Grundlagen der mathematischen Logik

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1 Grundlagen der mathematischen Logik
Prof. Dr. Dr. Heribert Popp FH Deggendorf angelehnt an: Franz Pfuff: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, vieweg Verlag, 3 Aufl. Braunschweig 1979

2 Aussage Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Beispiele: p: „Die Kosten sind niedrig“ s: 3 = 0 (f) t: = 4 (w)

3 Negation ¬p (= nicht p) Es gilt also folgende Wertetabelle:
Beispiele: ¬p: „Die Kosten sind nicht niedrig“ ¬s: 3 <> 0 (w) ¬t: <> 4 (f) p ¬p w f

4 Konjunktion p  q (= p und q)
Beispiele: p  q: „Die Kosten von BR sind niedrig und die Gewinne von BR sind hoch“ s  t: (3 = 0)  (2 + 2 = 4) (f) p q pq w f

5 Disjunktion p  q (= p oder q)
Beispiel: s  t: (3 = 0)  (2 + 2 = 4) (w) p q pq w f

6 („aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“)
Implikation I p  q („aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) Beispiel: p: „Der Himmel ist blau“ q: „Es regnet nicht“ p  q : „Wenn der Himmel blau ist, dann regnet es nicht“ p q pq w f

7 Implikation II p  q die Aussage p ist Vorraussetzung (Prämisse)
die Aussage q ist die Folgerung (Konklusion). bzw. auch: „p ist eine hinreichende Bedingung für q“ „q ist eine notwendige Bedingung für p“.

8 p  q gleichbedeutend mit ( p  q )  ( q  p )
Äquivalenz p  q gleichbedeutend mit ( p  q )  ( q  p ) „p ist notwendige und hinreichende Bed. für q“ „p gilt genau dann, wenn q gilt“ Beispiel: = 4  2 * 3 = 6 (w) p q pq w f

9 Reihenfolge der Operatoren
1. Stufe 2. Stufe ,  3. Stufe ,  So gilt z.B. für folgende Aussage: (p  ¬q)  r  ¬s  q

10 Beweis durch Gegenbeispiel
p: „Alle Vögel können fliegen“ Gegenbeispiel: „Pinguin“ als Beweis p: x ist ein Vogel q: x kann fliegen r: x ist Pinguin s: x ist Strauß p(¬r  ¬s)  q

11 Logischer Beweis I ¬q: Das Wetter bleibt nicht so
Zeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht der Hahn auf dem Mist, so ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“ immer wahr ist! p: Der Gockel kräht auf dem Mist q: Das Wetter bleibt so ¬q: Das Wetter bleibt nicht so p  (¬ q  q)

12 Logischer Beweis II Zeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht der Hahn auf dem Mist, so ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“ immer wahr ist! p q ¬q q  ¬q p  (q  ¬q) w f

13 Gliederung I Folge 2: Mengen und Relationen
Folge 3: Arithmetik mit reellen Zahlen Folge 4: Ökonomische Anwendungen von Funktionen einer Variablen Folge 5: Differentiation Folge 6: Ökonomische Anwendungen der Differentiation Folge 7: Integralrechnung und ihre ökonomische Anwendungen Folge 8: Lineare Gleichungssysteme und ihre ökonomische Anwendungen

14 Gliederung II Folge 9: Matrizen und Vektoren und ihre ökonomische Anwendungen Folge 10: Lineare Optimierung Folge 11: Funktionen mehrer Variabler und ihre Differentiation Folge 12: Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen Folge 13/14: Finanzmathematik