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Monadische Logik 2.Ordnung (MSO) Ilhan Aslan Betreuer: Tim Priesnitz Seminar SS/03 Logische Aspekte in XML Gert Smolka PS-Lab Universität des Saarlandes.

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1 Monadische Logik 2.Ordnung (MSO) Ilhan Aslan Betreuer: Tim Priesnitz Seminar SS/03 Logische Aspekte in XML Gert Smolka PS-Lab Universität des Saarlandes

2 Motivation: Baue Logik möglichst expressive aber entscheidbar

3 Logik 1.Ordnung vs. Logik 2.Ordnung 1.Ordnung: – Variablen werden durch Individuen interpretiert. z.B. Aussagenlogik 2.Ordnung: – Variablen werden durch Mengen von Individuen interpretiert. z.B. Baumlogiken

4 Logik 2. Ordnung ist unentscheidbar.. Logik 1.Ordnung mit Mengenvariablen x … Band von TM … … t Gitter realisiert durch binäres Prädikat P(x,t). TM hält gdw. t: P(x+1,t) = halt Kopf

5 Übersetzung von Bit-Mustern ew P t i t i+1 TM wird definiert durch endl. viele Muster-Übergänge. Bsp.: t x: P(x,t) P(x+1,t) P(x+2,t) P(x+3,t+1) P(x+4,t+1) P(x+5,t+1) x i x i+1

6 Monadische Logik 2.Ordnung (SiS) Syntax φ ::= Xφ φ φ v φ S i (X,Y) X Y x φ x Y S(x,y) x φ x Y x < y Einelementig(X) : Y ((Y X ) (Y=X) Z (Z X Z=X v Z=Y))

7 Syntax Varianten Definiere Syntax mit x φ x Y S(x,y) X Y : x (x X x Y) x = y : Z ((x Z) (y Z)) S(X,Y) : x,y ((x X) (y Y) z(( (z=x) (z X)) ( (z=y) (y Y))) S(x,y)) Definiere Syntax mit x φ x Y x < y S(x,y) : (x < y z(x < z z < y))

8 Interpretation von Variablen in (schwacher) SiS 1 Nachfolger (i=1) Universum: 1 * 1 2 Nachfolger (i=2) Universum: (12)* 1 2 Individuen- Variablen Shape von StringPfad Mengen- Variablen (endl.) Menge von Shapes von Strings (endl.) Menge von Pfade

9 Menge von Pfade = Baum ? Menge von Pfade {ε,1,2,11,12,121} Setze einzelne Pfade zusammen!

10 Menge von Pfade = Baum ? Menge von Pfade {ε,1,2,11,12,121} Setze einzelne Pfade zusammen

11 Erfüllbarkeit von (schwacher)S2S Sei β eine Belegunsfunktion mit : β :x π, π ist Pfad β :X 2 π β |= y X β(y) β(X) β |= S 1 (x,y) β(x)1 = β(y) β |= S 2 (x,y) β(x)2 = β(y) β |= Xφ β[B/X] |= φ für ein B 2 π …

12 Bsp. : Definiere Prefix-Abgeschlossenheit mit (schwacher)S2S Pfad-bis-Vater-von(y) X : z (S 0 (z, y) v S 1 (z, y) z X) Prefixpfade-von-Pfad(x) Y : x Y z((z Y ¬ (z=ε)) Pfad-bis-Vater-von(z) Y (z0 Y ¬ (z1 Y)) (z1 Y ¬ (z0 Y))) z.B. für X = { ε, 1, 11, 2 } Für y = 11 ist Pfad-bis-Vater-von(y) X erfüllbar weil 1 X! z.B. für X = { ε, 1, 11, 2 } Für y = 11 ist Prefixpfade-von-Pfad(x) X erfüllbar weil ε,1,11 X !

13 Bsp. : Definiere Prefix-Abgeschlossenheit mit (schwacher)S2S Eine Menge von Pfaden ist Prefix-Abgeschlossen ( definiert einen Baum) wenn gilt : Prefix-Abgeschlossen(Z) : z ((z Z) Prefixpfade-von-Pfad(z) Z) Ein Pfad (121) ist Prefix-Abgeschlossen bzgl. einer Menge von Pfaden, wenn alle Prefixpfade (ε,1,2,12,121) in der Menge enthalten sind!

14 Prädikate Mengen Gegeben: Unäres PrädikatP: Σ * {0,1} charachteristische Menge: M P = {x Σ * P(x) = 1} Prädikate Mengen Gegeben:MengeM Σ * charackteristisches Prädikat: P M (x) = 1, falls x M 0, sonst

15 Unäre Prädikate in (schwacher)SiS Y(x) x Y X(Y) unentscheidbar (Logik 3.Ordnung).. x t P({t,x}) = P({x,t}) Gitter realisierbar durch P(X) x X t X Zweielementig(X)

16 Kodiere ω-Strings in S1S Axiomatisierung in S1S: L a,L b : L a L b = L a L b = 1 * Jede Adresse hat höchstens ein Label Jede Adresse hat mindestens ein Label ε … abab … 1010… 0101… Beispiel: ω-String über A={ a, b } L a = { ε, 11,1111,… } L b = { 1,111,11111,… } LaLbLaLb

17 Kodiere Strings in schwacher S1S Axiomatisierung in schwacher S1S: L a,L b : L a L b = prefix-abgeschlossen (L a L b ) ε abab Jede Adresse hat höchstens ein Label Jede Adresse hat mindestens ein Label LaLbLaLb L a = { ε, 11 } L b = { 1,111} Beispiel: String über A={ a, b }

18 Kodiere ω -Bäume in S2S g Beispiel: ω-Baum über A = {f/2, g/2} f ff L f = { ε, 11,12, …} Länge der Adr. gerade L g = { ε, 1,2 } Länge der Adr. ungerade Axiomatisierung in S2S: L g,L f : L g L f = L g L f = (1 2)* g f 2 1 f … … Jede Adresse hat höchstens ein Label Jede Adresse hat mindestens ein Label

19 Kodiere Bäume in schwacher S2S f Beispiel: Baum über A = {f/2, a/0} f aa a L a = { ε, 1,21,22} L f = { ε, 2 } Axiomatisierung in (schwacher)S2S L f,L a : L a L f = Prefix-Abgeschlossen(L a L f ) (1) (2) (L a L f ) = (1) z f L f : x,y (L a L f ): S 1 (z,x) S 2 (z,y) (2) z a L a, z (L a L f ) : ¬ (z a < z) Aritäten-Konsistenz Baum ist nicht Leer

20 Referenzen [1] Wolfgang Thomas,Languages, Automata, and Logic, May 1996,Bericht 9607 Institut für Informatik und Praktische Mathematik Der Christian-Albrechts- Universität zu Kiel D Kiel [2] Khoussainov, Bakhodyr and Nerode,Anil: Automata Theory and Its Applications, Progress in Computer Science, Birkhäuser,Boston;Berlin(2001) [3] David Basin, Felix Klaedke, Monadic Second-Order Logics in Theory and Practice, Albert-Universität, Freiburg [5] Hupert Comon, Max Dauchet, Rémi Gilleron, Denis Lugiez, Sophie Tison, Marc Tommasi, Tree Automata Techniques and Applications [6] Erich Grädel, Wolfgang Thomas, Thomas Wilke (Eds.), Automata, Logics, and Infinite Games, A Guide to Current Research (Part VI Monadic Second-Order Logic), Springer (2001) [7] H.Hermes, Einführung in die Mathematische Logik, B.G. Teubner, Stuttgart (1972)


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