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Mathematik und Informatik: Eine Liebeserklärung Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Vortrag auf der ÖMG Tagung Bozen, 25. September 2003.

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Präsentation zum Thema: "Mathematik und Informatik: Eine Liebeserklärung Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Vortrag auf der ÖMG Tagung Bozen, 25. September 2003."—  Präsentation transkript:

1 Mathematik und Informatik: Eine Liebeserklärung Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Vortrag auf der ÖMG Tagung Bozen, 25. September 2003

2 Copyright B. Buchberger Copyright Bruno Buchberger 2003 Copyright Note: This file may be copied and stored under the following conditions -the file must be kept unchanged and must include the copyright note -a message must be sent to -if material from this talk is used, please, cite the talk appropriately.

3 Copyright B. Buchberger Die Liebe und die Erklärung –der wissenschaftliche Dreischritt –die Spirale der Selbstanwendung –die algorithmische Natur der Mathematik Beispiele: –automatisches Beweisen mit Gröbner-Basen –automatisches Beweisen in der Analysis –Automatisches Erfinden von Algorithmen

4 Copyright B. Buchberger Ein naiver Glaube Mathematik handelt vom Rechnen Computer = Rechenmaschine Also: Computer steht im Zentrum der heutigen Mathematik Informatik (“Computer Science”) handelt vom Computer Computer steht im Zentrum der Mathematik Also: Mathematik steht im Zentrum der Informatik

5 Copyright B. Buchberger Realität Mathematik und Informatik sind weit voneinander entfernt. Für viele Mathematiker ist der Computer LaTeX, e- mail und Web und sonst nichts. Viele Informatiker sind überzeugt, dass sie keine Mathematik brauchen.

6 Copyright B. Buchberger Meine Sicht Mathematik (und Logik) und Informatik zusammen bilden ein Ganzes – die “Denktechnologie”. Die Kluft zwischen Mathematik und Informatik ist –bedauerlich –gefährlich –wissenschaftstheoretisch nicht haltbar.

7 Copyright B. Buchberger Der wissenschaftliche Dreischritt Die Denktechnologie hat sich von der „Beobachtungstechnologie“ getrennt. a 2 +b 2 = c 2 Beobachten oder Denken? Beobachten, Denken, Handeln: Der grundlegende Dreischritt des „wissenschaftlichen“ Umgangs mit der Natur.

8 Copyright B. Buchberger Die Methode der Wissenschaft Realität mit Frage oder Problem Modell Antwort oder Lösung im Modell Antwort oder Lösung in Realität Beobachten Handeln Denken

9 Copyright B. Buchberger Die Methode der Wissenschaft Beobachten („Modellieren“, z.B. „Messen“) Denken („Schließen“) Handeln („Anwenden“) ? a b c = ? c = sqrt[a 2 +b 2 ]

10 Copyright B. Buchberger Die Methode der Wissenschaft Input mit Sinnen Transformation Gehirn Output Motorik

11 Copyright B. Buchberger Die Methode der Wissenschaft Beobachten Naturwissenschaften Denken Mathematik Handeln Technologien

12 Copyright B. Buchberger Die Methode der Wissenschaft Beobachten Denken Handeln Die drei Schritte sind methodisch verschieden, gehören aber zusammen.

13 Copyright B. Buchberger Mathematik und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen)

14 Copyright B. Buchberger Computer- Technik Computer- Mathematik Struktur- Mathematik... Informatik Mathematik

15 Copyright B. Buchberger Selbstanwendung: die Natur der Intelligenz ?

16 Copyright B. Buchberger Selbstanwendung Beobachten Sinne Mikroskop Handeln Denken Das Mikroskop!

17 Copyright B. Buchberger Selbstanwendung Beobachten Handeln Motorik Bagger Denken Der Bagger!

18 Copyright B. Buchberger Selbstanwendung Beobachten Handeln Denken Gehirn Rechenstab Der Rechenstab!

19 Copyright B. Buchberger Die wissenschaftlich / mathematisch /technologische Spirale dreht sich immer schneller, universeller, … Beobachten (Keyboard, Tablett, …, Tomograph, …) Handeln (Printer, Screen, …, Roboter, …) Denken (… universelle Computer) ……

20 Copyright B. Buchberger Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen) Die drei Gebiete sind relativ zueinander auf verschiedenen Ebenen der Selbstanwendung

21 Copyright B. Buchberger Die algorithmische Tendenz der Mathematik Das Grund-Prinzip der Mathematik: Einmal scharf denken  unendlich oft nicht mehr denken müssen

22 Copyright B. Buchberger Einmal beweisen: Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]  Unendlich oftmals rechnen: GGT[m,n] “mit Euklid” Beispiel:

23 Copyright B. Buchberger Mehr mathematisches Wissen  effizienteres Problemlösen

24 Copyright B. Buchberger Letztlich zielt die gesamte Mathematik: –auf Einsicht in Strukturen –die Entdeckung der Klarheit im Komplexen –auf das Systematische, „Methodische“ –... –auf das „Algorithmische“ (so große Klarheit, dass man sie sogar dem Uneinsichtigen = der Maschine vermitteln kann)

25 Copyright B. Buchberger Ein Missverständnis: Computer-Mathematik = oftmaliges Anwenden von trivialer Mathematik (“der Computer” kann das). Tatsache ist: Computer-Mathematik = Erfinden und Beweisen von Algorithmen auf Grund von mehr “Mathematik”.

26 Copyright B. Buchberger Algorithmische Mathematik (Informatik) und nicht- algorithmische Mathematik winden sich in Spiralen (Ebene / Meta-Ebene) nach oben Mehr Denken auf oberer Ebene Weniger Denken auf unterer Ebene

27 Copyright B. Buchberger Ein Satz auf oberer Ebene „erschlägt“ unendliche viele Probleminstanzen auf unterer Ebene

28 Copyright B. Buchberger Satz über Gröbner-Basen-Kriterium statt eigener Trick für jedes nicht-lineare Gleichungssystem

29 Copyright B. Buchberger Liouville-Satz (Risch 1968) über Darstellbarkeit von Integralen statt eigener Trick für jedes Integral

30 Copyright B. Buchberger Statt eigener Trick für Beweis eines jeden Satzes.... statt eigener Trick für.... Satz über das Beweisen von Sätzen

31 Copyright B. Buchberger Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen). Sie bewegen sich in Spiralen auf immer höhere Ebenen der Algorithmisierung. Algorithmisierung ist der Mathematik inhärent.

32 Copyright B. Buchberger Die Informatik ist die Realisierung der Mathematik mit den technologischen Mitteln der heutigen Zeit.

33 Copyright B. Buchberger Beispiele (im Theorema-System) automatische Entscheidung über die Gültigkeit geometrischer Sätze (BB, J. Robu): siehe File Example-Geo-Proving.nb automatisierte Beweise in der elementaren Analysis (BB, D. Vasaru) siehe File Example-Analysis-Proving.nb automatisches Erfinden von Algorithmen (BB, A. Craciun) siehe File Example-Algorithm-Synthesis.nb

34 Copyright B. Buchberger Mathematik (Logik) und Informatik haben als Einheit eine faszinierende Zukunft als das sich selbst automatisierende Denken.


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