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Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana.

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1 Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

2 Königsberger Brückenproblem
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

3 Was ist ein Graph? Ecken= vertices Kanten= V edges E Im Jahre 1736
Leonhard Euler löste das Problem allgemein und begründete damit die Graphentheorie Jede Kante verläuft von Ecke zu Ecke. Ein Graph besteht aus einer Eckenmenge und einer Kantenmenge Ecken= vertices Kanten= edges V E Mindestens eine Ecke Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

4 Gundbegriffe Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten.
Die Adjazenz-Matrix gibt an, durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind. Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

5 Eulersche Begriffe In einem Eulerschen Weg kommt
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Kanten, die zu ihrer Startecke zurückkehren, heißen Schlingen. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

6 Eulersche Begriffe In einem Eulerschen Weg kommt
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

7 Eulers Lösung: Eulerscher Satz: Einen Eulerschen
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Im Königs-berg-Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

8 Das Haus des Nikolaus In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

9 Das Haus des Nikolaus In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Eulerscher Satz: Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

10 Graphen in unserer Welt
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

11 Graphen in unserer Welt
Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

12 Graphen in unserer Welt
Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

13 Routenplaner und Graphen
Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

14 Routenplaner und Graphen
Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Die Bewertung kann Entfernung, Zeit, Kosten .... bedeuten. Erstmal leichtere Probleme: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

15 Stadtplanung und Graphen
Für das Stadt- bauamt kann die Bewertung Baukosten bedeuten. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

16 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll greedy=gierig Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

17 Optimierung und Graphen
Nicht nehmen, sonst wird es ein Kreis. Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Eine Kante davon wählen. Greedy-Algorithmus Protokoll Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

18 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein „minimaler Spannbaum“ Greedy-Algorithmus Protokoll Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

19 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein „minimaler Spannbaum“ Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

20 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Selber machen Protokoll Übrigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

21 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

22 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

23 Graphen- Theorie ist eins der spannendsten und dynamischsten
mathematischen Themen zur Zeit. Zwei Mathematiker greifen die Idee von „Sofies Welt“ auf……. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

24 Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein.
Kürzeste-Wege-Bäume Das ist das Routenplaner- Problem. Es ist schwieriger zu lösen. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Fertige Ecken: A Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein. Aktive Ecke: A Unfertige Ecken: Unbetretene Ecken Ecken: B C D E F G H I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

25 Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein.
Kürzeste-Wege-Bäume Das ist das Routenplaner- Problem. Es ist schwieriger zu lösen. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Fertige Ecken: A Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein. Aktive Ecke: A Unfertige Ecken: Unbetretene Ecken Ecken: B C D E F G H I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

26 Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
Kürzeste-Wege-Bäume Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Fertige Ecken: A Aktive Ecke wird: B Unfertige Ecken: B1A, E9A, D2A, Unbetretene Ecken Ecken: C F G H I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

27 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die aktive Ecke ist fertig. Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Fertige Ecken: A, B1A, Aktive Ecke wird: D Unfertige Ecken: E9A, E8B, D2A, C7B, Unbetretene Ecken Ecken: F G H I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

28 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, Aktive Ecke wird: H Unfertige Ecken: E9A, E8B, C7B, E7D, H5D, Unbetretene Ecken Ecken: F G I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

29 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D Aktive Ecke wird: E Unfertige Ecken: E9A, E8B, C7B, E7D, E6H, I9H Unbetretene Ecken Ecken: F G Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

30 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die aktive Ecke ist fertig. Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H Aktive Ecke wird: C Unfertige Ecken: C7B, I9H, I8E, F11E Unbetretene Ecken Ecken: G Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

31 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B Aktive Ecke wird: I Unfertige Ecken: I9H, I8E, F11E, F9C, G13 C, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Unbetretene Ecken Ecken: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

32 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E Aktive Ecke wird: F Unfertige Ecken: F11E, F9C, G13 C, G12I, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Unbetretene Ecken Ecken: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

33 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F Aktive Ecke wird: G Unfertige Ecken: G13 C, G12I, G10F Die letzte aktive Ecke ist fertig. Unbetretene Ecken Ecken: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

34 Kürzeste-Wege-Bäume Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum.
Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

35 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Es wird gelöst vom Dijkstra-Algorithmus. Interaktive Version an der TU München Dies ist Aufgabenblatt 6 bei der TUM Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

36 Logistik Modellierung des Problems mit Graphen
Bewertung des Graphen mit Fahrzeiten oder Fahrkosten Streckenlänge…. Lösung des Kürzeste-Wege-Problems Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

37 Landkarten färben Modellierung des Problems mit Graphen:
Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Länder verschieden gefärbt sein sollen? Modellierung des Problems mit Graphen: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

38 Landkarten färben mit Graphentheorie
Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

39 Landkarten färben mit Graphentheorie
Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Vier-Farben-Satz Es reichen immer vier Farben Erst 1976 mit Computereinsatz bewiesen (Appel, Haken) Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

40 Eckenfärbung von Graphen
Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

41 Eckenfärbung von Graphen
Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

42 Eckenfärbung von Graphen
Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

43 Mobilfunk-Konfliktgraphen
Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

44 Mobilfunk-Konfliktgraphen
Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

45 Konflikt-Graphen Die Verkehrsströme werden Ecken.
Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

46 Konflikt-Graphen Die Verkehrsströme werden Ecken.
Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

47 Konflikt-Graphen Adjazenzmatrix dazu
Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig „Grün“ an ihrer Ampel haben. Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

48 Konflikt-Graphen Adjazenzmatrix dazu
Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig „Grün“ an ihrer Ampel haben. Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

49 Graphentheorie in Büchern
Kombinatorische Optimierung erleben: Im Studium und Unterricht Stephan Hußmann (Autor), Brigitte Lutz-Westphal (Autor) Manfred Nitzsche Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

50 Fuzzy-Logik „weiche Logik“
Bereich Algebra, Logik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

51 Knotentheorie Zöpfe Bereich Knotentheorie, moodle Kap. 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

52 Fraktale, Chaostheorie
Bereich Fraktale Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

53 Fraktale, Chaostheorie
Bereich Fraktale Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

54 Fraktale, Chaostheorie
Bereich Fraktale, moodle Kap.10 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012


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