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Geometrische Optik 1. Grundlagen Licht elektromagnetische Welle ( Elektrodynamik ) Elektrisches FeldMagnetisches Feld Gegenseitige periodische Anregung.

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1 Geometrische Optik 1. Grundlagen Licht elektromagnetische Welle ( Elektrodynamik ) Elektrisches FeldMagnetisches Feld Gegenseitige periodische Anregung Def.: Polarisationsrichtung Ausbreitungsrichtung im Vakuum: Vakuum-Dispersionsrelation: Vakuum-Lichtgeschwindigkeit: Im isotropen Medium: Brechungsindex nicht-ferromagnetische Stoffe:

2 Näherung ( geometrische Optik ) Lichtstrahlen Wellenlänge Objektgrößen ( Blenden, Löcher, Aperturgrenzen,... ) Wellennatur unerheblich ( Beugung, Interferenz unwichtig ) nur Ausbreitungsrichtung und ggf. Polarisation relevant Def.: Strahlenbündel durch Blenden (Aperturen) berandete Lichtwelle Def.: Lichtstrahl Ausbreitungsrichtung Isotrope Medien Normale auf Wellenfront Strahlen Phasenflächen Annahme: keine Absorption lineare Superposition von Strahlen

3 Beispiel: Beugung einer ebenen Lichtwelle am Spalt L >> x Ebene Welle k x erstes Beugungs- Minimum Blende paralleles Strahlenbündel Beugungseffekte klein jedoch für : Kugelwelle Fresnel- Zahl !

4 Lichtstrahlen in isotropen, inhomogenen Medien Fermatsches Prinzip: Lichtstrahlen zwischen zwei Punkten A und B durchlaufen Wege kürzester Zeit ( bzgl. benachbarter Wege ) A B W min W min W optische Weglänge bzw. Eikonal L Fermatsches Prinzip Folgerung: Lichtwege sind umkehrbar.

5 minimal kürzeste Verbindung von A und B Spezialfall: Ausbreitung im homogenen Medium, n const. n·Weglänge Lichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium geradlinig aus Anwendungen: Fata Morgana heiße Straße n Gradientenlichtleiter n n Isochronen n

6 2. Reflexion und Brechung z x y 0 x0x0 x1x1 x2x2 A B 1 2 n1n1 n2n Reflexion x y z A ( x1, 0, z1 )( x1, 0, z1 ) ( x0, y0, 0 )( x0, y0, 0 ) ( x2, 0, z2 )( x2, 0, z2 ) B Grenzfläche zwischen zwei Medien n1n1 n2n2 Strahlebene Grenzfläche Reflexionsgesetz ( Einfallswinkel Ausfallswinkel ) Reflexionsgesetz ( Einfallswinkel Ausfallswinkel ) Tafelrechnung

7 Anwendungen: Lichtumlenkung durch Winkelspiegel (Umlenkwinkel unabhängig von Orientierung der Spiegelsysteme) Umkehr Parallelverschiebung Ablenkung Passive Lichtumkehr ( 3-D ) Katzenauge ( Verkehrsschilder,... ) Laserreflexion von Mondoberfläche...

8 2.2. Brechung analog zur Reflexion Strahlebene Grenzfläche z x y 0 x0x0 x1x1 x2x2 A B 1 2 n1n1 n 2 ( n 1 ) reflektierter Teilstrahl Brechungsgesetz ( Snellius ) n 1 sin n 2 sin Brechungsgesetz ( Snellius ) n 1 sin n 2 sin Tafelrechnung

9 Anwendung: Totalreflexion ( beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium ) Grenzwinkel 2 G bei sin Einfallswinkel G Totalreflexion Beispiel: Luft n 1 1 Wasser n 2 1,33 G z x y 0 1 ´ 2 n1n1 2 2 G n 2 ( n 1 ) reflektierter Strahl n 1 sin n 2 sin

10 3. Die optische Abbildung optisches System Reflexionen Brechungen Blenden ( Apertur ) A Objektpunkt B Bildpunkt ideale, d.h. scharfe Abbildung Fermat a) alle Strahlen (A B) haben gleiche Laufzeit sind isochron b) Objekt- und Bildpunkt sind austauschbar (Lichtweg umkehrbar) B F Brennpunkt ( focal point ) Spezialfall: A parallele Strahlen optisches System Reflexionen Brechungen Blenden ( Apertur )

11 Fallunterscheidung: A B reelles Bild darstellbar auf Bildschirm virtuelles Bild A B nur darstellbar mit zweitem abbildenden System ( z.B. Auge )

12 A Beispiele: a) Ebener Spiegel: Spiegel A virtuelles Bild aufrecht Abbildungs-Maßstab 1 1 Der ebene Spiegel ist das einzige optische System, das jeden Raumpunkt P ideal in einen Raumpunkt P abbildet.

13 b)Elliptischer Spiegel: Spiegel Der elliptische Spiegel bildet die Brennpunkte ( und nur die Brennpunkte ) ineinander ab. Brennpunkt Spezialfall: Kugelspiegel Selbstabbildung des Mittelpunkts

14 c)Lochkamera: Schirm / Film a b d P P d Näherungsabbildung, Unschärfe d invertiertes Bild Abbildungsmaßstab b a große Schärfe Loch d klein große Tiefenschärfe kleine Lichtstärke Bildfleck: Optimum: abhängig von Wellenlänge! Beugungsfleck: Grenze der geometrischen Optik

15 D f d)Berechnung von Oberfächenformen ( Linsen ): Zielsystem: F x y Realisierung: F x y n ( x, y )( x, y ) L const. ( 1 )( 1 ) ( 2 )( 2 ) ( Hyperbel ) Übung x y xMxM a

16 D f F x y n Bemerkung: x(y) nur für diesen einen Strahlengang (achsparallele Strahlen) korrekt sonst Abbildungsfehler Vereinfachte Herstellung: sphärischer Schliff gute Näherung für Wölbungsdicke f x y xMxM a Gute Abbildung für dünne Linsen und achsnahe Strahlen

17 4. Elementare optische Bausteine 4.1. Hohlspiegel a)Achsparallele Srahlen: y x f s1s1 s2s2 ( x, y )( x, y ) Fermat Parabolspiegel z.B. für Astronomie, Autoscheinwerfer etc. Bemerkung: x(y) nur für diesen einen (achsparallelen) Strahlengang korrekt sonst Abbildungsfehler Vereinfachte Herstellung: sphärische Hohlspiegel gute Näherung für achsnahe Strahlen

18 . Sphärische Hohlspiegel: f M F R h R / 2R / 2 achsnahe Strahlen: Brennweite des Hohlspiegels achsferne Strahlen: sphärische Aberration Grenzfall:

19 R b)Punkt-zu-Punkt-Abbildung achsnaher Strahlen: b M g h A B S Außenwinkel ASM Außenwinkel MSB Rechnung bis O(h): Abbildungsgleichung: g:Gegenstandsweite b:Bildweite f:Brennweite 0 vor dem Spiegel 0 hinter dem Spiegel gilt auch für Punkte jenseits (aber nahe) der optischen Achse

20 B c)Abbildung eines Gegenstandes: b M g F G geometrische Konstruktion: Parallelstrahl Brennpunkt Mittelpunktstrahl Selbstreflexion Brennpunktstrahl Parallelstrahl Strahlensatz g R R b Abbildungsmaßstab:

21 Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen) : 1)g R 2f : Bild reell ( f b R 2f ) invertiert ( B G 0 ) verkleinert ( B G 1 ) B M G F

22 2)R g f : Bild reell ( b R 2f ) invertiert ( B G 0 ) vergrößert ( B G 1 ) Strahlengang von Fall 1) invertiert B M F G Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen) :

23 3)f g 0 : Bild virtuell ( b 0 ) aufrecht ( B G 0 ) vergrößert ( B G 1 ) B M F G Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen) :

24 Umkehrung des Strahlengangs in 3) Konkavspiegel 4)g 0 : Bild virtuell ( f b 0 ) aufrecht ( B G 0 ) verkleinert ( B G 1 ) M F G F hinter Spiegel f 0 B hinter Spiegel b 0 G vor Spiegel g 0 F hinter Spiegel f 0 B hinter Spiegel b 0 G vor Spiegel g 0 B universell mit obiger Vorzeichenkonvention

25 4.2. Prismen n C A B Strahlablenkung Farbaufspaltung durch Dispersion ( Spektrographie ) Ablenkwinkel : A,B,C : Bemerkung: Bemerkung: Umkehrbarkeit des Lichtweges

26 n Spezialfall: symmetrischer Strahlengang Snellius Beweis:Symmetrie Messung von min Bemerkung: Symmetrie Extremum ( genauer: Minimum )

27 Farbaufspaltung (bei minimaler Ablenkung): n weiß rot grün blau aus mikroskopischen Modellen (klassisch bzw. quantenmechanisch) Normale Dispersion: (durchsichtige Medien, fern von Absorption) (sonst: anomale Dispersion) also:

28 4.3. Linsen Brechung an sphärischen Flächen Licht R f b f b Licht R f b f b sphärische Fläche Grundelement der sphärischen Linse Vorzeichenkonvention:

29 Abbildungsgleichung für achsnahe Strahlen: Rechnung bis O h : Außenwinkel APM Außenwinkel BPM Snellius n1n1 n 2 n 1 M R A g B b P (Analog: n 2 n 1 divergierende Strahlen virtuelles Bild)

30 Brennweiten: g f 2 b b f 1 g äquivalente Formulierungen der Abbildungsgleichung:

31 Dünne Linsen Dünne Linse 2 sphärische Grenzflächen; Dicke D Brennweiten A ( g ) linke Fläche ( R 1 ) à ( ): R 2 n1n1 n2n2 M1M1 R 1 A g B b M2M2 D 0 nach à Abbildungsgleichung à ( ) rechte Fläche ( R 2 ) B ( b ):

32 Interpretation von f: f (beidseitige) Brennweite Linsenumkehr Lichtumkehr f Linsen-Eigenschaft f invariant Definition: Die Größe 1/f heißt Brechkraft. Beispiel: n 1 n 2,5 R 1 m R 2 m f m R 1 0 R 2 0 1/f 0 Sammellinse R 1 0 R 2 0 1/f 0 Zerstreuungslinse Abbildungsgleichung

33 Typen von Grenzflächen: Licht konvex R konkav R plan R Licht bikonkav R 1 R plankonkav R 1 R 2 konvexkonkav R 1 R 2 konkav f 0 Linsentypen: Licht bikonvex R 1 R plankonvex R 1 R 2 konkavkonvex R 1 R 2 konvex f 0 Bi-LinsenPlan-LinsenMenisken-L.

34 b B Abbildung durch dünne Linsen D Parallelversetzung 0 für D 0 Sammellinse G F F g ff Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl reelles Bild

35 b B Zerstreuungslinse G F F g f f Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl Verwende rückwärtige Brennpunkte virtuelles Bild

36 Strahlensatz Abbildungsmaßstab Newtonsche Abbildungsgleichung b B Sammellinse G F F g ff Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl x x

37 x x f B G eins-zu-eins-Abbildung Abstand Quelle-Schirm g b fest, verschiebe Linse 2 Stellungen mit scharfem Bild: x, x x, x Brennweitenmessung ohne absolute Linsenposition b B Sammellinse G F F g ff Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl x x

38 b B Sammellinse G F F g ff Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl x x

39 b B Zerstreuungslinse G F F g f f Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl aufrechtes, verkleinertes, virtuelles Bild 0 b f

40 Tangente 5. Matrixmethoden der geometrischen Optik 5.1. Definitionen s Entfernung entlang Referenzstrahl Referenzstrahl Sollbahn optische Achse x, y transversale Abweichungen eines Lichtstrahls vom Referenzstrahl s y 0 s0s0 Hier: Betrachte nur eine transversale Projektion y. Annahme: x und y Lichtaus- breitung sind voneinanander unabhängig (entkoppelt). Vollständige Beschreibung des Strahls:Zustandsvektor s 0 beliebig Transferabbildung:

41 Transferabbildung eines optischen Systems: s y 0 sese sasa Definition des Referenzstrahls :

42 Taylorentwicklung für achsnahe Strahlen: a 11 linearisierte Transfergleichung Transfermatrix i.a. eine Transfermatrix pro transversale Projektion falls x, y nicht entkoppelt Formalismus mit 4 4-Transfermatrizen und 4-komponentigen Zustandsvektoren ( x, x, y, y ) 0 0 a 12 a 21 a 22

43 5.2. Spezielle Transfermatrizen a)Lichtausbreitung im homogenen, isotropen Medium (Driftstrecke): s y 0 sese sasa yeye yaya d

44 b)Durchgang durch brechende Ebene: s y 0 sese sasa yeye yaya e n1n1 n2n2 Snellius

45 c)Durchgang durch sphärische Grenzfläche: s y 0 sese sasa n1n1 n2n

46 5.3. Folge optischer Systeme Matrixmultiplikation Allgemein: s y 0 s0s0 s1s1 s2s2 System 1 System 2 M1M1 M2M2 M tot

47 Beispiele: a)Dünne Linse: s y 0 R2R2 R1R1 n1n1 n2n2 1 / f1 / f

48 b)Dünne Linse Driftstrecke: s y 0 f sese sasa d Folgerung: d rechtsseitige Brennweite falls gilt: für alle y e d.h. gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

49 c)Driftstrecke dünne Linse: s y 0 f sasa sese d Folgerung: d linksseitige Brennweite falls gilt: für alle d.h. gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

50 s y 0 f sasa sese d Bemerkung: für alle s y 0 f F Beliebig orientierte parallele Strahlen werden in die Brennebene abgebildet (Punkt-Winkel-Abbildung) Folgerung: Strahlengang-Konstruktion für beliebige Strahlen F Brennebene parallelverschobener Mittelpunktstrahl

51 d)Abbildung durch dünne Linsen: s y 0 f F F G B f g b M b M f MgMg Scharfe Abbildung y a f y e unabhängig von a 12 0 (Abbildungsgleichung) Dann folgt:

52 5.4. Phasenraum einer Strahlenmenge Alternative Definition: Zustandsvektor Transfer Folge: Wegen det A B det A det B gilt dies auch für beliebige Kombinationen Vorsicht: Werden Spiegelungen auch zugelassen, gilt nur Optisches System nene nana nn Folge: Driftstrecken, brechende Flächen, Linsen erfüllen alle

53 so what? Theorem von Liouville: Die Strahlenmenge nimmt in der ( y, n y )- Ebene, dem sogenannten Phasenraum, für alle s die gleiche Fläche ein: Beweis: Funktional- Determinante

54 Beispiel: Fast paralleles Strahlenbündel s1s1 s2s2 s3s3 f F n 1 y y s1s1 Scherung s2s2 s3s3 Ellipsenfläche konstant Varianzen und Kovarianzen: s s 1 maxmin0 unkorreliert s 2 maxmax 0 maximal negativ korreliert s 3 minmax0 unkorreliert

55 Konsequenzen: Kein Strahlenbündel ist perfekt parallel kein Brennpunkt ist perfekt f s F Strahleinhüllende Strahltaille vor dem Brennpunkt Stochastische Prozesse (diffuse Streuung,...) vergrößern d 2 d 2 -Verkleinerung erfordert Einspeisung von Information Beispiel: Stochastische Kühlung von Antiprotonstrahlen (S. van der Meer, Nobelpreis 1983)

56 Strahlform: i.a. gaußförmig, z.B. 0 Gauß- Verteilung bleibt bei linearer Transferfunktion gaußförmig beschreibbar durch Breiten, d.h. (Ko-)Varianzen -Matrix: Mittelung über alle Strahlen des Bündels räumliche Breite Winkeldivergenz Korrelationsgrad

57 0 Gauß- Verteilung Transfer ( n a n e ): gaußsche Fehlerfortpflanzung Folge ( n a n e ): 1 1 Emittanz Phasenraumvolumen

58 h2h2 6. Dicke Linsen, Linsensysteme, Hauptebenen 6.1. Das Hauptebenenkonzept Idee:Ersetze optisches System durch ein anderes (einfache Brechung ( f ) an zwei Hauptebenen (H 1, H 2 )) mit gleicher Transfermatrix (aber i.a. unterschiedlichem Strahlengang innerhalb des Systems) s FBFB f FAFA h1h1 f f Systembrennweite H2H2 H1H1 Konstruktionsvorschrift: Driftstrecke bis H 1 Strahlübertragung nach H 2 Brechung an dünner Linse Driftstrecke bis Systemende

59 h2h2 s FBFB f FAFA h1h1 f H2H2 H1H1 Eindeutige Lösung:

60 6.2. System aus zwei Linsen s f1f1 f2f2 d Nahe Linsen (d 0): wie Einzellinse Additionstheorem für n nahe Linsen:

61 6.3. Dicke Linsen h2h2 s f h1h1 G B n1n1 n1n1 FBFB n2n2 f FAFA d H1H1 H2H2 R1R1 R2R2

62 h2h2 s f h1h1 G B n1n1 n1n1 FBFB n2n2 f FAFA d H1H1 H2H2 R1R1 R2R2 Vereinbarung: Messe g, b von H 1, H 2 aus b g Vereinbarung + Konstruktion Korrektur zur dünnen Linse

63 7. Linsenfehler achsferne Strahlen Strahlbündel asymmetrisch zur Achse nicht-monochromatischer Strahl 7.1. Chromatischer Aberration n n : Glas hat normale Dispersion, d.h. n f chromatische Aberration f rot blau Linse: Achromat: Linsensystem mit df /d bei einer mittleren Wellenlänge. Erfordert Kombination von mehreren Linsen unterschiedlichen Materials. kein perfekter Brennpunkt

64 Konstruktion eines zweilinsigen Achromats: n1n1 n2n2 f1f1 f2f2 geklebt 1 2 Zielbrennweite f vorgegeben bestimme f 1 und f 2 aus und. 12

65 Abhilfen: Blenden gegen achsferne Strahlen Verringerung der Lichtstärke besser als ; generell ex. optimale sphärische Form Kombinationen Sammel- / Streulinsen sphärische Korrektur nicht-sphärische Linsen aus gepresstem Kunststoff ( Acrylglas ) 7.2. Sphärische Aberration Sphärische Oberflächen kein perfekter Brennpunkt, nicht einmal für achsparallele Strahlen sphärische Aberration monochromatisch f Bildform Sphärische Aberration bei schrägem Einfall: Koma Koma Bildform

66 7.3. Astigmatismus unterschiedliche Brechkraft in x- und y-Richtg. Extremfall: Zylinderlinse ( Korrekturlinse für astigmatische Systeme ) s A B Bildlinie Abbildung durch astigmatische Linse: s x y Bemerkung:Stark unterschiedliche Einfallswinkel in x und y Astigmatismus durch sphärische Aberration auch bei perfekter (sphärischer) Linse

67 7.4. Bildfeldwölbung und Verzeichnung Sphärische Aberration Ebenen werden in gewölbte Flächen abgebildet s G B Bildfeldwölbung Bild in Brennebene Randunschärfe Abblenden Verzeichnung tonnenförmigekissenförmige

68 Entstehung der Verzeichnung: s Ideale Bildebene für achsnahe Strahlen Verzeichnung mit Kissenform Blende

69 Ideale Bildebene für achsnahe Strahlen Entstehung der Verzeichnung: s Verzeichnung mit Tonnenform Blende

70 8. Optische Instrumente Aufgaben: Bilderzeugung: Kamera, Diaprojektor, … Vergrößerter Sehwinkel: Lupe, Mikroskop, Fernrohr,... Definition: Winkelvergrößerung Sehwinkel mit Instrument Sehwinkel mit bloßem Auge Definition: Deutliche Sehweite (ermüdungsfreie Akkomo- dation des Auges) Auflösung des Auges bei s 0 : Kleinste sichtbare Objektgröße bei s 0 : Wirkung eines Instruments:

71 g f G 8.1. Die Lupe s Lupe ( f ) akkomodiertes Auge F F B b aufrechtes, vergrößertes virtuelles Bild relles Bild auf Netzhaut entspanntes Auge: s 0 -akkomodiert:

72 G G f1f Das Mikroskop s Okular F1F1 virtuelles Bild in G Linse vergrößertes Zwischenbild Lupe Auge F1F1 Objektiv F2F2 F2F2 f2f2 Tubuslänge g f 1 entspanntes Auge

73 h 8.3. Das Fernrohr 2 Linsen im Abstand d f 1 f 2 teleskopisches System Parallelstrahlen Parallelstrahlen a)Astronomisches ( Keplersches ) Fernrohr: f 1, f 2 0 Okular ( f 2 f oku )Objektiv ( f 1 f obj ) s Zwischen- bild entspanntes Auge Aperturblende Lichtstärke Gesichtsfeldblende scharfe Bildfeldbegrenzung Bild invertiert Umkehrprisma für terrestrischen Einsatz Tubuslänge f obj ist i.a. sehr groß

74 b)Holländisches ( Galileisches ) Fernrohr: f 1 0, f 2 0 s Objektiv ( f 1 f obj ) entspanntes Auge Okular ( f 2 f oku ) aufrechtes Bild kompaktere Bauweise c)Weiter Systeme Spiegelteleskope Feldstecher... sehr kompakt

75 gleichmäßige Ausleuchtung scharfes Bild der Glühwendel 8.4. Der Diaprojektor Kondensor Durchmesser groß Brennweite klein Projektions- Leinwand Objektiv Halogenlampe Hohlspiegel Bildbühne mit Diapositiv scharfes, invertiertes Bild des Diapositivs

76 Durchmesser d 8.5. Lichtstärke optischer Instrumente Beispiel: Abbildung durch Linse (Kamera) Linse ( f ) Objekt Blende Eintrittspupille Filmebene Abstand 0 Bild (Größe B) Bild der Blende Austrittspupille Einfallende Lichtmenge d 2 Lichtmenge pro Filmfläche Folge: Belichtungszeit 2 Blendenzahl Blende 1 1,4 2 2,8 4 5, ,50,25 z. B. B f Licht pro Film Def.: Blendenzahl

77 z 9. Der Regenbogen Regentropfen, n 1,33 parallele Lichtstrahlen von der Sonne x R Beobachtungsebene Sonne-Tropfen-Auge Ablenkwinkel

78 z R Sonnenstrahlen (gleichverteilt in z) divergierende Lichtstrahldichte Kaustik Regenbogen bei 42 const.

79 Regenbogen unter 42 Sonne im Rücken Höhe des Regenbogens hängt vom Sonnenstand ab normale Dispersion (Wasser) Rot außen, Blau innen im Prinzip beliebig viele weitere Kaustiken bei 2, 3, 4,... Reflexionen einzig sichtbare weitere Kaustik: 2 Reflexionen Nebenregenbogen bei 51, umgekehrte Farbfolge zwischen Haupt- und Nebenregenbogen: Dunkelzone Licht vom Regenbogen ist charakteristisch polarisiert ( beim Fotografieren: Effektverstärkung mit Polarisationsfiltern)

80 Monte-Carlo-Simulation des Regenbogens auf dem Computer: a)Würfle mit Zufallszahlengenerator gleichverteilt gleichverteilte Zufallszahl b)Würfle mit Zufallszahlengenerator Polarisation des Lichtstrahls zerlege das unpolarisierte Licht von der Sonne in linear polarisierte Strahlen, 50% parallel, 50% senkrecht zur Beobachtungsebene ( Physik 3 ) gleichverteilte Zufallszahl c)Berechne die Winkel und und mit Fresnel-Formeln ( Physik 3 ) die transmittierte und die reflektierte Strahlintensität. Fülle Histogramme für alle möglichen Strahlwege, jeweils gewichtet mit der Strahlintensität, bis die Gewichte sicher zu vernachlässigen sind ( d.h. Strahlintensität ) Wiederhole a), b), c) für sehr viele ( z.B ) Strahlen

81

82 Hauptregenbogen Nebenregenbogen Dunkelzone Nebenregenbogen 5. Ordnung ( 5 Reflexionen )


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