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Beschreibende Statistik Betriebswirt VWA. Beschreibende Statistik 2 ©JB Wesen der Statistik Beschreibende Statistik (Deskriptive Statistik) Methoden zur.

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1 Beschreibende Statistik Betriebswirt VWA

2 Beschreibende Statistik 2 ©JB Wesen der Statistik Beschreibende Statistik (Deskriptive Statistik) Methoden zur Erfassung, Aufbereitung, Darstellung und Analyse fest umrissener und konkret vorliegender Daten. Schließende Statistik (Induktive Statistik) Methoden, deren Anwendung Schlüsse von Stichproben auf übergeordnete Gesamtheiten erlauben. Statistik ist das methodische Vorgehen bei der Beschaffung von Informationen, die man braucht, um vernünftige Entscheidungen treffen zu können. Wesen der Statistik

3 Beschreibende Statistik 3 ©JB Statistische Daten verbale oder qualitative Informationen - nicht sehr präzise - wenig objektiv - Zusammenfassung schwierig quantitative, zahlenmäßige Informationen - zahlenmäßige Aussage - objektiv - einfach zusammenzufassen und zu verarbeiten Daten, die sich für eine Zusammenfassung eignen, werden als Statistische Daten bezeichnet.

4 Beschreibende Statistik 4 ©JB Statistische Modell sachlich örtlich zeitlich Ein Modell ist ein vereinfachtes Bild der Wirklichkeit und entsteht durch Beschränkung auf das Wesentliche. Modelle in der Statistik entstehen in der Regel durch Vereinfachung in dreifacher Weise: Problem:Es gibt keine eindeutigen, allgemein anerkannte Grundsätze zur Bildung Statistischer Modelle.

5 Beschreibende Statistik 5 ©JB Anwendungsgebiete Politik Verkehr Sozialwissenschaften Biologische Wissenschaften Naturwissenschaft und Technik Betriebstatistik Medizin Statistische Methoden können überall dort eingesetzt werden, wo größere Informationsmengen zu verarbeiten sind.

6 Beschreibende Statistik 6 ©JB Statistisches Material Grundgesamtheit: Menge von Elementen über die sich die Entscheidung, die man statistisch untermauern will, erstreckt und über die man Informationen benötigt. Die Grundgesamtheit setzt sich aus den statistischen Einheiten zusammen. Untersuchungszweck: Festlegung, wozu man Informationen benötigt Abgrenzung der Gesamtheit: sachlich örtlich zeitlich

7 Beschreibende Statistik 7 ©JB Bestands- und Bewegungsmassen Bestandsmassen: Erfassung zu einem bestimmten Zeitpunkt. Bewegungsmassen: Erfassung während eines Zeitraumes. Fortschreibung: Bestandsmassen werden durch Bewegungsmassen fortgeschrieben (Zugangsmassen und Abgangs- massen).

8 Beschreibende Statistik 8 ©JB Bestands- und Bewegungsmassen Beispiele für Bestandsmassen: Einwohner von Mannheim Studenten einer Hochschule Kraftfahrzeuge in München Unternehmen in NRW Beispiele für Bewegungsmassen: Geburten in Bayern im September 1988 Verbrauch an Bier in Hessen im Jahre 1987 Regenfälle in einem bestimmten Gebiet Umsätze von Unternehmen

9 Beschreibende Statistik 9 ©JB Vollerhebung oder Totalerhebung Erfassung aller statistischer Einheiten Vorteil: Vollständige Information Nachteil: große Gesamtheiten nicht exakt abgrenzbar Bei komplizierten Sachverhalten können Ergeb- nisse fehlerhafter werden, je mehr Einheiten berücksichtigt werden große Kosten Zeitdauer zu lang

10 Beschreibende Statistik 10 ©JB Teilerhebung / Stichprobe Vorteil: Kostengünstig, da geringer Aufwand Vollerhebung eventuell unsinnig Ergebnisse liegen schneller vor Genauigkeit Nachteil: Stichprobenfehler Beschränkt man sich nur auf einen Teil der statis- tischen Masse, so spricht man von einer Teiler- hebung. Der ausgewählte Teil heißt Stichprobe.

11 Beschreibende Statistik 11 ©JB Herkunft der Daten primärstatistische Erhebung: Daten werden eigens für die Untersuchung erhoben aus Kostengründen kaum durchführbar sekundärstatistische Erfassung: Rückgriff auf bereits vorhandene Daten Kostengünstig, da geringerer Aufwand

12 Beschreibende Statistik 12 ©JB Erhebungsmethoden bei Primärstatistik 1.Mündliche Befragung Interview sehr Zeitaufwendig 2.Schriftliche Befragung geringer Aufwand, Güte kann leiden 3.Beobachtung Daten in der Regel unverfälscht 4.Experiment Produkttest 5.Automatische Erfassung Anwendung im tech. Bereich (z.B. Stromverbrauch)

13 Beschreibende Statistik 13 ©JB Träger der amtlichen Statistik staatliche Institutionen oder vom Staat abhängige Stellen. Sie sind staatlich finanziert. Beispiele: Statistisches Bundesamt Statistische Landesämter Statistische Ämter der Städte Ministerien des Bundes und der Länder Bundesargentur für Arbeit Veröffentlichung der amtlichen Statistik: Staatistische Jahrbuch Zeitschrift Wirtschaft und Statistik Der Statistische Wochendienst

14 Beschreibende Statistik 14 ©JB Träger der nichtamtlichen Statistik Wirtschaftsverbände Markt- und Meinungsforschungsinstitute wissenschaftliche Institute Unternehmen Arbeitgeber- und Arbeitnehmerorganisationen Erhebungen können schneller an aktuelle Bedürfnisse angepasst werden. Ergebnisse sind weniger objektiv. Ergebnisse sind oft Mittel der Selbstdarstellung.

15 Beschreibende Statistik 15 ©JB Statistische Merkmale Merkmale: Eigenschaften einer statistischen Einheit, für die man sich bei einer statistischen Untersuchung interessiert. Sie sind Gegenstand der Untersuchung. Merkmalsträger: Träger der Merkmale sind die statistische Einheiten, die gezählt oder gemessen werden. Merkmalsausprägungen: Es sind die verschiedenen Ergebnisse, die bei der Beobachtung oder Messung auftreten können.

16 Beschreibende Statistik 16 ©JB Beispiele für Merkmalsausprägungen NrMerkmalsträgerMerkmalMerkmalsausprägung 1best. PersonWaschmaschi- nenbesitzer Besitzer, Nichtbesitzer 2best. PersonAnhänger einer Partei Anhänger, kein Anhänger 3best. PersonFamilienstandledig, geschieden, verheiratet, verwitwet 4FernsehzuschauerMeinung zur Sendung sehr gut, gut, durchsch., schlecht, sehr schlecht 5BetriebsangehörigeAlter in Jahren16 – 65 Jahre 6BetriebsangehörigeUrlaubstage18, 19, 20, Tage

17 Beschreibende Statistik 17 ©JB Beispiele für Merkmalsausprägungen Merkmal 1-3: Es handelt sich um Eigenschaften. Jede Reihen- und Rangfolge ist willkürlich und zufällig. Merkmal 4: Es handelt sich um eine Bewertung. Es liegt eine eindeutige Rangfolge vor. Merkmal 5-6: Es handelt sich um Zahlen. Eine Rangfolge ist vorge- geben. Abstände zwischen Ausprägungen sind gleich lang. Festlegung der Maßeinteilung nennt man Skalierung

18 Beschreibende Statistik 18 ©JB Arten von Skalierungen 1.Nominale Skalierung: (Unterscheidungsmerkmale) Die Merkmalsausprägungen drücken lediglich die Verschiedenartigkeit aus. 2.Ordinale Skalierung: (Rangmerkmale) Die Merkmalsausprägungen bringen neben der Verschiedenartigkeit eine natürliche Rangfolge zum Ausdruck. 3.Metrische Skalierung: (Abstandsmerkmale) Merkmalsausprägungen grundsätzlich Zahlen. Neben der Rangordnung werden auch die Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen verglichen.

19 Beschreibende Statistik 19 ©JB Gruppen von Skalierungen Quantitative Ausprägungen: metrisch skalierte Merkmale Ausprägungen unterscheiden sich in ihrer Größe Qualitative Ausprägungen: ordinal und nominal skalierte Merkmale Ausprägungen unterscheiden sich in ihrer Art

20 Beschreibende Statistik 20 ©JB Qualitative Daten können nicht durch Auszählen oder Messen ermittelt werden Haben keine natürliche Reihenfolge Liefern keine Abstände oder Verhältnisse nominal:Merkmalsausprägungen ordinal:Merkmalsausprägungen können in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden Sind keine absoluten, sondern relative Werte Liefern keine Abstände oder Verhältnisse

21 Beschreibende Statistik 21 ©JB Quantitative Daten Sind messbar oder abzählbar (reelle Zahlen) Sind somit absolute Werte Liefern Abstände oder Verhältnisse metrisch:Merkmalsausprägungen

22 Beschreibende Statistik 22 ©JB Diskrete und stetige Merkmale Diskrete Merkmale: (Beispiel Nr. 6) Merkmal kann nur endlich viele Ausprägungen annehmen Ausprägungen sind exakt bestimmbar Abgrenzungsschwierigkeiten treten nicht auf Stetige Merkmale: (Beispiel Nr. 5) Können jeden beliebigen reellen Wert in einem bestimmten Intervall annehmen Ausprägungen sind nicht abzählbar, sie werden durch messen bestimmt Sie sind genaugenommen nur Näherungswerte

23 Beschreibende Statistik 23 ©JB Beispiele für Merkmalsausprägungen NrMerkmalsträgerMerkmalMerkmalsausprägung 1best. PersonWaschmaschi- nenbesitzer Besitzer, Nichtbesitzer 2best. PersonAnhänger einer Partei Anhänger, kein Anhänger 3best. PersonFamilienstandledig, geschieden, verheiratet, verwitwet 4FernsehzuschauerMeinung zur Sendung sehr gut, gut, durchsch., schlecht, sehr schlecht 5BetriebsangehörigeAlter in Jahren16 – 65 Jahre 6BetriebsangehörigeUrlaubstage18, 19, 20, Tage

24 Beschreibende Statistik 24 ©JB Übersicht

25 Beschreibende Statistik 25 ©JB Rechnen mit Summenzeichen i : Index 1 : Untere Summationsgrenze n :Obere Summationsgrenze a i :beliebige Werte, hier z.B. Merkmalsaus- prägungen

26 Beschreibende Statistik 26 ©JB Rechenbeispiele

27 Beschreibende Statistik 27 ©JB Rechenregeln mit Summen

28 Beschreibende Statistik 28 ©JB Rechenregeln mit Summen

29 Beschreibende Statistik 29 ©JB Gesamtsumme

30 Beschreibende Statistik 30 ©JB Häufigkeitsverteilung Urliste Ungeordnete Niederschrift der Zahlenwerte in der Reihenfolge ihres Auftretens. Häufigkeitszahl Gleiche Messwerte werden mit der Zahl ihres Auftretens versehen. Absolute Häufigkeit Anzahl der statt. Einheiten mit einer bestimmten Merkmalsausprägung. Relative Häufigkeit Absolute Häufigkeit dividiert durch Anzahl der stat. Einheiten

31 Beschreibende Statistik 31 ©JB Klassenbildung 1.Anzahl der Klassen festlegen opt. Anzahl erfolgt nicht nach festen Regeln Problemstellung ist maßgebend Zu viele Klassen -> unübersichtlich Zu wenige Klassen -> Informationsverlust In der Regel 5-20 Klassen 2.Klassengrenzen festlegen Es soll eine obere und untere Grenze festge- legt werden In der Regel gleichbreite Klassen Ungleiche Klassen nur, wenn viele Beobach- tungen in einem kleinen Bereich und geringer Rest in weitem Bereich

32 Beschreibende Statistik 32 ©JB Aufgabe Häufigkeitsverteilung Die nachfolgende Tabelle enthält die Gewichte von 40 männlichen Studenten auf das nächste volle Pfund gerundet. Erstellen Sie eine Häufigkeitsverteilung.

33 Beschreibende Statistik 33 ©JB Lösung Strichliste

34 Beschreibende Statistik 34 ©JB Stamm-Blatt Darstellung

35 Beschreibende Statistik 35 ©JB Lösung Häufigkeitsdiagramm

36 Beschreibende Statistik 36 ©JB Stabdiagramm

37 Beschreibende Statistik 37 ©JB Rechteckdiagramm

38 Beschreibende Statistik 38 ©JB Kreisdiagramm

39 Beschreibende Statistik 39 ©JB Mittelwerte oder Lagerparameter Das arithmetische Mittel –Einfaches arithmetische Mittel –Gewogenes arithmetisches Mittel –Arithmetisches Mittel für klassierte Daten Modalwert oder häufigster Wert Zentralwert oder Meridian Quantile Das geometrische Mittel

40 Beschreibende Statistik 40 ©JB Einfaches arithmetische Mittel Arithmetische Mittel bei Einzelwerten Eigenschaften:

41 Beschreibende Statistik 41 ©JB Das gewogene arithmetische Mittel Arithmetische Mittel bei einer Häufigkeitsverteilung Anstatt gleiche Merkmalsausprägungen mehrfach zu addieren, gewichtet man sich unterscheidende Merkmalsausprägungen x i (i=1,2,...,n) mit der Häufigkeit des Auftretens h i.

42 Beschreibende Statistik 42 ©JB Arithmetisches Mittel für klassierte Daten Ist von einer Stichprobe weder die Urliste noch eine Häufigkeitsverteilung bekannt, so lässt sich der Mittelwert nicht exakt berechen. In einem solchen Fall ermittelt man einen Näher- ungswert, indem man von jeder Klasse die Klassen- mitte verwendet.

43 Beschreibende Statistik 43 ©JB Modalwert Die am häufigsten vorkommende Merkmalsaus- prägung. Der Modalwert ist um so aussagekräftiger, je stärker die entsprechende Merkmalsausprägung dominiert. Für nominal skalierte Merkmale ist der Modalwert der einzige sinnvolle Lageparameter.

44 Beschreibende Statistik 44 ©JB Zentralwert oder Median Der Zentralwert ist diejenige Merkmalsausprägung, die in der Mitte der in eine Rangfolge gebrachten Einzelausprägungen steht. D.h. die Merkmale müssen mindestens Ordinalskala besitzen. Anzahl gerade:Zentralwert an der Stelle (n+1)/2 Anzahl ungerade:Mittel der Werte an der Stelle n/2 und n/2 +1

45 Beschreibende Statistik 45 ©JB Quantile Das p% Quantil ist der Wert Lp für den p % der Beobachtungen kleiner und (100-p)% größer als Lp sind. Für p = 25%, 50%, 75% nennt man die Quantile Quartile (unteres, Median, oberes); Bezeichnung ist Q1,Q2,Q3. Den Wert Q3 - Q1 nennt man Interquantilsabstand.

46 Beschreibende Statistik 46 ©JB Das geometrische Mittel Bei der Bestimmung von durchschnittlichen Wachs- tumsraten ist das arithmetische Mittel nicht brauchbar. Hier muss man auf das geometrische Mittel zurück- greifen.

47 Beschreibende Statistik 47 ©JB Negatives Wachstum

48 Beschreibende Statistik 48 ©JB Streuungsmaße Spannweite oder Variationsbreite Quartilsabstand und Boxplot Mittlere lineare Abweichung Varianz und Standardabweichung Varianzkoeffizient Zur Beschreibung einer Stichprobe reicht der Mittel- wert oft nicht aus, da er keine Aussage darüber er- laubt, wie weit die einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert abweichen. Aus diesem Grund wird der Mittelwert oft durch einen Streuungsparameter ergänzt.

49 Beschreibende Statistik 49 ©JB Spannweite oder Variationsbreite Spannweite =Differenz zwischen dem größten (x max ) und dem kleinsten (x min ) Wert Vorteil: leicht zu berechnen schneller Vergleich der Streuung zweier Merkmals- reihen rascher Überblick über die Breite der Skala Nachteil: Extremwerte verzerren die Aussagekraft Keine Aussage über Streuung zw. Extremwerten Bei großen Untersuchungen treten öfter Werte auf, die die Spannweite erhöhen

50 Beschreibende Statistik 50 ©JB Quartilsabstand und Boxplot Der Quartilsabstand ist die Differenz zwischen dem ersten und dem dritten Quartil. Er umfasst den Be- reich mit den mittleren 50% der Werte. Das Box- oder Whiskerdiagramm stellt die Häufig- keitsverteilung schematisch dar: Zwischen dem 1. und dem 3. Quartil wird ein Kasten aufgebaut. In diesen Bereich fallen 50% der Beobachtungen. Die seitlich angesetzten Schnurrhaare vermitteln einen Eindruck, wie weit die restlichen 50% streuen

51 Beschreibende Statistik 51 ©JB Box- und Whiskersdiagramm Aufenthaltsdauer von Patientinnen nach Schnittentbindung (Seite 65)

52 Beschreibende Statistik 52 ©JB Mittlere lineare Abweichung Durchschnittliche lineare Abweichung der Merkmals- werte vom Mittelwert. Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der Merkmalswerte von einem Mittelwert (arith. Mittel oder Median)

53 Beschreibende Statistik 53 ©JB Varianz und Standardabweichung Varianz s 2 : Standardabweichung s = positve Wurzel der Varianz s 2

54 Beschreibende Statistik 54 ©JB Beispiel Standardabweichung

55 Beschreibende Statistik 55 ©JB Variationskoeffizient Der Variationskoeffizient ist ein relativer Streuungs- parameter. Variationskoeffizient v =Quotient aus Stabdardabw. und arithmetischem Mittel Der Variationskoeffizient gibt an, wie viel Prozent vom arithmetischen Mittel die Standardabweichung beträgt.

56 Beschreibende Statistik 56 ©JB Regression und Korrelation Beschreibung eines (tendenziellen) Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalsausprägungen. Korrelationsanalyse: Bestimmung einer Maßzahl, die die Stärke des Zusammenhangs beschreibt. (Korrelations- bzw. Kontingenzkoeffizient) Regressionsanalyse: Bestimmung von Funktionen zur Beschreibung der Form des Zusammenhangs zwischen zwei Merk- malen. (Regressionsgerade)

57 Beschreibende Statistik 57 ©JB Die drei Fragenstellungen I.Besteht zwischen den Merkmalen ein Zusammenhang oder nicht? Kontingenz Korrelation II.Wie ausgeprägt ist ein Zusammenhang? Kontingenz-Koeffizient Korrelations-Koeffizient III.Durch welche Funktion kann die Tendenz eines Zusammenhangs beschrieben werden? Regressionsrechnung

58 Beschreibende Statistik 58 ©JB Beispiel Kontingenztabellen

59 Beschreibende Statistik 59 ©JB Beispiel Kontingenztabellen

60 Beschreibende Statistik 60 ©JB Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht

61 Beschreibende Statistik 61 ©JB Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht

62 Beschreibende Statistik 62 ©JB Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht

63 Beschreibende Statistik 63 ©JB Regressionsanalyse Die Regressionsanalyse verfolgt das Ziel, die Ten- denz des Zusammenhangs durch eine mathema- tische Funktion zu beschreiben. Mögliche Funktionen: Gerade:y = ax + b Parabel:y = ax 2 + bx + c Potenzfunktion:y = bx 2 Exponentialfunktion:y = ba x

64 Beschreibende Statistik 64 ©JB Kriterium der kleinsten Quadrate Zur Ermittlung der Regressionsfunktion hat sich das Kriterium der kleinsten Quadrate bewährt. In einem Koordinatensystem werden die Beobach- tungspunkte eingezeichnet. Der Abstand zwischen den Punkten und der Funktion soll möglichst klein werden. Von allen möglichen Funktionen wird nun die ausge- wählt, für die die Quadrate der Abstände minimal sind

65 Beschreibende Statistik 65 ©JB Kriterium der kleinsten Quadrate P1*P1* P2*P2* P1P1 P2P2 x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 y2*y2* y1*y1* x y d1d1 d2d2 y = ax + b

66 Beschreibende Statistik 66 ©JB Lineare Regressionsfunktion Forderung für Regressionsgerade y = ax + b: Für Minimum muss 1. Ableitung nach a und b ver- schwinden:

67 Beschreibende Statistik 67 ©JB Lineare Regressionsfunktion Durch Null-Setzen der 1. Ableitungen folgt: Auflösen nach a und b ergibt:

68 Beschreibende Statistik 68 ©JB Lineare Regressionsfunktion Andere Rechenmöglichkeit:

69 Beschreibende Statistik 69 ©JB Einkommen - Miete

70 Beschreibende Statistik 70 ©JB Einkommen - Miete

71 Beschreibende Statistik 71 ©JB Lineare Regressionsfunktion Bisher haben wir die die Abhängigkeit des Merkmals Y vom Merkmal X beschrieben. (Regression von y auf x). Wollen wir die Abhängigkeit des Merkmals X vom Merkmal Y beschreiben (Regression von x auf y), so ergeben sich folgende Formeln:

72 Beschreibende Statistik 72 ©JB Miete - Einkommen

73 Beschreibende Statistik 73 ©JB Miete - Einkommen

74 Beschreibende Statistik 74 ©JB Werbungskosten - Umsatz

75 Beschreibende Statistik 75 ©JB Werbungskosten - Umsatz

76 Beschreibende Statistik 76 ©JB Alter - Wartungskosten

77 Beschreibende Statistik 77 ©JB Alter - Wartungskosten

78 Beschreibende Statistik 78 ©JB Korrelationsanalyse In der Korrelationsanalyse versucht man, die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen durch eine Maßzahl auszudrücken. Wir unterscheiden folgende Maßzahlen: Korrelationskoeffizient von Pearson (metrisch skalierte Merkmale) Rangkorrelationskoeffizient von Spearman (ordinalskalierte Merkmale) Kontingenzkoeffizienten (nominalskalierte Merkmale)

79 Beschreibende Statistik 79 ©JB Korrelationskoeffizient von Pearson

80 Beschreibende Statistik 80 ©JB Korrelationskoeffizient von Pearson Der Korrelationskoeffizient r ist eine Zahl zwischen +1 und -1 r = 1:Alle Beobachtungswerte liegen auf einer steigenden Geraden. r = –1:Alle Beobachtungswerte liegen auf einer fallenden Geraden. r > 0:Merkmale positiv korreliert, d.h. die Regressionsgerade ist steigend. r < 0:Merkmale negativ korreliert, d.h. die Regressionsgerade ist fallend. r = 0:Die Merkmale sind unkorreliert, d.h. es besteht kein linearer Zusammenhang.

81 Beschreibende Statistik 81 ©JB Korrelationskoeffizient von Pearson Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten von Pearson ist die folgende Formel besser geeignet:

82 Beschreibende Statistik 82 ©JB Beispiel Korrelationskoeffizient

83 Beschreibende Statistik 83 ©JB Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Zwei Merkmale besitzen mindestens eine Ordinalskala. Merkmalswerte aufsteigend geordnet und jedem Platz eine Rangzahl zugeordnet. Für Berechnung werden nur Rangzahlen benötigt. Stimmen mehrere Merkmaleswerte überein, wird das arith. Mittel der Rangzahlen gebildet.

84 Beschreibende Statistik 84 ©JB Beispiel 1

85 Beschreibende Statistik 85 ©JB Beispiel 1

86 Beschreibende Statistik 86 ©JB Beispiel 2

87 Beschreibende Statistik 87 ©JB Beispiel 2

88 Beschreibende Statistik 88 ©JB Beispiel Kontingenztabellen

89 Beschreibende Statistik 89 ©JB Mittlere quadratische Kontingenz

90 Beschreibende Statistik 90 ©JB Mittlere quadratische Kontingenz

91 Beschreibende Statistik 91 ©JB Vierfelderkorrelation

92 Beschreibende Statistik 92 ©JB Korrigierter Vierfelderkoeffizient


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