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Boolesche Algebra Boolesche Algebra  Einführung in die Boolesche Algebra  George Boole  Operationen der Booleschen Algebra  Gesetze der Booleschen.

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2 Boolesche Algebra Boolesche Algebra  Einführung in die Boolesche Algebra  George Boole  Operationen der Booleschen Algebra  Gesetze der Booleschen Algebra  Funktionen über der Booleschen Algebra (x  y)  (  x   y) = [(x  y)   x]  [(x  y)   y] = [(x   y)  y]  [x   y)] = (1  y)  (x  1) = 1  1 = 1 (x  y)  (  x   y) = [x  (  x   y)]  [y  (  x   y)] = [(x   x)   y]  [(y   y)   x] = (0   y)  (0   x) = 0  0 = 0

3 Einführung in die Boolesche Algebra Einführung in die Boolesche Algebra  Algebren (logische Systeme) - Grundlagen von elementaren Schaltungen, Prozessorarchitekturen, höheren Programmiersprachen sowie Spezifikation und Verifikation von Programmen.  Schaltalgebra - Sonderform der Boolschen Algebra - vom Mathematiker George Boole ( ) entwickelt worden.  Berechnung und Vereinfachung der Digitalschaltungen (z.B. für Verschlüsselungen). Man arbeitet mit wahren und falschen Aussagen, die mit 0 und 1 gekennzeichnet werden.  = nicht  = und  = oder

4 George Boole George Boole  *  †  Englischer Mathematiker und Lokigker  …war Autodidakt und lernte sich die Mathematik selbst an  wurde Universitätsprofessor (aufgrund seiner wissenschaftlichen Arbeiten) bis zu seinem Tode  *  †  Englischer Mathematiker und Lokigker  …war Autodidakt und lernte sich die Mathematik selbst an  wurde Universitätsprofessor (aufgrund seiner wissenschaftlichen Arbeiten) bis zu seinem Tode

5 Operationen Operationen Boolesche Algebra : Menge {0, 1}Boolesche Algebra : Menge {0, 1} Operationen : , , Operationen : , ,   und  sind binäre Operationen  und  sind binäre Operationen  = unäre Operation  bezieht sich nur auf eine Größe  = unäre Operation  bezieht sich nur auf eine Größe    01 10

6 Gesetze der Booleschen Algebra 1)Kommutativgesetz: a) x  y = y  x b) x  y = y  x 2) Assoziativ- : a) (x  y)  z = x  (y  z) b) (x  y)  z = x  (y  z) 3) Distributiv- : a) x  (y  z) = (x  y)  (x  z) b) x  (y  z) = (x  y)  (x  z) 4) Absorptions- : a) x  (x  y) = x b) x  (x  y) = x 1)Kommutativgesetz: a) x  y = y  x b) x  y = y  x 2) Assoziativ- : a) (x  y)  z = x  (y  z) b) (x  y)  z = x  (y  z) 3) Distributiv- : a) x  (y  z) = (x  y)  (x  z) b) x  (y  z) = (x  y)  (x  z) 4) Absorptions- : a) x  (x  y) = x b) x  (x  y) = x

7 Funktionen über der Booleschen Algebra Eine n-stellige Boolesche Funktion ordnet jeder Belegung der Variablen x1, x2,...,xn mit den Wahrheitswerten „wahr“ oder „falsch“ genau einen Wahrheitswert zu. Beispiel: f (0,0, 1, 1, 1) = 0 Eine n-stellige Boolesche Funktion ordnet jeder Belegung der Variablen x1, x2,...,xn mit den Wahrheitswerten „wahr“ oder „falsch“ genau einen Wahrheitswert zu. Beispiel: f (0,0, 1, 1, 1) = 0 e:01Logische Funktion Funktionstyp f1.000 a1. 0 = 0Nullfunktion f1.101 a1. 1 = eIdentität f1.210 a1.2 = ¬ eNegation f1.311 a1.3 = 1Einsfunktion

8 … wurde referiert von Dagmar Zahradnik und Vesna Djukic


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