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1 Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012 Gibt es in Königsberg einen Spaziergang,

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Präsentation zum Thema: "1 Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012 Gibt es in Königsberg einen Spaziergang,"—  Präsentation transkript:

1 1 Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?

2 2 Königsberger Brückenproblem Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein

3 3 Was ist ein Graph? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein und begründete damit die Graphentheorie Ein Graph besteht aus einer Eckenmenge und einer Kantenmenge Jede Kante verläuft von Ecke zu Ecke. Ecken= vertices Kanten= edges V E Mindestens eine Ecke

4 4 Gundbegriffe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Adjazenz-Matrix gibt an, durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind. Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten.

5 5 Eulersche Begriffe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. Kanten, die zu ihrer Startecke zurückkehren, heißen Schlingen.

6 6 Eulersche Begriffe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis.

7 7 Eulers Lösung: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Im Königs- berg- Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis.

8 8 Das Haus des Nikolaus Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.

9 9 Das Haus des Nikolaus Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eulerscher Satz: Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben. In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.

10 10 Graphen in unserer Welt Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2012

11 11 Graphen in unserer Welt Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielen bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.

12 12 Routenplaner und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen

13 13 Routenplaner und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Die Bewertung kann Entfernung, Zeit, Kosten.... bedeuten. Erstmal leichtere Probleme:

14 14 Stadtplanung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, die Bewertung Baukosten bedeuten. Für das Stadt- bauamt kann

15 15 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll greedy=gierig

16 16 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Eine Kante davon wählen. Nicht nehmen, sonst wird es ein Kreis. Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll

17 17 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Protokoll Greedy-Algorithmus Entstanden ist ein minimaler Spannbaum

18 18 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise. Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein minimaler Spannbaum

19 19 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Übrigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg? Markiere die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll Selber machen

20 20 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Markiere die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll

21 21 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Markiere die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll

22 22 Graphen- Theorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, ist eins der spannendsten und dynamischsten mathematischen Themen zur Zeit. Zwei Mathematiker greifen die Idee von Sofies Welt auf…….

23 23 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen einen kürzesten Weg von A aus zu allen anderen Ecken Fertige Ecken: A Unfertige Ecken: Unbetretene Ecken Ecken: B C D E F G H I Der Wert einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke: A Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein. Es ist schwieriger zu lösen als das Spannbaum-Problem.

24 24 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Wir beschriften die Ecken mit ihren Entfernungen von A. Achte auf die Grundidee Bei kleinen Graphen findet man eine Lösung durch Hinsehen. Klausurfrage! Es ist schwieriger zu lösen als das Spannbaum-Problem.

25 25 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgänger- Kante. Fertige Ecken: A Unfertige Ecken: B1 A, E9 A, D2 A, Unbetretene Ecken Ecken: C F G H I Aktive Ecke wird: B Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.

26 26 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A, B1 A, Unfertige Ecken: E9 A, E8 B, D2 A, C7 B, Unbetretene Ecken Ecken: F G H I Aktive Ecke wird: D Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgänger- Kante.

27 27 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, Unfertige Ecken: E9 A, E8 B, C7 B, E7 D, H5 D, Unbetretene Ecken Ecken: F G I Der Wert einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: H Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgänger- Kante.

28 28 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D Unfertige Ecken: E9 A, E8 B, C7 B, E7 D, E6 H, I9 H Unbetretene Ecken Ecken: F G Aktive Ecke wird: E Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgänger- Kante.

29 29 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H Unfertige Ecken: C7 B, I9 H, I8 E, F11 E Unbetretene Ecken Ecken: G Der Wert einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: C Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgänger- Kante.

30 30 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B Unfertige Ecken: I9 H, I8 E, F11 E, F9 C, G13 C, Unbetretene Ecken Ecken: Aktive Ecke wird: I Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgänger- Kante.

31 31 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E Unfertige Ecken: F11 E, F9 C, G13 C, G12 I, Unbetretene Ecken Ecken: Aktive Ecke wird: F Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgänger- Kante.

32 32 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E, F9 C, G10 F Unfertige Ecken: G13 C, G12 I, G10 F Unbetretene Ecken Ecken: Aktive Ecke wird: G Die aktive Ecke ist fertig. Die letzte aktive Ecke ist fertig.

33 33 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E, F9 C, G10 F Der Wert einer Ecke ist seine Entfernung von A. Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum.

34 34 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Es wird gelöst vom Dijkstra-Algorithmus. Interaktive Version an der TU München Dies ist Aufgabenblatt 6 bei der TUM

35 35 Logistik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Modellierung des Problems mit Graphen 2.Bewertung des Graphen mit 1.Fahrzeiten oder 2.Fahrkosten 3.Streckenlänge…. Lösung des Kürzeste-Wege- Problems

36 36 Landkarten färben Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Länder verschieden gefärbt sein sollen? Modellierung des Problems mit Graphen:

37 37 Landkarten färben mit Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen?

38 38 Landkarten färben mit Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Vier-Farben-Satz Es reichen immer vier Farben Erst 1976 mit Computereinsatz bewiesen (Appel, Haken) Das gilt für planare Graphen.

39 39 Eckenfärbung von Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen.

40 40 Eckenfärbung von Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen.

41 41 Eckenfärbung von Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Oft gibt es mehrere Lösungen.

42 42 Mobilfunk-Konfliktgraphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.

43 43 Mobilfunk-Konfliktgraphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.

44 44 Konflikt-Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.

45 45 Konflikt-Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.

46 46 Konflikt-Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig Grün an ihrer Ampel haben. Adjazenzmatrix dazu Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11

47 47 Konflikt-Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig Grün an ihrer Ampel haben. Adjazenzmatrix dazu Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11

48 48 Graphentheorie in Büchern Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Kombinatorische Optimierung erleben: Im Studium und Unterricht Stephan Hußmann (Autor), Brigitte Lutz-Westphal (Autor) Manfred Nitzsche

49 49 Fuzzy-Logik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, weiche Logik Bereich Algebra, Logik

50 50 Knotentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Knotentheorie, moodle Kap. 11 Zöpfe

51 51 Fraktale, Chaostheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Fraktale

52 52 Fraktale, Chaostheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Fraktale

53 53 Fraktale, Chaostheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Fraktale, moodle Kap.10


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