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Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Eigenschaften von Primzahlen.

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1 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Eigenschaften von Primzahlen

2 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Der Satz von Tamás Dénes Corollary Für alle Primzahlen p > 3 gilt: p = 6k + 1, oder p = 6k – 1, wobei k N.

3 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Der Satz von Tamás Dénes Beweis Die Zahlen: 6k + 0, sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 1, haben den Form der Corollary. Die Zahlen: 6k + 2, sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 3 = 3(2k + 1), sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 4, sind zusammengesetzte Zahlen. Die Zahlen: 6k + 5 = 6(k + 1) – 1, haben den Form der Corollary. Die Zahlen: 6k + 6, sind zusammengesetzte Zahlen. Q.E.D.

4 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Der Satz von Tamás Dénes Beispiel k6k+06k+16k+26k+36k+46(k+1)-1 0012345 167891011 2121314151617 3181920212223 4242526272829 5303132333435 6363738394041 7424344454647 8484950515253 9545556575859 10606162636465

5 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Satz Der Satz von Tamás Dénes Zahlen in der Form n = 6k + 1 sind dann und nur dann zusammengesetzte Zahlen, wenn: k = 6uv + u + v, oder k = 6uv – u – v, und Zahlen in der Form n = 6k – 1 sind dann und nur dann zusammengesetzte Zahlen, wenn: k = 6uv – u + v, oder k = 6uv + u – v, wobei u und v N.

6 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Der Satz von Tamás Dénes Corollary Zusammengesetzte Zahlen mit dem Primfaktor 3 sind durch 3 dividierbar, und haben nicht die Form: 6k ± 1. Zusammengesetzte Zahlen mit dem Primfaktor 2 und/oder 3 haben nicht die Form: 6k ± 1, wobei k N. Zusammengesetzte Zahlen mit dem Primfaktor 2, sind gerade Zahlen, und haben nicht die Form: 6k ± 1. Beweis Q.E.D.

7 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Der Satz von Tamás Dénes Beweis Die kleinste Primzahlen in der Form 6k ± 1: p 1 = 5; p 2 = 7 ; n 1 = p 1 * p 1 = 5*5 = 25 = 6*4 + 1 = 6k 1 + 1, mit k 1 = 4; n 2 = p 1 * p 2 = 5*7 = 35 = 6*6 – 1 = 6k 2 – 1, mit k 2 = 6; n 3 = p 2 * p 2 = 7*7 = 49 = 6*8 + 1 = 6k 3 + 1, mit k 3 = 8. Die Konstanten k: k 1 = 4 = 6uv – u – v, mit u = 1; v = 1; k 2 = 6 = 6uv + u – v, mit u = 1; v = 1; k 3 = 8 = 6uv + u + v, mit u = 1; v = 1. Start der vollständigen Induktion:

8 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Der Satz von Tamás Dénes Gegeben seien zwei Primzahlen in der Form 6u ± 1 und 6v ± 1, wobei u und v N. Es existieren vier Möglich- keiten davon zusammengesetzte Zahlen zu konstruieren : Der Induktionsschritt: Q.E.D. (6u + 1)(6v + 1) = 36uv + 6u + 6v +1 = 6 (6uv + u + v) + 1 (6u + 1)(6v – 1) = 36uv – 6u + 6v +1 = 6 (6uv – u + v) – 1 (6u – 1)(6v + 1) = 36uv + 6u – 6v +1 = 6 (6uv + u – v) – 1 (6u – 1)(6v – 1) = 36uv – 6u – 6v +1 = 6 (6uv – u – v) + 1 Die zusammengesetzten Zahlen haben wieder die Form 6k ± 1. Diese werden nochmals mit einer Primzahl in der Form 6k ± 1 multipliziert, usw.

9 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Der Satz von Tamás Dénes Satz n N, und n 2, die nicht in der Form 6k + 1 oder 6k – 1 (k N) darstellbar sind, haben die Primfaktoren 2 oder 3 oder beide. n N, deren sämtliche Primfaktoren p 5 sind, inklusive der Primzahlen selbst, haben die Form 6k + 1 oder 6k – 1, k N.

10 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Complemetary Prime Sive (C.P.S) Zahlen, die Primfaktoren 2 und/oder 3 haben

11 Dr. László Hinsenkamp 4. Workshop. Mathematik für Ingenieure. Bremen, den 20.10.2005 Complemetary Prime Sive (C.P.S)

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