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Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft 1848-19231902-19501924-

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Präsentation zum Thema: "Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft 1848-19231902-19501924-"—  Präsentation transkript:

1 Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft

2 Vilfredo Pareto: Cours dEconomie Politique (Genf, 1896) George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort (Reading, MA, 1949) Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature (New York, 1977) Mark E.J. Newman: Power laws, Pareto distributions and Zipfs law Contemporary Physics 46 (2005) Literatur

3 Häufigkeitsverteilungen I M.E.J. Newman (2005) KörpergrößeGeschwindigkeit von Autos

4 Die Normalverteilung Carl Friedrich Gauß,

5 Häufigkeitsverteilungen II nach: Auerbach (1913); Lotka (1925); Zipf (1949) Städte mit mehr als Einwohnern

6 Potenzgesetze Häufigkeit von Ereignissen der Größe X: Doppellogarithmische Auftragung: Gerade mit Steigung -(α+1) Kumulative Verteilung:

7 Zipf-Plot Ordne N Ereignisse X 1,…,X N ihrer Größe nach: Trage dann X r gegen den Rang r auf, so gilt für große N Für die Größenverteilung von Städten ist der Exponent

8 Zipfsches Gesetz für Worthäufigkeiten aus: Per Bak, How Nature Works (New York, 1996)

9 Pareto-Verteilung von grossen Vermögen Forbes 400, nach Klass et al. (2007)

10 Verteilung von Einkommen Chatterjee et al., 2007

11 Große und kleine Einkommen A.C. Silva, V.M. Yakovenko 2005

12 aus: Capital 26/2007

13 Was haben Potenzgesetze mit Selbstähnlichkeit zu tun?

14 Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz Bei einer Potenzverteilung sind relative Häufigkeiten unabhängig vom Maßstab (=skaleninvariant): für jedes X, b Die Potenzverteilung ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft Skaleninvarianz als (statistische) Symmetrie komplexer Systeme

15 Gutenberg-Richter Gesetz für Erdbeben Richter-Skala: E: freigesetzte Energie E 0 =63 kJ B. Gutenberg, R.F. Richter 1944

16 Aussterben biologischer Arten Aussterbeereignisse für Familien mariner Spezies M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

17 Häufigkeitsverteilung der Aussterbeereignisse M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

18 Zahl von Kriegsopfern L.F. Richardson (1960); N.F. Johnson et al. (2006)

19 1/f-Rauschen M.A. Caloyannides (1974) Frequenzspektrum der Spannungsschwankungen in einem Widerstand:

20 1/f-Rauschen in der Musik Music mimics the way the world changes in time. (R.F. Voss)

21 Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küsten- linien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade. Benoit B. Mandelbrot Geometrische Skaleninvarianz/Fraktale Geometrie

22 B. B. Mandelbrot, 1967 How long is the coast of Britain? Maßstabsabhängige Länge:fraktale Dimension

23 Deterministische Fraktale Dimension: Vicsek-Schneeflocke

24 Statistische Skaleninvarianz JK, P. Meakin (1989) Simulation der ballistischen Abscheidung unter schrägem Einfall

25 Diffusion-limited aggregation (DLA) T.A. Witten, L.M. Sander 1981

26 Statistische Skaleninvarianz von DLA P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium

27 Selbstähnlichkeit in der Geologie Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

28 Selbstähnlichkeit in der Geologie Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

29 Physics Today 1986 Further progress in this field depends upon establishing a more substantial theoretical base in which geometrical form is deduced from the mechanisms that produce it…Without that underpinning much of the work on fractals seems somewhat superficial and even slightly pointless.

30 Exploring the consequences of self-similarity was proving full of extraordinary surprises, helping me to understand the fabric of Nature. By contrast, the muddled discussion of the causes of scaling had few charms.

31 Der kritische Punkt T. Andrews: On the continuity of the gaseous and liquid states of matter Proc. Roy. Soc. (1869)

32 Skaleninvarianz nur am kritischen Punkt T < T c T = Tc T > Tc aus: H.W. Diehl, Essener Unikate 1999

33 Skaleninvarianz am kritischen Punkt Kenneth G. Wilson: Nobelpreis 1982 for his theory of critical phenomena in connection with phase transitions

34 Self-organized criticality

35 Per Bak ( )

36 Das Sandhaufen-Modell Elaine Wiesenfeld

37 Das Sandhaufen-Modell Klötzchen rutscht abwärts wenn Höhendifferenz > 1 Dadurch können weitere Klötzchen instabil werden es entsteht eine Lawine

38 Das Sandhaufen-Modell Lawinenverteilung ist ein Potenzgesetz

39 Experimente mit Langkornreis Frette et al., Nature 379, 49 (1996)

40 Schlusswort The sandpile theory – self-organized criticality – is irresistible as a metaphor. Al Gore, Earth in the Balance (1992)


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