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Grundlagen der mathematischen Logik Prof. Dr. Dr. Heribert Popp FH Deggendorf angelehnt an: Franz Pfuff: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, vieweg.

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1 Grundlagen der mathematischen Logik Prof. Dr. Dr. Heribert Popp FH Deggendorf angelehnt an: Franz Pfuff: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, vieweg Verlag, 3 Aufl. Braunschweig 1979

2 Aussage Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Beispiele: p: „Die Kosten sind niedrig“ s: 3 = 0(f) t: = 4(w)

3 Negation ¬p (= nicht p) Es gilt also folgende Wertetabelle: Es gilt also folgende Wertetabelle: Beispiele: ¬p: „Die Kosten sind nicht niedrig“ ¬s: 3 <> 0(w) ¬t: <> 4(f) Beispiele: ¬p: „Die Kosten sind nicht niedrig“ ¬s: 3 <> 0(w) ¬t: <> 4(f) p¬p wf fw

4 Konjunktion p  q (= p und q) Beispiele: p  q: „Die Kosten von BR sindniedrig und die Gewinne von BR sind hoch“ s  t: (3 = 0)  (2 + 2 = 4)(f) Beispiele: p  q: „Die Kosten von BR sindniedrig und die Gewinne von BR sind hoch“ s  t: (3 = 0)  (2 + 2 = 4)(f) pq pqpqpqpq www wff fwf fff

5 Disjunktion p  q (= p oder q) Beispiel: s  t: (3 = 0)  (2 + 2 = 4)(w) Beispiel: s  t: (3 = 0)  (2 + 2 = 4)(w) pq pqpqpqpq www wfw fww fff

6 Implikation I p  q („aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) Beispiel: p: „Der Himmel ist blau“ q: „Es regnet nicht“ p  q : „Wenn der Himmel blau ist, dann regnet es nicht“ pq pqpqpqpq www wff fww ffw

7 Implikation II p  q die Aussage p ist Vorraussetzung (Prämisse) die Aussage q ist die Folgerung (Konklusion). bzw. auch: „p ist eine hinreichende Bedingung für q“ „q ist eine notwendige Bedingung für p“.

8 Äquivalenz p  q gleichbedeutend mit ( p  q )  ( q  p ) „p ist notwendige und hinreichende Bed. für q“ „p gilt genau dann, wenn q gilt“ Beispiel: = 4  2 * 3 = 6 (w) pq pqpqpqpq www wff fwf ffw

9 Reihenfolge der Operatoren 1. Stufe ¬ 2. Stufe ,  3. Stufe ,  So gilt z.B. für folgende Aussage: (p  ¬q)  r  ¬s  q

10 Beweis durch Gegenbeispiel p: „Alle Vögel können fliegen“ Gegenbeispiel: „Pinguin“ als Beweis p:x ist ein Vogel q:x kann fliegen r:x ist Pinguin s:x ist Strauß p  (¬r  ¬s)  q

11 Logischer Beweis I Zeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht der Hahn auf dem Mist, so ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“ immer wahr ist! p: Der Gockel kräht auf dem Mist q: Das Wetter bleibt so ¬q: Das Wetter bleibt nicht so p  (¬ q  q)

12 Logischer Beweis II Zeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht der Hahn auf dem Mist, so ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“ immer wahr ist! pq ¬q¬q¬q¬q q  ¬q p  (q  ¬q) wwfww wfwww fwfww ffwww

13 Gliederung I Folge 2: Mengen und Relationen Folge 3: Arithmetik mit reellen Zahlen Folge 4: Ökonomische Anwendungen von Funktionen einer Variablen Folge 5: Differentiation Folge 6: Ökonomische Anwendungen der Differentiation Folge 7: Integralrechnung und ihre ökonomische Anwendungen Folge 8: Lineare Gleichungssysteme und ihre ökonomische Anwendungen

14 Gliederung II Folge 9: Matrizen und Vektoren und ihre ökonomische Anwendungen Folge 10: Lineare Optimierung Folge 11: Funktionen mehrer Variabler und ihre Differentiation Folge 12: Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen Folge 13/14: Finanzmathematik


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