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Sommersemester 2002 Martin Kraus Lehrstuhl für Anwendungen des Operation Research Universität Karlsruhe (TH) Briefträgerproblem in gemischten Graphen Prof.

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Präsentation zum Thema: "Sommersemester 2002 Martin Kraus Lehrstuhl für Anwendungen des Operation Research Universität Karlsruhe (TH) Briefträgerproblem in gemischten Graphen Prof."—  Präsentation transkript:

1 Sommersemester 2002 Martin Kraus Lehrstuhl für Anwendungen des Operation Research Universität Karlsruhe (TH) Briefträgerproblem in gemischten Graphen Prof. Dr. G. Hammer Dipl.-math. P. Giemsch Seminar Tourenplanung

2 Sommersemester 2002 Martin Kraus Gliederung 1. Einführung 2. Vorüberlegung und Definitionen 3. Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen a) Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G b) Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit c) Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G d) Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G e) Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus 4. Aussagekraft der Heuristik 5. Zeitkomplexität und Rechenaufwand

3 Sommersemester 2002 Martin Kraus Einführung Das Briefträgerproblem wird in der englischen Literatur nach dem Chinesen Mei-Ko Kwan The Chinese Postman Problemgenannt. Grundvoraussetzung zur Lösung von Briefträgerproblemen schuf Leonhard Euler im Jahre 1736 mit dem Königsberger Brückenproblem. Pregel

4 Sommersemester 2002 Martin Kraus Einführung Anwendungsmöglichkeiten: Ausliefern von Post Durchführung der Müllabfuhr Straßenreinigung Winterdienst

5 Sommersemester 2002 Martin Kraus Einführung Skizzierung am Beispiel des Winterdienstes. Ziel: Jede Straße muss von den anfallenden Schneemassen befreit werden. Dabei muss dass Einsatzfahrzeug jede Straße mindestens einmal bei mehrspurigen Straßen mehrmals durchfahren. Es kann erforderlich werden Straßen erneut - ohne das eine Aufgabe erledigt wird – zu durchfahren, um ein anderes Gebiet zu erreichen. Gesucht ist ein minimaler Weg, der jede zu räumende Straße enthält und in dem die Länge der unproduktiven Strecken so gering wie möglich ist.

6 Sommersemester 2002 Martin Kraus Einführung Auftretende Nebenbedingungen: Verschiedene Einsatzfahrzeuge (Schneefräsen, Schneepflüge, Schneetransporter, Salzstreuer, etc.) Verschiedene Straßenarten (Ein-, Mehrspurig, Einbahnstraßen, Autobahnen, etc.) Verschiedene Witterungsbedingungen (Schnee, Matsch, überfrierende Nässe, Schneefallstärke, etc.) Kapazitätsrestriktionen (Ladekapazität) Zeitrestriktionen (Einsatzzeit, Räumintervalle, etc.) Prioritäten (Hauptstraße, Nebenstraße, etc.)

7 Sommersemester 2002 Martin Kraus Einführung Lösungssoftware: CASPAR (Computer Aided System for Planning Efficient Routs): Ersparnisse im Staat Indiana durch den Einsatz von CASPAR: Anzahl der Routen: -7,9% Anzahl der unproduktiven Strecken: -4,3% Anzahl der hinzugenommenen Strecken: +79,3% Kostenersparnis im ersten Jahr: $ 10 Millionen

8 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorüberlegung und Definitionen Gegeben sei ein bewerteter gemischter Multigraph G=[V,E,P,c]. V sei die Menge der Knoten mit VØ E die Menge der Kanten zwischen den Knoten [i,j] P die Menge der Pfeile c die Kosten mit c(e)0 für alle e Element E und P ij c ij

9 Sommersemester 2002 Martin Kraus Ein Graph G heißt stark zusammenhängend, wenn gilt, dass für alle i,j Element V eine Kanten-Pfeil-Folge (KP-Folge) von i nach j und eine KP-Folge von j nach i existiert. i Ein Graph G heißt schwach zusammenhängend, wenn für alle i,j Element V eine Semi-Kanten-Pfeilfolge (SKP-Folge) mit den Endpunkten i und j existiert. j ij Vorüberlegung und Definitionen

10 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorüberlegung und Definitionen Die Entfernung zwischen zwei Knoten i und j wird als d ij bezeichnet und drückt die Länge einer kürzesten SKP-Folge aus. Zusätzlich soll gelten: d ij =, falls i und j nicht verbunden sind

11 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorüberlegung und Definitionen Definition 1: Eine Briefträgertour in einem Graphen G, ist eine geschlossene KP-Folge, die jede Kante und jeden Pfeil mindestens einmal enthält. Definition 2: Ein geschlossener (gemischter) Eulerscher Zyklus in einem Graphen G ist eine geschlossene KP-Folge, die jede Kante und jeden Pfeil genau einmal enthält. Definition 3: Ein Graph G heißt Eulersch, falls G einen geschlossenen Eulerschen Zyklus enthält.

12 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorüberlegung und Definitionen Definition 4: Der Gesamtgrad eines Knoten i in einem gemischten Graphen G sei wie folgt definiert: δ x =δ(i)+ δ + (i)+δ - (i) Mit: δ(i) der Grad aller in einem Knoten i endenden Kanten δ + (i) den Eingangsgrad eines Knoten i δ - (i) den Ausgangsgrad eines Knoten i

13 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorüberlegung und Definitionen Definition 5: Ein gemischter Multigraph Ĝ ist eine Vergrößerung von G, wenn Ĝ aus G durch Umwandlung von Kanten in Pfeile, Ersetzung von Kanten durch Paare entgegengesetzt gerichteter Pfeile, und Vervielfachung von Kanten bzw. Pfeilen entstanden ist. Definition 6: Ĝ ist eine Eulersche Vergrößerung, wenn Ĝ Eulersch ist und eine Vergrößerung von G.

14 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorüberlegung und Definitionen Definition 7: Eine optimale Eulersche Vergrößerung Ĝ von G ist eine Vergrößerung von G und hat unter allen möglichen Vergrößerungen von G die kleinste Summe der Bewertungen der hinzugefügten Kanten und Pfeile.

15 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen Generelles Vorgehen: Schritt 1: Untersuche ob der Graph G stark zusammenhängend ist.Falls der Graph G stark zusammenhängend ist, fahre fort mit Schritt 2. Falls nicht terminiere. Schritt 2: Untersuche ob der Graph G von sich aus Eulersch ist. Falls der Graph G Eulersch ist fahre fort mit Schritt 4. Ansonsten weiter mit Schritt 3.

16 Sommersemester 2002 Martin Kraus Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen Schritt 3: Bestimme eine optimalen Eulerschen Vergrößerung Ĝ von G indem man die Verfahren Gerade-Gesamtgrad-Vergrößerung(GG-Vergrößerung) und Ausgangsgrad-Gleich-Eingangsgrad-Vergrößerung (AGE- Vergrößerung) auf den Graphen G anwendet. Schritt 4: Bestimme einen geschlossenen Eulerschen Zyklus in einem Eulerschen Graphen.

17 Sommersemester 2002 Martin Kraus Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G Der Graph ist nicht stark zusammenhängen wenn er, a)isolierte Knoten, Knotenpaare oder b)Sackgassen besitzt. Algorithmus zur Identifikation von Sackgassen: Schritt 1: Starte mit dem Knoten i:=1und j:=2. Schritt 2: Untersuche ob für i eine KP-Folge nach j und von j eine KP-Folge nach i existiert. Falls nicht, terminiere. Schritt 3: Falls jn. Setze j:=j+1 und gehe zu Schritt 2. Sonst terminiere.

18 Sommersemester 2002 Martin Kraus Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G Gesucht ist eine Briefträgertour im Graphen A , ,5 1,5 Der Graph A ist stark zusammenhängend, da es keine isolierten Knoten oder Knotenpaare gibt und er keine Sackgassen besitzt. 1 2 Beispiel:

19 Sommersemester 2002 Martin Kraus Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G Durch die Untersuchung erkennt man weiterhin, dass der Graph A in einen Graphen G transformiert werden kann ,5 2 Beispiel:

20 Sommersemester 2002 Martin Kraus Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit Satz 1: Sei G ein gemischter zusammenhängender Multigraph, dann ist G Eulersch, wenn gilt: a)δ x (i) ist geradzahlig für alle i Element V b)Für jede Zerlegung (V 1,V 2 ) von V gilt: |# - # | #[ V 1,V 2 ] c)δ + (i)=δ - (i) für alle i Element V Die Bedingungen a) und c) sind notwendige Voraussetzungen dafür, dass der Graph G Eulersch ist.

21 Sommersemester 2002 Martin Kraus Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit ,5 2 Da der Graph zum Beispiel im Knoten 2 sowohl gegen a) δ x (i) geradzahlig als auch gegen c) δ + (i)=δ - (i) des Satzes 1 verstößt, muß er erst noch durch eine geeignete Umwandlung Eulersch gemacht werden. Beispiel:

22 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G

23 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G ,5 2 i2458 δ x (i)3333 Schritt 1: Beispiel:

24 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G ,5 2 Schritt 2: ijF ij d ij 24[2,4] [2,5,4]2 25[2,5]1 28[2,5,8]3 45[4,5]1 48[4,8]2,5 58[5,8]2 Beispiel:

25 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G ,5 1 2 Schritt 3: Resultierender Graph G ,5 1 2 Minimales Summen- Matching X*={[2,5][4,8]} Beispiel:

26 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 2 Schritt 4: Resultierender Graph Ĝ 1 2,5 Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G Beispiel:

27 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

28 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

29 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

30 Sommersemester 2002 Martin Kraus Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

31 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 2 Schritt 1: Orientiere [4,5] von 4 nach 5. Man erhält den Graphen Ğ 1 2,5 Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G Beispiel:

32 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 2 Schritt 2: 1 2,5 Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G Beispiel: i2458 aiai

33 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 2 Schritt 3: 1 2,5 Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G Beispiel: Resultierender Multigraph -2 2

34 Sommersemester 2002 Martin Kraus ; 2; 6; 1; 2,5; 2; Schritt 4: Festlegung der Kosten und Kapazitäten in der Form: γ(e);κ(e) 1; 2,5; Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G Beispiel: ;2 1;

35 Sommersemester 2002 Martin Kraus ; 2; 6; 1; 2,5; 2; Schritt 5: Lösung des Umladeproblems: X*( ), X(*)=0 1; 2,5; Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G Beispiel: ;2 1;

36 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 2 Zu zwei parallele Pfeile einfügen. Die Kante [4,5] wird durch den Pfeil ersetzt. Man erhält den Resultierenden Graphen Ĝ 1 2,5 Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G Beispiel: 66

37 Sommersemester 2002 Martin Kraus Schritt 1: Starte mit einem beliebigen Knoten i 0 von G. Suche ausgehend von i 0, eine schlichte geschlossene Folge L=[ i 0, i 1, i 2,.... i 0 ]. Schritt 2: Eliminiere die Kanten/Pfeile von L aus G. Daraus ergibt sich der Graph G. Wähle einen Knoten i 0 auf L, für den in G δ(i 0 )2 gilt. Gibt es keinen solchen Knoten, so terminiere. Anderenfalls suche in G ausgehend von i 0 eine schlichte geschlossenen Kantenfolge L. Schritt 3: Füge die Kantenfolge L in L ein. Die resultierende Kantenfolge sei wieder L. Setze G:=G und gehe zu Schritt 2. Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus

38 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 2 Start mit i 0 :=2 L 1 = 1 2,5 Beispiel: 66 Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus

39 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 Start mit i 0 :=2 L 1 = L 2 = 2,5 Beispiel: 6 Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus

40 Sommersemester 2002 Martin Kraus ,5 Start mit i 0 :=2 L 1 = L 2 = L 3 = Resultierende Folge L: L= Beispiel: Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus

41 Sommersemester 2002 Martin Kraus Rücktransformation in den Graphen A: L= Länge der Briefträgertour: C(L)= , ,5 1,5 1 2 Beispiel: Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus

42 Sommersemester 2002 Martin Kraus Es existieren zwei Möglichkeiten: Möglichkeit 1: Der Graph G wird durch den GG-Algorithmus auf Ĝ gebracht und danach der AGE-Algorithmus auf Ĝ angewandt. Man erhält einen Eulerschen Graphen Ĝ. Daraus ergibt sich dann die Briefträgertour L A. Möglichkeit 2: Der Graph G wird über die AGE-Vergrößerung in Ĝ überführt und dann mit der GG-Vergrößerung der Eulerschen Graphen Ĝ konstruiert. Hieraus ergibt sich die Briefträgertour L B. Aussagekraft der Heuristik

43 Sommersemester 2002 Martin Kraus Untersuchung des Graphen G nach Möglichkeit 2 Erster Schritt: AGE- Vergrößerung Zweiter Schritt: GG- Vergrößerung ,5 2 Beispiel: Aussagekraft der Heuristik

44 Sommersemester 2002 Martin Kraus Resultierender Graph nach der AGE-Vergrößerung durch [4,5] orientiert zu a i Bestimmung Lösung des Umladeproblems mit dem Ergebnis X*( )=1; X*( )=1 und X(*)=0 => Verdopplung von und beibehalten von [4,5] ,5 2 Beispiel: 6 Aussagekraft der Heuristik

45 Sommersemester 2002 Martin Kraus Resultierender Graph nach der GG-Vergrößerung durch Bestimmung von δ x (i) Berechnen der d ij Lösen des minimalen Summen-Matching X* => Hinzufügen der Kante [4,5] ,5 2 Beispiel: 6 1 Aussagekraft der Heuristik

46 Sommersemester 2002 Martin Kraus Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus L= Mit den Gesamtkosten C(L)=21, ,5 2 Beispiel: 6 1 Aussagekraft der Heuristik

47 Sommersemester 2002 Martin Kraus Aussagekraft der Heuristik Annahme: L + ist die kürzeste der beiden gefunden Briefträgertouren L A und L B u nd L* die nicht bekannte optimale Briefträgertour. Fredrickson bewies 1979 mit der worst-case Analyse und das gilt:

48 Sommersemester 2002 Martin Kraus Zeitkomplexität und Rechenaufwand Maßgeblich abhängig vom minimalen Summen-Matching der GG- Vergrößerung und dem Umladeproblem der AGE-Vergrößerung. Es seien |V|=n und |E|+|P|=m. Zeitkomplexität der GG-Vergrößerung: O(n 3 +m) im Multigraphen O(n 3 ) sonst Zeitkomplexität der AGE-Vergrößerung: O(mn 2 ) Zeitkomplexität zu Bestimmung eines Eulerschen Zyklus: O(m)

49 Sommersemester 2002 Martin Kraus Literaturverzeichnis [1] P. Bruckner. The Chinese Postman Problem for Mixed Graphs.H. Noltemeier. Graphtheoretic Concepts in Computer Science. S.355–366. Springer Verlag [2] H.A. Eiselt, M. Gendreau, G. Laporte. Arc Routing Problems, Part I: The Chinise Postman Problem. S Operation Research, Vol.43, No [3] H.A. Eiselt, M. Gendreau, G. Laporte. Arc Routing Problems, Part II: The Rural Postman Problem. S Operation Research, Vol.43, No [5] Domschke. Logistik: Rundreisen und Touren. 2.Auflage. Briefträgerprobleme. S , R. Oldenburg Verlag [6] M. Dror. Arc Routing: Theory, Solutions and Applications. Kluwer Academic Publisher. 2000


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