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Mathematik und Informatik: Eine Liebeserklärung Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Vortrag auf der ÖMG Tagung Bozen, 25. September 2003.

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1 Mathematik und Informatik: Eine Liebeserklärung Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Vortrag auf der ÖMG Tagung Bozen, 25. September 2003

2 Copyright B. Buchberger 20032 Copyright Bruno Buchberger 2003 Copyright Note: This file may be copied and stored under the following conditions -the file must be kept unchanged and must include the copyright note -a message must be sent to buchberger@risc.uni-linz.ac.at -if material from this talk is used, please, cite the talk appropriately.

3 Copyright B. Buchberger 20033 Die Liebe und die Erklärung –der wissenschaftliche Dreischritt –die Spirale der Selbstanwendung –die algorithmische Natur der Mathematik Beispiele: –automatisches Beweisen mit Gröbner-Basen –automatisches Beweisen in der Analysis –Automatisches Erfinden von Algorithmen

4 Copyright B. Buchberger 20034 Ein naiver Glaube Mathematik handelt vom Rechnen Computer = Rechenmaschine Also: Computer steht im Zentrum der heutigen Mathematik Informatik (“Computer Science”) handelt vom Computer Computer steht im Zentrum der Mathematik Also: Mathematik steht im Zentrum der Informatik

5 Copyright B. Buchberger 20035 Realität Mathematik und Informatik sind weit voneinander entfernt. Für viele Mathematiker ist der Computer LaTeX, e- mail und Web und sonst nichts. Viele Informatiker sind überzeugt, dass sie keine Mathematik brauchen.

6 Copyright B. Buchberger 20036 Meine Sicht Mathematik (und Logik) und Informatik zusammen bilden ein Ganzes – die “Denktechnologie”. Die Kluft zwischen Mathematik und Informatik ist –bedauerlich –gefährlich –wissenschaftstheoretisch nicht haltbar.

7 Copyright B. Buchberger 20037 Der wissenschaftliche Dreischritt Die Denktechnologie hat sich von der „Beobachtungstechnologie“ getrennt. a 2 +b 2 = c 2 Beobachten oder Denken? Beobachten, Denken, Handeln: Der grundlegende Dreischritt des „wissenschaftlichen“ Umgangs mit der Natur.

8 Copyright B. Buchberger 20038 Die Methode der Wissenschaft Realität mit Frage oder Problem Modell Antwort oder Lösung im Modell Antwort oder Lösung in Realität Beobachten Handeln Denken

9 Copyright B. Buchberger 20039 Die Methode der Wissenschaft Beobachten („Modellieren“, z.B. „Messen“) Denken („Schließen“) Handeln („Anwenden“) ? a b c = ? c = sqrt[a 2 +b 2 ]

10 Copyright B. Buchberger 200310 Die Methode der Wissenschaft Input mit Sinnen Transformation Gehirn Output Motorik

11 Copyright B. Buchberger 200311 Die Methode der Wissenschaft Beobachten Naturwissenschaften Denken Mathematik Handeln Technologien

12 Copyright B. Buchberger 200312 Die Methode der Wissenschaft Beobachten Denken Handeln Die drei Schritte sind methodisch verschieden, gehören aber zusammen.

13 Copyright B. Buchberger 200313 Mathematik und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen)

14 Copyright B. Buchberger 200314... Computer- Technik Computer- Mathematik Struktur- Mathematik... Informatik Mathematik

15 Copyright B. Buchberger 200315 Selbstanwendung: die Natur der Intelligenz ?

16 Copyright B. Buchberger 200316 Selbstanwendung Beobachten Sinne Mikroskop Handeln Denken Das Mikroskop!

17 Copyright B. Buchberger 200317 Selbstanwendung Beobachten Handeln Motorik Bagger Denken Der Bagger!

18 Copyright B. Buchberger 200318 Selbstanwendung Beobachten Handeln Denken Gehirn Rechenstab Der Rechenstab!

19 Copyright B. Buchberger 200319 Die wissenschaftlich / mathematisch /technologische Spirale dreht sich immer schneller, universeller, … Beobachten (Keyboard, Tablett, …, Tomograph, …) Handeln (Printer, Screen, …, Roboter, …) Denken (… universelle Computer) ……

20 Copyright B. Buchberger 200320 Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen) Die drei Gebiete sind relativ zueinander auf verschiedenen Ebenen der Selbstanwendung

21 Copyright B. Buchberger 200321 Die algorithmische Tendenz der Mathematik Das Grund-Prinzip der Mathematik: Einmal scharf denken  unendlich oft nicht mehr denken müssen

22 Copyright B. Buchberger 200322 Einmal beweisen: Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]  Unendlich oftmals rechnen: GGT[m,n] “mit Euklid” Beispiel:

23 Copyright B. Buchberger 200323 Mehr mathematisches Wissen  effizienteres Problemlösen

24 Copyright B. Buchberger 200324 Letztlich zielt die gesamte Mathematik: –auf Einsicht in Strukturen –die Entdeckung der Klarheit im Komplexen –auf das Systematische, „Methodische“ –... –auf das „Algorithmische“ (so große Klarheit, dass man sie sogar dem Uneinsichtigen = der Maschine vermitteln kann)

25 Copyright B. Buchberger 200325 Ein Missverständnis: Computer-Mathematik = oftmaliges Anwenden von trivialer Mathematik (“der Computer” kann das). Tatsache ist: Computer-Mathematik = Erfinden und Beweisen von Algorithmen auf Grund von mehr “Mathematik”.

26 Copyright B. Buchberger 200326 Algorithmische Mathematik (Informatik) und nicht- algorithmische Mathematik winden sich in Spiralen (Ebene / Meta-Ebene) nach oben Mehr Denken auf oberer Ebene Weniger Denken auf unterer Ebene

27 Copyright B. Buchberger 200327 Ein Satz auf oberer Ebene „erschlägt“ unendliche viele Probleminstanzen auf unterer Ebene

28 Copyright B. Buchberger 200328 Satz über Gröbner-Basen-Kriterium statt eigener Trick für jedes nicht-lineare Gleichungssystem

29 Copyright B. Buchberger 200329 Liouville-Satz (Risch 1968) über Darstellbarkeit von Integralen statt eigener Trick für jedes Integral

30 Copyright B. Buchberger 200330 Statt eigener Trick für Beweis eines jeden Satzes.... statt eigener Trick für.... Satz über das Beweisen von Sätzen

31 Copyright B. Buchberger 200331 Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen). Sie bewegen sich in Spiralen auf immer höhere Ebenen der Algorithmisierung. Algorithmisierung ist der Mathematik inhärent.

32 Copyright B. Buchberger 200332 Die Informatik ist die Realisierung der Mathematik mit den technologischen Mitteln der heutigen Zeit.

33 Copyright B. Buchberger 200333 Beispiele (im Theorema-System) automatische Entscheidung über die Gültigkeit geometrischer Sätze (BB, J. Robu): siehe File Example-Geo-Proving.nb automatisierte Beweise in der elementaren Analysis (BB, D. Vasaru) siehe File Example-Analysis-Proving.nb automatisches Erfinden von Algorithmen (BB, A. Craciun) siehe File Example-Algorithm-Synthesis.nb

34 Copyright B. Buchberger 200334 Mathematik (Logik) und Informatik haben als Einheit eine faszinierende Zukunft als das sich selbst automatisierende Denken.


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