraft bereits zerfallen – außer einigen auffälligen Inseln von Stabilität (Resonanzen), die durch ihre Anzahlen (1), 2, 3, 5, 8, 13 die Nähe des Goldenen Schnitts verraten. Peter H. Richter

13 Parthenon und Walhalla im goldenen Schnitt?
In der Kunst soll der goldene Schnitt intuitiv schon seit langer Zeit verwendet worden sein, z.B. beim Parthenon oder seinen Nachbildungen bei Regensburg oder in Nashville, Tennessee. Ist das überzeugend? Sind die Rechtecke so angelegt, wie man als Betrachter das Objekt beurteilen würde? Vermutlich ja. Und dann ist der Kick die Spannung, die darin liegt, dass man zwischen den Seiten kein rationales Verhältnis finden kann. Der goldene Schnitt ist eben in dem Sinn, den erst die Mathematik des 20. Jh. definieren konnte, die irrationalste aller Zahlen. Peter H. Richter

14 Leochares‘ Apollo? Le Corbusier‘s Modulor!
Der Apollo von Belvedere findet sich im Museo Pio-Clementino, Vatikan. Er ist eine Marmor-Nachbildung aus Hellenistischer oder Römischer Zeit der Bronzeskulptur des Griechen Leochares (um v.Chr.). Er galt jahrhundertelang als Vollendung der antiken Bildhauerkunst. Le Corbusier sah den goldenen Schnitt als verbindendes Element zwischen menschlicher Gestalt (hier sein „Modulor“) und Architektur Apollo und der Modulor mögen nach dem goldenen Schnitt gebaut sein, die meisten Menschen sind es nicht. Angeblich im Verhältnis des goldenden Schnitts: Major: Minor: Nabel bis Sohle Scheitel bis Nabel Nabel bis Kinn Kopfhöhe Nabel bis Knie Knie bis Sohle Kopfhöhe Kopfbreite Brauen bis Kinn Brauen bis Haaransatz Unterarm Handlänge bis Mittelfingerspitze Peter H. Richter

15 Maritas Blumen Marita hat verschiedene Versionen „goldener“ Blumen hergestellt: (i) solche, bei denen die Fibonacci-Zahlen (z. B. links 13 und 21, rechts 34 und 55) konsequent hervortreten als Zahlen von rechts- bzw. links-drehenden Spiralen; und (ii) solche, bei denen das Eigenleben der Blüten die Fibonacci-Ordnung stört, nicht aber den goldenen Schnitt, der immer noch als Bauprinzip zugrunde liegt. Es ist nur so, dass, wenn die Blätter alle gleich groß sind, innen nicht genug Platz für Fibonacci-Spiralen hoher Ordnung ist. Darum ändern sich die Fibonacci-Zahlen, es wird schwer, sie zu identifizieren, aber gerade das macht den Reiz dieser Objekte aus wie auch der wahren Sonnenblumen …. Peter H. Richter

16 Natur und Kunst Links hat Marita das Prinzip der nicht symmetrischen Spiralen zu einem Wechselspiel männlich – weiblich verarbeitet, und rechts erscheint das Fibonacci-Muster auf geradezu kosmischem Hintergrund einer gleißenden Sonne. Marita hat relativ spät damit angefangen, sich dieser Art von Kunst zwischen Natur und Mathematik zu widmen. Das hat damit zu tun, dass sie von zu Hause aus in dieser Richtung nicht nur nicht gefördert wurde, sondern unser Vater sah künstlerische Arbeit als etwas Minderwertiges an. Für ihn zählte nur Kopfarbeit. Wir beide waren in dieser Hinsicht durchaus verschieden, denn mir fiel das Rechnen und Schreiben leicht, Marita war das ein Gräuel. Erst nach vielen Jahren konnte sie sich davon befreien, ihr Mann Werner, der morgen einen runden Geburtstag hätte, hat sie dabei immer unterstützt. Lange hat Marita sich in verschiedenen Techniken vervollkommnet, in der Keramik wohl zuerst, dann aber auch in Malerei, Skulpturen und in der Verwendung diverser eher ungewöhnlicher Materialien. Sie haben das beim Rundgang durch diese Ausstellung schon gesehen oder werden es gleich sehen. Auf die verschiedenen Weisen versucht Marita, den goldenen Schnitt als ästhetisches Prinzip zum Ausdruck zu bringen. Peter H. Richter

17 Natur und Kunst, sie scheinen sich zu fliehen,
Und haben sich, eh‘ man des denkt, gefunden; Der Widerwille ist auch mir verschwunden, Und beide scheinen gleich mich anzuziehen. Es gilt wohl nur ein redliches Bemühen! Und wenn wir erst in abgemessnen Stunden Mit Geist und Fleiß uns an die Kunst gebunden, Mag frei Natur im Herzen wieder glühen. So ist‘s mit aller Bildung auch beschaffen: Vergebens werden ungebundne Geister Nach der Vollendung reiner Höhe streben. Wer Großes will, muss sich zusammenraffen: In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister, Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben. - Johann Wolfgang Goethe - Ich schließe mit diesem Sonett von Goethe (1800). Marita hat sich mit dem Goldenen Schnitt einem Gesetz verschrieben, das ihr immer wieder neue Freiheiten geschenkt hat und schenkt. Ich wünsche Deinem redlichen Bemühen, Marita, viele weitere schöne Früchte – und Ihnen allen Freude an Maritas Ausstellung. Peter H. Richter

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19 Müsset im Naturbetrachten Immer eins wie alles achten:
Epirrhema Müsset im Naturbetrachten Immer eins wie alles achten: Nichts ist drinnen, nichts ist draußen; Denn was innen, das ist außen. So ergreifet ohne Säumnis Heilig öffentlich Geheimnis. Freuet auch des wahren Scheins, Euch des ernsten Spieles: Kein Lebendiges ist ein Eins, Immer ists ein Vieles. - Johann Wolfgang Goethe - Das Epirrhema (griechisch, "Zu-, Nachwort", auch: "das Dazugesprochene"), ist ein Bestandteil griechisch-antiker Theater-Dramaturgie. Es findet beispielsweise in der alten attischen Komödie von Aristophanes Verwendung, nämlich in der sogenannten epirrhematischen Komposition im zweiten Teil der Parabase. Hier trägt der altgriechische Theaterchor eine Liedstrophe (die Ode) vor. Auf diese folgt das Epirrhema, eine Rezitation in trochäischen Tetrametern. Diese Kombination wiederholt sich in Antode und Antepirrhema, den jeweiligen Gegenstücken zu Ode und Epirrhema, und bilden so einen Dialog. Die Lieder waren meistens Hymnen an die Götter. Das Epirrhema enthielt Spott oder preisende Beschreibungen. Peter H. Richter

20 Herzliche Gratulation, Marita! Ihnen allen Freude an Maritas Kunst!
Echt oder falsch? Ich frage Sie nun, welche dieser Objekte authentisch sind und welche nicht: Die Artischocke: ja Die Ananas: ja Das Tonobjekt in vielen Gärten: nein – es leugnet die Asymmetrie der Natur Der Zapfen im vatikanischen Museum? – das ist nicht ganz klar, denn das Muster weist Asymmetrie auf, aber, soweit ich es prüfen konnte, nicht die richtigen Zahlen Maritas Fibonacci-Kugel? – zweifellos Und darum hat sie sich die Rose verdient, die ich hier einblende und nicht zerrupfen will, denn jeder von Ihnen glaubt mir jetzt, dass auch die Rosenblätter nach dem goldenen Schnitt angeordnet sind. Ich wünsche Marita und ihrer Kunst die Resonanz, die sie verdienen, denn sie hat sich inspirieren lassen vom Goldenen Schnitt der Natur Epirrhema Müsset im Naturbetrachten Immer eins wie alles achten: Nichts ist drinnen, nichts ist draußen; Denn was innen, das ist außen. So ergreifet ohne Säumnis Heilig öffentlich Geheimnis. Freuet auch des wahren Scheins, Euch des ernsten Spieles: Kein Lebendiges ist ein Eins, Immer ists ein Vieles. - Johann Wolfgang Goethe - Peter H. Richter

21 Ist Nautilus nach dem goldenen Schnitt gebaut?
Es wird oft gesagt, der Nautilus sei nach dem goldenen Schnitt gebaut … Das finde ich nicht überzeugend. Peter H. Richter


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