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1 „Topologie“ - Wiederholung der letzten Stunde 2 Punktmengentopologie Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge.

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2 1 „Topologie“ - Wiederholung der letzten Stunde

3 2 Punktmengentopologie Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) ) Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt: T1:Jeder Punkt x  S liegt in einer Nachbarschaft von S. T2:Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes x  S enthält eine Nachbarschaft von x. Nachbarschaft Punkt

4 3 Beispiele Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene Menge aller Punkte, die durch einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen punktierte Linie: offen durchgezogene Linie: geschlossen Beachte: T2 ist erfüllt Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines x  S enthält eine Nachbarschaft von x. Offene Kreisscheibe Punkt

5 4 Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele Die diskrete Topologie von S: S und die Menge aller Teilmengen von S die kleinste Nachbarschaft von x ist {x} („Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“) Die indiskrete Topologie S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R) die offenen Kugeln in S = R 3

6 5 Nähe, Offen + Geschlossen Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X  S, x  S x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält. X ist offen, wenn jeder Punkt y  X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist. X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält. C = {(x,y) | x 2 + y 2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. nahe Nicht nahe offen geschlossen

7 6 Der Rand oder die Grenze Der Abschluß einer Teilmenge X  S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten. Notation: X¯ Komplement: X‘ Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X° Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind. Notation:  X Es gilt:  X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.) Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)

8 7 Beispiele Die Menge S Das Innere von S Abschluß von S Rand von S

9 8 Topologische Eigenschaften Eine topologische Transfor- mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar- schaften auf Nachbarschaften ab. Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft. Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen. Euklidische Topologie äquivalent nicht äquivalent Zeugen

10 9 nicht zusammenängend zusammen hängend Zusammenhang (I) Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt. wichtiger Punkt für den schwierigen Fall „A oberer Kreis, B unterer Kreis“

11 10 Zusammenhang (II) Ein Pfad ist homeomorphes Bild (entsteht durch elastische Verformung aus) einer geraden Kante. Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt. (Für Flächen mit „vernünfti- gen“ Grenzen äquivalent zu Definition auf voriger Folie) elastische Verformung Pfadzusammenhang

12 11 Regularisierung X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben). Die Regularisierung von X ist der Abschluß des Inneren von X reg(X) = X°¯ Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen) Inneres Abschluß X reg(X)

13 12 Tesselation Eine Tesselation ist eine vollständige und überlappungsfreie Zerlegung der euklidischen Ebene in flächenhafte Objekte (Maschen). vollständig: jeder Punkt ist Element mindestens einer Masche überlappungsfrei: kein Punkt liegt im Inneren zweier Maschen

14 13 Landkarten Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften: a)jede Masche ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis- scheibe äquivalent ist

15 14 Einschränkungen Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen: Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg) Auseinander liegende „Kontinente“: die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend Mehrere Kontinente, die sich in genau einem Punkt berühren Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen auseinander liegenden Maschen Kontinenten, z.B. Hindenburgdamm/Sylt Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen a) und b) unter Verwendung der Definition der topologischen Äquivalenz.

16 15 Topologische Beziehungen in Landkarten Adjazenz von Knoten und Kanten Adjazenz von Kanten und Maschen Adjazenz von Kanten und Kanten Adjazenz von Maschen und Maschen

17 16 Geometreisch-Topologische Datenstrukturen für Landkarten Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der Geometrie hergeleitet werden Option: „Wieviel“ Topologie wird explizit repräsentiert?

18 17 Repräsentationen von Landkarten 1. Spaghetti- Struktur - nur Geometrie - keine Topologie

19 18 Flächen: A: B: C: Spaghetti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C x y

20 19 UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur Paare von Koordinaten geordnete Folge von Koordinaten [0,0,1,0,1,1,0,1]  [0,0,1,1,0,1,1,0]

21 20 P2 P1 P3b P4a P5a P6 P7b P8 P9 A B C Flächen: A: P1P2P3a P4aP5a B: P4b P3b P6 P7b C: P4cP7b P8 P9P5c P5c P4b P7c P3a P4c Punkte: P P P3a P3b P4a P4b P4c Spaghetti (Komposition von Punktobjekten)

22 21 UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten Masche Punkt n 1..1 {geordnet} Komposition

23 22 2.0, , , 2.0 Vor- und Nachteile Vorteile: bequem für Flächenberechnung gut für Graphikprogramme Zeichnen von Polygonen Nachteile: Topologie nur implizit fehleranfällig wenig änderungsfreundlich Beispiel: Korrektur von Punktkoordinaten P1 P2 P3 P5 P4

24 23 Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes vorher nachher

25 24 P2 P1 P3 P6 P7 P8 P9 A B C Flächen: A: P1P2P3P4P5 B: P4 P3 P6 P7 C: P4P7 P8 P9P5 P5 P4 Punkte: P P P P P P Punktobjekte ohne Redundanz

26 25 UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten ohne Redundanz Masche Punkt n 1..n {geordnet} Aggregation Beachte: Redundanzfreiheit kann durch dies UML-Diagramm nicht erzwungen werden.

27 26 P1 E6 E11 P2 P3 P6 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen Knoten: P P Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten-Maschen- Struktur

28 27 UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur Masche Kante Knoten Punkt 2 3..* begrenzt 2 2..* begrenzt 1 1 Geometrie neu Topologie explizit Redundanzfreiheit wird erzwungen

29 28 Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur Vorteile: Geometrie ist redundanzfrei Topologie ist explizit bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden Nachteil der Kantenumring ist nicht direkt gegeben, sondern muß berechnet werden Lösung: Kanten mit Flügeln


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