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3. Vorlesung SS09Computational Chemistry1 verschiedene Kraftfelder Terme in Kraftfeldern Elektrostatik starke und schwache zwischenmolekulare Kräfte Optimierungs-/Minimierungsalgorithmen.

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1 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry1 verschiedene Kraftfelder Terme in Kraftfeldern Elektrostatik starke und schwache zwischenmolekulare Kräfte Optimierungs-/Minimierungsalgorithmen V3 Kraftfelder und Minimierung

2 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry2 Kovalente Bindungen Kovalente Bindungen lassen sich erfolgreich als Oszillator darstellen. Mathematisch kann diese Form des Energiepotentials auf verschiedene Weise angenähert werden.

3 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry3 Bindungen im Kraftfeld (I) Die einfachste Annäherung ist das harmonische Potential Vorteile: schnell zu berechnen (v.a. bei sehr vielen Atomen) Betonung des Minimums bei sehr großem r (z.B. schlechte Startgeometrie) Nachteil: schlechte Werte wenn r weit weg von r 0 ist AMBER, CHARMM,...

4 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry4 Bindungen im Kraftfeld (II) Sehr viel exakter ist das Morsepotential Vorteile: sehr gute Übereinstimmung mit dem tatsächlichen Potentialverlauf Nachteil: exp-Funktion ist numerisch aufwendig zu berechnen 3 Parameter pro Bindung notwendig

5 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry5 Bindungen im Kraftfeld (III) Quadratische und kubische Funktion vom Abstand r Vorteil: noch relativ schnell zu berechnen Nachteil: falscher Verlauf wenn r sehr viel größer als r 0 ist MM2, MM3,...

6 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry6 Bindungsabstände und Bindungsdissoziationsenergien (I) Bindung Abstand [Å] D o [kJ/mol] (homolytische Spaltung) H–H C–H1.09 ± ± 7 C–C C=C *602 ± 21 *aromatische Bindung CC C–N C=N CN C–O C=O C–Si C–P C–S C=S ± 21 länger länger, schwächer Verändert aus: J.E.Huheey Inorganic Chemistry, Wiley.

7 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry7 Bindungsabstände und Bindungsdissoziationsenergien (II) Bindung Abstand [Å] D o [kJ/mol] C–F C–Cl C–Br C–I C–H O–H N–H ± 8 S–H ± 5 N–N ± 13 N=N N–O N=O P–O P=O polare Wasserstoffe, tauschen in polarem Solvens aus (z.B. mit denen des Wassers) apolares Wasserstoffatom Grund: N, O, und S sind elektronegativer als C; Heterolytische Spaltung der Bindung Ionen Aber nicht in Kraftfeldern, da die Topologie nicht verändert wird ! (kein Bindungsbruch)

8 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry8 Bindungen im Kraftfeld (II) Um die unterschiedlichen Bindungslängen und Bindungsstärken angemessen wiederzugeben brauchen wir also für jedes Element eine ganze Reihe von Atomtypen. Zumindest so viele, wie es Hybridisierungszustände gibt. Bindungr 0 [Å]k [kcal mol -1 Å -2 ] Csp 3 –Csp Csp 3 –Csp Csp 2 =Csp Csp 2 =O Csp 3 –Nsp Auswahl an Atomtypen des MM Kraftfeldes (N. Allinger 1977)

9 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry9 Bindungsabstände Extreme Abweichungen von idealen Bindungsabständen

10 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry10 Bindungswinkel (I) Hängen sehr stark von der Hybridisierung ab Die C–C -Bindung entsteht durch Überlappung der 1s Orbitale Die C–C -Bindung durch Überlappung der 2p Orbitale

11 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry11 Bindungswinkel (II) Probleme für Kraftfelder. Man benötigt deshalb mehr als einen Atomtyp pro Hybridisierung (vgl. sp x Hybridisierung). Extreme Abweichungen von idealen Bindungswinkeln Verursacht Ringspannung in 3- und 4-Ringen

12 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry12 Bindungswinkel (III) Mathematische Formen für das Bindungswinkelpotential Harmonisches Potential MM, MM2, MM3, AMBER, CHARMM,... (cyclische) Cosinusterme UFF

13 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry13 Torsionswinkel (I) Mathematische Formen für das Torsionspotential Überlagerung von Cosinustermen

14 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry14 Zusätzliche Potentiale (I) Problemfall Cyclobutanon Out of plane bending Improper torsion: Potential des Torsionswinkel über soll bei 180° ein Minimum haben Lösung: spezielle Atomtypen und Winkelpotentiale, oder

15 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry15 Zusätzliche Potentiale (II) Typische Gruppen und Fragmente bei denen improper torsions oder out of plane bending Terme eingesetzt werden, um Planarität zu erzwingen Seitenketten in Aminosäuren (welche ?)

16 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry16 Zusätzliche Potentiale (III) Kreuzterme zwischen Winkel und Bindungslängen Beobachtung: bei kleineren Winkeln werden die Bindungen länger MM2, MM3, CHARMM Weitere Kreuzterme: Bindung-Torsion, Winkel-Torsion, Winkel-Winkel,... Ursache: Nichtbindende Wechselwirkungen zwischen Atomen zwischen denen keine Bindung besteht

17 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry17 Elektrostatische Kräfte (I) Das unterschiedliche Bestreben der Atome/Elemente Elektronen aufzunehmen bzw. abzugeben führt zu einer ungleichmäßigen Verteilung der Ladung über das Molekül. Am einfachsten wird diese durch die Annahme partieller Ladungen auf den Atomen modelliert. (Eigentlich: Atomkerne positiv geladen, Elektronenhülle negativ) In der Praxis werden solche nicht-bindenden Wechselwirkungen nur zwischen Atomen berechnet, die mindestens 4 oder mehr Bindungen auseinander sind (implizit in Winkel- und Torsionstermen enthalten).

18 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry18 Elektrostatische Kräfte (II) Beispiel: die Coulomb-Anziehung zwischen einem Na + und Cl - Ionenpaar im Abstand von r = 2.8 Å (= 280 pm = m) im Vakuum Die Ladung eines Protons ist e = C, die eines Elektronse = – C, Dielektrizitätskonstante des Vakuums o = = C 2 J -1 m -1 relative Dielektrizitätskonstane r (Vakuum = 1, Wasser 80)

19 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry19 Partielle Atomladungen (I) Das Konzept partieller Atomladungen ist zwar äußert nützlich, physikalisch sind diese jedoch weder beobachtbar noch messbar. Lit: J.Gasteiger, M.Marsili, Tetrahedron 36 (1980) Zur Ableitung partieller Atomladungen gibt es mehrere Verfahren: Gasteiger-Marsili-Ladungen: Partieller Ausgleich der Elektronegativität in einem iterativen Verfahren (es wird ein Teil der Elektronen auf das jeweils elektronegativere Element transferiert).

20 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry20 Partielle Atomladungen (II) Fit der Atomladungen aus quantenchemischen Berechnungen der Elektronendichte bzw. des elektrostatischen Potentials. Die Partialladungen werden so lange angepasst, bis das von ihnen erzeugte Potential auf van-der-Waals Oberflächen um das Molekül herum am besten dem von der Kern- und Elektronenladungen erzeugten quantenmechanischen Potential gleicht. Literatur: Cox & Williams J. Comput. Chem. 2 (1981) 304 Breneman & Wiberg J. Comput. Chem. 11 (1990) 361 CHELPG Verfahren Singh & Kollman J. Comput. Chem. 5 (1984) 129 RESP Verfahren Ladungen für das AMBER Kraftfeld

21 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry21 Elektrische Multipole Die elektrischen Multipole geben die Ladungsverteilung im Molekül wieder: Cl - IonMonopol H - Cl >=2 Ladungen Dipol allgemeines Dipolmoment vektorielle Größe = q l Die höheren elektrischen Momente sind: CO 2 4 LadungenQuadrupol3*3 Matrix (Tensor) CH 4 8 LadungenOctupol 16 LadungenHexadekapol... Ladungen müßen nicht zwangsweise auf den Atomen liegen !

22 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry22 Nichtbindende Wechselwirkungen (I) Welche gibt es? Elektrostatische: Salzbrücken Koordinative Bindung von Metallen (Komplexe) Wasserstoffbrücken (auch zu geladenen Gruppen) van der Waals Bereich bis zu: 250 kcal/mol 200 kcal/mol 1-8 kcal/mol (neutral) 0.5 kcal/mol (pro Atompaar)

23 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry23 Nichtbindende Wechselwirkungen (II) Starke und mittlere Elektrostatische Interaktionen (statisch) schwächer

24 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry24 Nichtbindende Wechselwirkungen (III) schwache elektrostatische Interaktionen (induziert, dynamisch) Hydrophobe Interaktionen van der Waals (vdW) WW schwächer Geringere Polarisierbarkeit

25 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry25 Nichtbindende Wechselwirkungen (IV) Dispersive Interaktionen: London-Kräfte und van der Waals WW Lennard-Jones potential Fluktuationen der Elektronenwolke erzeugen kurzzeitige Dipole. Diese induzieren wiederum Dipole wodurch im zeitlichen Mittel eine Anziehung resultiert.

26 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry26 Nichtbindende Wechselwirkungen (V) Hydrophobe Interaktionen sind durch die Abwesenheit von polaren Wasserstoffen (und geringen Elektronegativitätsunterschieden) charakterisiert. Beispiele für apolare Gruppen: Beispiele für apolare Substituenten: Elektronegativität (Elektronen-ziehend) Polarisierbarkeit

27 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry27 Zusätzliche Potentiale (IV) Zusätzlich zur elektrostatischen Anziehung gibt es Terme um Wasserstoffbrücken (exakter) zu beschreiben, v.a. deren Winkelabhängigkeit. Eine Modifikation der van der Waals Anziehung berücksichtigt nur die Abstandsabhängigkeit AMBER, CHARMM Kraftfeld

28 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry28 Zusätzliche Potentiale (V) Zusätzliche Berücksichtigung der Winkelabhängigkeit bei H-Brücken: GRID Programm P.Goodford J.Med.Chem. 28 (1985) 849. YETI Kraftfeld

29 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry29 Zusätzliche Potentiale (VI) Spezielle Kraftfelder beinhalten Terme zur Modellierung von -Elektronen (konjugative Effekte auf Bindungslängen) Polarisierbarkeit Nachteile: hoher numerischer Aufwand Parameterisierung erklärt nicht (immer) die zugrundeliegenden physikalischen Effekte

30 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry30 Kraftfelder – ein (unvollständiger) Stammbaum MM Allinger 1973 MM2 Allinger 1977 MM3 Allinger 1989 MM4 Allinger 1996 AMBER Weiner, Kollman 1981 CHARMM Brooks, Karplus 1982 GROMOS van Gunsteren, Berendsen 1987 OPLS Jorgensen 1989 Dreiding Olafson, Goddard 1990 UFF Rappé, Goddard 1992 Karplus, Gelin Sybyl, MMCV

31 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry31 Minimierungsalgorithmen (I) Für eine vorgegebene Molekülgeometrie (Konformer) können wir nun also die spezifische Kraftfeldenergie berechnen. Die Frage ist nun: Gibt es energetisch günstigere Konformere ? Wir brauchen also die Ableitung der Energie nach der Geometrie, sprich den Atomkoordinaten.

32 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry32 Minimierungsalgorithmen (II) Im einfachsten Fall könnten wir zufällige Veränderungen der Atomkoordinaten generieren, und energetisch günstigere als neue Geometrie akzeptieren. Eine ähnliche Vorgehensweise liegt bei Monte Carlo Simulationen vor. Für nur eine Koordinate (z.B. 1 Bindungslänge) könnten wir das Minimum durch Intervallschachtelung finden. Für eine zielgerichtete Suche nach einem Energieminimum werden wir aber die Ableitungen der Energiefunktion verwenden.

33 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry33 Energiehyperfläche f = (x-2) 2 + (y+1) 2 Einfache Energiehyperflächen (2 Koordinaten) kann man entweder als Hyperfläche (links) oder als Contour-Plot (rechts) darstellen. Ran Friedman bioinfo.tau.ac.il/Protein_Visualization_01-02/ Lesson%207/Introduction_Prot_Simul.ppt

34 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry34 Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (I) Selbst einfachste Moleküle haben eine Vielzahl von Freiheitsgraden, die die einzelnen Konformere ineinander überführen. Wir können diese Freiheitsgrade entweder durch die internen Koordinaten ausdrücken (Bindungen, Winkel, Torsionen), oder durch Angabe der kartesischen Koordinaten (x,y,z) für jedes der N Atome. Im Falle von kartesischen Koordinaten haben wir 3 N Koordinaten. Durch reine Translationen und Rotationen des gesamten Moleküls ändert sich dessen Geometrie jedoch nicht. Benutzen wird dagegen interne Koordinaten so reduzieren sich die Optimierung auf 3N – 6 Koordinaten. 4 Atome: 3 Bindungen + 2 Winkel + 1 Torsion = 6 interne Koordinaten 4 Atome: 4 3 x,y,z-Koordinaten = 12 kartesische Koordinaten

35 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry35 Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (II) Die Verwendung der internen Koordinaten macht dann Sinn, wenn die Generierung der Ableitungen rechenzeitaufwendig ist, z.B. bei quantenchemischen Methoden. Zur Darstellung/Eingabe solcher Molekülkoordinaten wird daher oft eine sog. Z-Matrix verwendet: H C r1 1 N r2 2 a1 1 O r3 3 a2 2 d1 1

36 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry36 Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (III) Bei großen Molekülen kommt der Unterschied zwischen 3N – 6 und 3N Koordinaten kaum noch zum Tragen. Deshalb verwendet man bei Kraftfeldrechnungen üblicherweise kartesische Koordinaten. Weiterer Vorteil von kartesischen Koordinaten: Visuell einfach darstellbar Keine numerischen Probleme der Z-Matrix bei linearen Molekülen Nachteil kartesischer Koordinaten: Zur Berechung der Ableitungen muss oftmals in interne Koordinaten transformiert werden.

37 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry37 Energiehyperfläche

38 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry38 Gradient – die erste Ableitung der Energie E bezüglich der Koordinaten kartesische Koordinaten x, y, z interne Koordinaten l,,,... Kraft Stationäre Punkte - Punkte auf der Energiehyperfläche, in denen der Gradient (bzw. die Kraft) gleich Null ist. Dies sind Maxima, Minima, Übergangszustände und Sattelpunkte. Energiehyperfläche: Gradient

39 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry39 Für eine stetige und zweimal differenzierbare Funktion f ist g(x) = (g 1,..., g N ) der Gradientenvektor der ersten Ableitungen Die N N Matrix der zweiten Ableitungen heisst Hesssche-Matrix. In einem Minimum ist die Krümmung positiv. In höheren Dimensionen wird Konvexität in einem Punkt x* als positive Definitheit der Hessschen Matrix bezeichnet: Positive Definitheit garantiert, daß alle Eigenwerte in x* positiv sind. Energiehyperfläche: Hesssche Matrix

40 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry40 Eine positiv-semidefinite Matrix hat nichtnegative Eigenwerte. Eine negativ-semidefinite Matrix hat nichtpositive Eigenwerte. Eine negativ-definite Matrix hat lediglich negative Eigenwerte. Ansonsten ist die Matrix indefinit. Energiehyperfläche: Definitionen Stationäre Punkte sind fett markiert.

41 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry41 Vorzeichen der zweiten Ableitungen Durch Diagonalisierung der Hessschen Matrix erhält man Eigenvektoren, die die normalen ( = orthogonalen) Schwingungsmoden des Moleküls sind. Die zugehörigen Eigenwerte sind proportional zum Quadrat der jeweiligen Schwingungsfrequenz. Das Vorzeichen der zweiten Ableitungen entscheidet, ob es sich bei stationären Punkten auf der PES um Maxima oder um Minima handelt, da mit einer Frequenzrechnung das Vorzeichen der Schwingungsfrequenzen bestimmt wird. Damit lässt sich auch endgültig klären, ob eine Konformation tatsächlich ein Minimum auf der PES ist Minima auf der PES besitzen nur positive Eigenwerte bzw. reelle Schwingungsfrequenzen Maxima oder Sattelpunkte (Maximum in einer Richtung, aber Minima in allen anderen Richtungen) besitzen eine oder mehrere imaginäre Schwingungs- frequenzen. (Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ergibt eine imaginäre Zahl). Übergangszustände haben genau 1 negativen Eigenwert.

42 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry42 Algorithmen zur Energieminimierung Lokales Minimum: Für einen Vektor x mit n Komponenten {x i } lautet das Minimierungsproblem min x { f(x) }, x D n. Dann ist x ein lokales Minimum und f( x) < f(y) y D n, y x Globales Minimum: x n ist ein globales Minimum f( x) < f(y) y n x [Schlick ]

43 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry43 Methode, die nur die Energiewerte verwendet... Am einfachsten zu implementieren. Läuft in eine Richtung bis die Energie ansteigt, dreht dann um die Suchrichtung um 90º, etc. ist am wenigsten effizient –viele Schritte notwendig –Schritte sind nicht gerichtet wird daher selten verwendet.

44 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry44 Grundlegende algorithmische Konzepte Die grundlegende Struktur von iterativen, lokalen Optimierungsalgorithmen ist die des greedy descent (am schnellsten bergab). D.h. ausgehend von einem Startpunkt x 0 wird eine Sequenz von Schritten {x k } erzeugt, wobei bei jeder Iteration versucht wird, den Wert der Zielfunktion f(x) zu verringern. Es gibt 2 Klassen von Algorithmen: line-search und trust-region. Beide sind weitverbreitet und sind Bestandteile von Optimierungsmethoden, die von jedem Startpunkt aus die Konvergenz zu einem lokalen Minimum garantieren. Beide Methoden sind gleichermaßen empfehlenswert.

45 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry45 Line-Search basierender Descent Algorithmus [A1] Von einem gegebenen Anfangspunkt x 0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt. (1) Überprüfe x k auf Konvergenz (2) Berechne eine Abstiegs-Richtung p k (3) Bestimme eine Schrittweite k durch eine 1-dimensionale Suche so dass für den neuen Positionsvektor x k+1 = x k + k p k und den entsprechenden Gradient g k+1 gilt: (ausreichende Abnahme) (ausreichende Verringerung der gerichteten Ableitung) z.B. = 10 -4, = 0.9 in Newton-Methoden (4)Setze x k+1 = x k + k p k und k k + 1 und gehe zurück nach (1)

46 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry46 [A1] (2): Richtung der Abnahme Eine solche Richtung p k ist eine Richtung, entlang derer die Funktion f lokal abnimmt. Solch einen Vektor kann man durchdefinieren. Für genügend kleine gilt dann:

47 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry47 Steepest Descent (SD) Die einfachste Möglichkeit, eine gültige Abnahme-Richtung vorzugeben, ist zu setzen: Damit ist automatisch erfüllt

48 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry48 Steepest Descent (SD) Methode in der Praxis Ist die einfachste häufig verwendete Methode folgt wie oben erwähnt jeweils dem negativen Gradienten g (also der grössten Kraft) d = - g man legt meist einen minimalen und maximalen Wert für die Verschiebung der Koordinaten fest jenach, wie steil der Gradient ist, wird die Schrittweite vergrössert oder verkleinert SD ist die schnellste Methode, wenn man eine schlechte Startgeometrie besitzt konvergiert langsam in der Nähe des Minimums kann dort um das Minimum oszillieren

49 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry49 Conjugate Gradient (CG) Methode verwendet die Geschichte der Minimierung, also den vorherigen Wert d i-1. d i = - g i + i-1 d i-1 Im Gegensatz zu SD wird also implizit die Information der zweiten Ableitungen verwendet um die Suche zu steuern. Es gibt viele Varianten von CG wie Fletcher-Reeves, Davidon-Fletcher-Powell und Polak-Ribiere Methoden. CG konvergiert wesentlich schneller in der Nähe des Minimums als SD!

50 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry50 Methoden mit zweiter Ableitung Die zweite Ableitung der Energie E bezüglich der (kartesischen) Koordinaten r – die Hesssche Matrix H(r) – bestimmt den Suchpfad. Entwickle E(r) um r Dann ist der Newton-Raphson Schritt f i ist die Projektion des Gradienten entlang des Hessschen Eigenvektors mit Eigenwert i. Ist rechenaufwendiger, aber gewöhnlich schnell und zuverlässig, besonders in der Nähe des Minimums. Varianten: Quasi-Newton (QN), Newton-Raphson...

51 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry51 Trust-Region basierender Descent Algorithmus [A2] Nimm an, daß in einer inneren Region eine quadratische Funktion q k als Näherung an f existiert, der man vertrauen kann. Es reicht dann aus, das Minimum dieser quadratischen Funktion zu finden. Algorithmus: Von einem gegebenen Anfangspunkt x 0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt. (1) Überprüfe x k auf Konvergenz (2) Berechne einen Schritt s k durch Lösen des Subproblems wobei q k das quadratische Model der Zielfunktion ist: Dies gilt für s innerhalb einer Schranke k > 0. Ausgedrückt mit einer Skalierungsmatrix D k gilt (3)Setze x k+1 = x k + s k und k k + 1 und gehe zurück nach (1)

52 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry52 praktische Empfehlungen Benutze viele unterschiedliche Startpunkte Vergleiche Ergebnisse mehrerer Algorithmen (bzw. mehrerer Kraftfelder) überprüfe Eigenwerte im Minimum. Bis auf 6 Eigenwerte, die fast gleich Null sein sollten und die Translations- und Rotationsinvarianz wiederspiegeln, sollten alle positiv sein. [Schlick, Kap. 10.7] Bei der Optimierung von Proteinstrukturen ausgehend von den Koordinaten aus der zugehörigen.pdb Datei empfiehlt sich folgende Strategie: Schritte mittels steepest descent (grobe Optimierung, v.a. Torsionswinkel und nichtbindende Wechselwirkungen) 2.anschließende Optimierung mit einem conjugate gradient Verfahren (schneller in der Nähe eines Minimums) [Leach Molecular Modelling, Kap.4 Energy minimisation]

53 3. Vorlesung SS09Computational Chemistry53 Verfahren um das globale Energie-Minimum zu finden Systematische Variation der Torsionswinkel Randomization-minimization (Monte Carlo) Moleküldynamik (Newtonsche Bewegungsgleichung) Simulated Annealing (reduziere Temperatur während MD Simulation) Genetische Algorithmen (man startet wird einer Menge von Konformationen; kleine Veränderungen; behalte die der geringsten Energie; wiederhole diese Schritte) Reine Zufallssuche (funktioniert am schlechtesten)


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