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1 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen 5.1.1 Ideales.

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1 1 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen Ideales Gasverhalten Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse

2 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Physikalisches Modell der Idealen Gases: Moleküle haben kein Eigenvolumen und es wirken keine zwischenmolekularen Kräfte Modellbedingungen sind gut erfüllt für wenige Moleküle im Volumen → Eigenvolumen vernachlässigbar, große Entfernung zwischen den Molekülen Bei stark verdünnten Gasen bzw. niedrigen Drücken Modellbedingungen sind gut erfüllt für hohe Temperaturen → wegen der hohen kinetischen Energien sind die intermolekularen Kräfte vernachlässigbar

3 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Ideale Gasgleichung: Ideale Gasgleichung in extensiven Zustandsgrößen: Spezielle oder spezifische Gaskonstante:

4 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Differentielle Schreibweise der Idealen Gasgleichung in spezifischen Größen: aus: mit:

5 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke aus: mit: Differentielle Schreibweise der Idealen Gasgleichung in extensiven Größen:

6 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Hieraus erhält man für eine isobare (dp = 0) ZÄ in einem Kontrollraum (dV = 0) (z.B. Beheizung eines Wohnraums): Mit zunehmender Temperatur muss immer mehr Luft aus dem Raum verdrängt werden bzw.

7 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Ideale Gasgleichung in molaren Größen: mit der Molmasse: mit dem Molvolumen: und der universellen Gaskonstanten:

8 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Erinnern Sie sich? Satz von Avogadro „Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur sind die Volumina von 1 mol unterschiedlicher Gase gleich groß“

9 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Normmolvolumen, i.e. Molvolumen bei t n = 0°C und p n = bar :

10 Ideales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Ideale Gasgleichung für stationäre Fließprozesse:

11 11 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen Ideales Gasverhalten Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse

12 Bei hohen Drücken und niedrigen Temperaturen wie auch in der Nähe der Siedelinie (Dampfzustand) ist die Ideale Gasgleichung sehr ungenau Reales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Realgaszustand Lösungsansätze: kubische Zustandsgleichung (z.B. van-der-Waals´sche Gleichung) Virialgleichungen(Reihenentwicklung des Realgasfaktors) (wird nicht weiter behandelt) Der Realgasfaktor z ist ein Maß für die Abweichung vom idealen Verhalten:

13 Reales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Der Realgasfaktor z für Wasserdampf 1 0,22 0,43 0,87 0, z t in °C Taulinie Nach: Stephan et al., Thermodynamik, Band1, Springer Verlag, 18. Aufl.

14 Reales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Der Realgasfaktor z für Luft z T in K Quelle: Geller, Thermodynamik für Maschinenbauer, Springer Verlag, 4. Aufl.

15 Reales Gasverhalten Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Der Realgasfaktor z für Luft z p in bar

16 16 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen Ideales Gasverhalten Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse

17 17 5.2Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Realen Prozessen werden spezielle ZÄ zugeordnet Isobare: Rohrströmung, Wärmeübertrager ohne Druckverluste, Brennkammer Isochore: geschlossene Behälter, schnell ablaufende Reaktionen im Motor Isotherme: Wärmeübertrager mit Phasenwechsel, langsam ablaufende Kompression bzw. Expansion mit Wärmeab- bzw. zufuhr Isentrope: Adiabate Maschinenprozesse mit vernachlässigbaren Verlusten Falls keine der speziellen ZÄ zutrifft, wird die so genannte polytrope ZÄ verwendet Polytrope: Beliebige ZÄ

18 18 5.2Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Beschränkt man sich auf reversible ZÄ, so wird es möglich, für reale Prozesse sogenannte Vergleichsprozesse zu definieren, die I. einfach zu berechnen sind II. einige wesentliche Eigenschaften des realen Prozesses wiedergeben Für die Berechnung benötigt werden dann lediglich: der Anfangszustand III. als optimale Prozesse als Maßstab für die Güte des realen Prozesses dienen können eine Angabe über den Verlauf eine Angabe über den Endzustand

19 19 5.2Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Im Kapitel 5.2 werden für alle 5 erwähnten ZÄ folgende Angaben gemacht: I. die thermische Zustandsgleichung II. die spezifische Volumenänderungsarbeit III. die spezifische Druckänderungsarbeit IV. die reversibel übertragene Wärme (q 12 ) rev, bzw. die Summe aus Wärme und Dissipationsarbeit q 12 + ψ 12 Im Kapitel 5.2 werden Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien grundsätzlich nicht berücksichtigt!

20 20 5.2Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Achtung! Die spezifische Volumenänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (w 12 ) rev der an einem einfachen, geschlossenen System verrichteten Arbeit an Die spezifische Druckänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (w t12 ) rev der technischen Arbeit bei einem stationären Fließprozess an Die gesamte Arbeit gemäß: w 12 = (w 12 ) rev + ψ 12 bzw.w t12 = (w t12 ) rev + ψ 12 wird mit Hilfe des 1. HS berechnet: w 12 + q 12 = u 2 – u 1 bzw.w t12 + q 12 = h 2 – h 1

21 21 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen Ideales Gasverhalten Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse

22 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Maschinen wie Pumpen, Verdichter und Turbinen können meist als adiabat behandelt werden Wegen:adiabat + reversibel = ► isentrop Der zugehörige isentrope Maschinenprozess kann als Gütebeurteilung des realen Prozesses dienen

23 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Aus den beiden Formulierungen der Gibbs´schen Fundamentalformel T ∙ ds = du + p ∙ dv = 0 T ∙ ds = dh – v ∙ dp = 0 und der idealen Gasgleichung p ∙ v = R ∙ T mit dem Isentropenexponenten κ : Isentropengleichung:

24 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Der Isentropenexponent κ ist eine Stoffgröße und für Ideale Gase eigentlich eine Temperaturfunktion Für einatomige Gase (He, Ne, Ar, Kr, Xe) gilt: Auch sonst kann man bis 200°C meist mit konstantem κ rechnen: t κ Quelle: Baehr/Kabelac: Thermodynamik, Springer Verlag, 13. Aufl.

25 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Wegen c p (T) – c v (T) = R > 0, gilt immer κ > 1 Die Isentrope fällt im p-v-Diagramm steiler ab als die Isotherme p v Isentrope: p ∙ v κ = const Isotherme: p ∙ v = const v1v1 p1p1 1

26 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Aus der Isentropengleichung: mit der idealen Gasgleichung p ∙ v = R ∙ T (Isentropengleichungen)

27 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Spezifische Volumenänderungsarbeit oder: aus:

28 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Spezifische Druckänderungsarbeit oder: ebenso: Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Isentropenexponent κ

29 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Wärme und Dissipationsenergie q 12 + ψ 12 Eine irreversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn Wärme abgeführt wird Eine reversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn sie adiabat verläuft adiabat + reversibel = ► isentrop

30 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Isentroper Verdichterwirkungsgrad η sV Verhältnis von theoretisch (minimal) aufzuwendender (isentroper) Antriebsarbeit zu tatsächlich aufzuwendender Antriebsarbeit Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant, gilt: wobei:

31 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Beispiel: Kompression von Wasserdampf von 1 bar, 150°C auf 10 bar Δ h s = 600 kJ/kg Δ h real = 860 kJ/kg s in kJ/(kg ∙ K) 2 1 → 2´: Idealfall (minimale Arbeit) 1 1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit) 2´ (adiabate) Kompression in einem Verdichter h in kJ/kg

32 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Isentroper Turbinenwirkungsgrad η sT Verhältnis von tatsächlich gewonnener Turbinenarbeit zu theoretisch maximal zu gewinnender (isentroper) Arbeit Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant: wobei:

33 Die isentrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke (adiabate) Expansion in einer Turbine Beispiel: Expansion in Dampfturbine von 50 bar, 400°C auf 0,1 bar Δ h s = 1095 kJ/kg Δ h real = 821 kJ/kg h in kJ/kg s in kJ/(kg ∙ K) 2´ 2 1 → 2´: Idealfall (größtmögliche Arbeit) 1 1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit)

34 34 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen Ideales Gasverhalten Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse

35 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Kann einem realen Prozess keine der Iso-ZÄ zugeordnet werden, wählt man eine Ersatz-ZÄ in der Form: Vorteil: wegen des gleichen Aufbaus wie muss in den Gleichungen für die isentrope ZÄ nur κ gegen n ausgetauscht werden Der Paramteter n wird als Polytropenexponent bezeichnet n ist (im Gegensatz zu κ ) keine Stoffgröße Die Zustandsgleichung p ∙ v n = const wird als Polytropengleichung bezeichnet

36 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke (Polytropengleichungen) (für technische Anwendungen liegt n oft im Bereich 1 < n < κ ) Bei der Polytropengleichung handelt es sich um eine einparametrige Approximationsfunktion, deren Parameter n so gewählt wird, dass die Zustandsfunktion durch Ein- und Ausgangs- bzw. Anfangs- und Endzustand verläuft → Bestimmungsgleichungen für n:

37 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Weiter muss gelten: Spezifische Volumenänderungsarbeit Spezifische Druckänderungsarbeit Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Polytropenexponent n

38 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Aus: Oder mit der spezifischen polytropen Wärmekapazität c n ist keine Stoffgröße

39 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Jetzt können alle 5 ZÄen auf einfache Weise im p-v-Diagramm dargestellt werden: p ∙ v a = const für a = 0: für a = 1: für a = κ : für a = n: für a → ∞ : Isobare Isotherme Isentrope Polytrope Isochore mit:

40 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Darstellung von p ∙ v a = C im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) 1

41 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Darstellung im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) Isentrope (a = 1,4) 1

42 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Darstellung im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) Isentrope (a = 1,4) Isobare (a = 0) 1

43 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Darstellung im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) Isentrope (a = 1,4) Isobare (a = 0) Isochore (a → ∞ ) 1

44 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1 a = -1

45 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1; Aufg. 5: a ≈ -2 a = -1 a = -2 Polytrope ZÄen

46 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die Isochore trennt das Diagramm in Expansions- und Kompressionsbereich ExpansionKompression

47 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die Isotherme trennt das Diagramm in zu- und abnehmende Temperaturen Zunehmende Temperatur Abnehmende Temperatren

48 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für reversible ZÄ gilt: Dann gilt:wenn 1 < n < κ c n < 0 bei Expansion mit (T 2 - T 1 ) < 0 muss Wärme zugeführt werden bei Kompression mit (T 2 - T 1 ) > 0 muss Wärme abgeführt werden

49 Kompression Expansion Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 1 < n < κ Expansion mit (T 2 - T 1 ) < 0 Kompression mit (T 2 - T 1 ) > 0

50 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für reversible ZÄ gilt: Dann gilt:wenn n > κ c n > 0 Bei Expansion mit (T 2 - T 1 ) < 0 muss Wärme abgeführt werden bei Kompression mit (T 2 - T 1 ) > 0 muss Wärme zugeführt werden

51 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke n > κ Kompression Expansion Expansion mit (T 2 - T 1 ) < 0 Kompression mit (T 2 - T 1 ) > 0

52 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Ebenso:wenn 0 < n < 1c n > 0 Bei Expansion mit (T 2 - T 1 ) > 0 muss Wärme zugeführt werden bei Kompression mit (T 2 - T 1 ) < 0 muss Wärme abgeführt werden

53 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 0 < n < 1 Kompression Expansion Expansion mit (T 2 - T 1 ) > 0 Kompression mit (T 2 - T 1 ) < 0

54 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Ebenso: - ∞ < n < 0c n > 0 Bei Expansion mit (T 2 - T 1 ) > 0 muss Wärme zugeführt werden bei Kompression mit (T 2 - T 1 ) < 0 muss Wärme abgeführt werden

55 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke - ∞ < n < 0 Kompression Expansion Expansion mit (T 2 - T 1 ) > 0 Kompression mit (T 2 - T 1 ) < 0

56 Die polytrope Zustandsänderung Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zustandslinie n = κ ist Grenze zwischen Wärmezu- und abfuhr bei reversiblen ZÄen 1

57 57 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen Ideales Gasverhalten Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse

58 58 5.3Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Jeder Prozess, der ein Fluid von einem gegebenen Anfangszustand über mehrere Zwischenzustände wieder in den Anfangszustand zurück bringt heißt Kreisprozess z.B. der Wasserkreislauf in einem Dampfkraftwerk (Vergleichsprozess) Pumpe Turbine Kondensator Dampferzeuger a b

59 ab Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Darstellung des Dampfkraftprozesses im T-s-Diagramm: T s a b 1 → 2 : isentrope Druckerhöhung 2 → a : isobare Vorwärmung a → b : isobare Verdampfung b → 3 : isobare Überhitzung 3 → 4 : isentrope Entspannung 4 → 1 : isobare Kondensation

60 60 5.3Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 1. HS für Kreisprozesse: Für einen beliebigen, stationären Kreisprozess bestehend aus n ZÄen gilt für die Gesamtbilanz (geschlossener Kontrollraum): ZÄ 1ZÄ iZÄ 3ZÄ 2ZÄ n (w t ) n,n+1 = (w t ) n,1 q n,n+1 = q n,1 (w t ) 12 q 12 (w t ) 23 q 23 (w t ) 34 q 34 (w t ) i,i+1 q i,i+1 Die Summe aller technischen Arbeiten zuzgl. der Summe aller Wärmen, die über die Grenze geht ist gleich Null: wobei Zustand n+1 gleich Zustand 1 ist

61 61 5.3Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Mit der Definition der Nutzarbeit des Kreisprozesses als insgesamt abgegebene technische Arbeit: 1. Hauptsatz für Kreisprozesse „Die Nutzarbeit des Kreisprozesses (-w t ) ist gleich dem Überschuss der als Wärme aufgenommenen Energie über die als Wärme abgegebene“

62 62 5.3Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Schlussfolgerungen: Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird, so ist die Nutzarbeit positiv, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist negativ) Der KP gibt Arbeit nach außen ab, es handelt sich um eine Wärmekraftanlage Zweck der Wärmekraftanlage ist es, Nutzarbeit zu liefern z.B. Dampfkraftanlage oder Verbrennungsmotor

63 63 5.3Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Schlussfolgerungen: Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme entzogen als zugeführt, so ist die Nutzarbeit negativ, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist positiv) Der KP benötigt Arbeit von außen, es handelt sich um eine Kälteanlage Zweck der Kälteanlage ist der Transport von Wärme von niedriger zu höherer Temperatur z.B. Kühlschrank oder Wärmepumpe

64 64 5.3Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Das Nutzen-Aufwand-Verhältnis bei thermischen Anlagen heißt thermischer Wirkungsgrad: Thermische Anlage: Anlage, die einen Wärmestrom von einer Wärmequelle erhält und einen Wärmestrom an eine Wärmesenke abgibt. Außerdem wird Arbeit von einem anderen System aufgenommen oder an ein solches abgegeben Die thermischen Anlagen unterteilen sich in Wärmekraftanlagen, Verbrennungskraftanlagen und Kälteanlagen (das Nutzen/Aufwand- Verhältnis bei Kälteanlagen wird als Leistungsziffer ε bezeichnet)


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