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1 Kapitel 4:Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 4.1 Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes 4.2 Die Entropie 4.2.1 Definition.

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1 1 Kapitel 4:Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 4.1 Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes 4.2 Die Entropie Definition der Entropie Berechnung von Änderungen der Entropie Berechnung von Enthalpie- und Entropiewerten im Flüssigkeitsgebiet

2 2 4.1Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Der 2. Hauptsatz gibt die Erfahrungstatsache wieder, dass jeder reale Prozess irreversibel ist und somit nur in einer Richtung ablaufen kann Im Gegensatz zur Mechanik unterscheidet die Thermodynamik zwischen Vergangenheit und Zukunft Dies steht im Widerspruch zu den Gesetzen der Mechanik, die reversibel sind Die klassische Mechanik kennt nur den 1. Hauptsatz

3 3 4.1Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Reale Prozess können eingeteilt werden in: Dissipationsprozesse z.B.: Geschlossenes System mit Wellenarbeit z.B.: Geschlossenes System mit TemperaturausgleichW TLTL T R > T L T R = T L Ausgleichsprozesse

4 4 4.1Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Alle Dissipations- und Ausgleichsprozesse sind irreversibel Alle realen Prozesse sind irreversibel

5 5 Kapitel 4:Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 4.1 Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes 4.2 Die Entropie Definition der Entropie Berechnung von Änderungen der Entropie Berechnung von Enthalpie- und Entropiewerten im Flüssigkeitsgebiet

6 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für die rechnerische Erfassung der Gerichtetheit realer Prozesse benötigen wir eine neue physikalische Größe An Ausgleichsprozessen abgeschlossener Systeme erkennt man: das System strebt einem (thermischen) Endzustand entgegen, der durch den 1.HS festgelegt ist Die neue Größe hängt vom (thermischen) Zustand ab Die neue Größe muss eine Zustandsgröße sein Die neue Größe heißt Entropie

7 Durch Bewegung des Kolbens kann die innere Energie (reversibel) erhöht oder erniedrigt werden Wir betrachten ein adiabates System mit reibungsfreiem Kolben und Schaufelrad Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie v1v1 v2v2 Durch Drehen des Schaufelrades kann die innere Energie nur erhöht werden wWwW wvwv

8 Die Linie stellt eine reversible Adiabate dar Zustände unterhalb der Linie sind für adiabate Systeme nicht erreichbar Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie u v v1v1 v2v2 u2u2 u1u1 2 1

9 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie u v v2v2 u2u2 u1u1 Zustände oberhalb der reversiblen Adiabaten sind für das adiabate System durch Wellenarbeit (Dissipation) erreichbar! 1´ 1 v1v1 2 w

10 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie v v1v1 v2v2 u 2´ u 1´ Auch diese Linie stellt eine reversible Adiabate dar u Zustände unterhalb der Linie sind für adiabate Systeme auch hier nicht erreichbar 1´ 1 2 2´

11 Die beiden Linie können sich nie schneiden oder auch nur berühren! Egal wie nah beieinander sie sind, egal wie klein w w = (u 1´ - u 1 ) war Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie v v1v1 v2v2 u 2´ u 1´ u 1´ 1 Die Linien sind Iso-Linien Auf ihnen ist ein Zustandsgröße konstant 2 2´ u1u1 w

12 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie v v1v1 v2v2 Die neue Zustandsgröße ist die Entropie S u 1´ 1 Die Linie heißen Isentropen Die zugehörigen ZÄ heißt isentrope ZÄ 2 2´

13 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie v v1v1 v2v2 u 1´ 1 2 2´ S´ > S S = const. Der Wert der Entropie soll mit u ansteigen

14 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie v v1v1 v2v2 u 1´ 1 2 2´ Wird nun die Wärmedämmung entfernt, kann man durch Wärmeentzug von 1´ zurück zu 1 gelangen! S S´

15 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Zur Herleitung der Entropie v v1v1 v2v2 u 1´ 1 2 2´ Oder durch Wärmezufuhr von 1 nach 1´! S S´

16 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Der Wert der Entropie kann durch Dissipation nur erhöht werden Schlussfolgerungen: Dissipation erzeugt Entropie! Δ S irr ~ ΔΨ > 0 Der Wert der erzeugten Entropie soll proportional zur Dissipationsenergie sein

17 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Schlussfolgerungen: Der Wert der Entropie wird durch Wärmezufuhr erhöht Der Wert der Entropie wird durch Wärmeentzug erniedrigt Wärme transportiert Entropie! Δ S q ~ Δ Q >=< 0 Der Wert der transportierten Entropie soll proportional zur Wärmeenergie sein

18 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die mathematische Beschreibung der Entropie gelingt mit Hilfe des 1. HS Der Proportionalfaktor zwischen dS und dQ+d Ψ ist die thermodynamische Temperatur T Die gesamte Entropieänderung Δ S setzt sich aus Δ S irr + Δ S q zusammen: dS = dS irr + dS q ~ dQ + d Ψ (für einfache Systeme)

19 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die Entropie ist eine extensive Zustandsgröße: A B S S S = S A + S B

20 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke I Jedes (einfache) geschlossene System besitzt eine extensive Zustandsgröße S, die Entropie: oder: 2. Hauptsatz für einfache Systeme

21 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke II Für adiabate Systeme gilt: 2. Hauptsatz für einfache Systeme Die Entropie eines adiabaten Systems kann nicht abnehmen! Unmöglicher Prozess! Die Entropie eines adiabaten Systems mit irreversibler ZÄ Kann nur zunehmen! Die Entropie eines adiabaten Systems mit reversibler ZÄ ist konstant! adiabat + reversibel = ► isentrop

22 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die spezifische Entropie s: Die Entropie reiner Stoffe ist bei 0K gleich Null (3. HS der Thermodynamik) Uns interessieren nur Entropiedifferenzen Die Entropiewerte in Tabellen und Diagrammen haben einen willkürlich gewählten Nullpunkt

23 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die Gibbs´sche Fundamentalformel (für einfache Systeme): Stellt die Verknüpfung zwischen thermischer und kalorischer Zustandsgleichung und der Entropiegleichung her p = p(T; v)thermische Zustandsgl. u = u(T; v)kalorische Zustandsgl. s = s(T; v)Entropie - Zustandsgl. (Zusammenhang wird nicht weiter behandelt) bzw.

24 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die Entropieerzeugung ist ein Maß für die Irreversibilität einer ZÄ Je größer die Entropieerzeugung einer ZÄ, desto stärker nimmt die Fähigkeit des Systems ab, Arbeit zu verrichten Je größer die Entropieerzeugung bei Ausgleichsprozessen, desto mehr Energie wird dabei in thermische innere Energie umgewandelt

25 Definition der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die Entropie kann als Maß für die Unordnung in einem System angesehen werden: je größer die Unordnung, desto größer die Entropie Die Entropie kann auch als Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Zustands angesehen werden: je wahrscheinlicher der Zustand, desto größer die Entropie

26 26 Kapitel 4:Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 4.1 Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes 4.2 Die Entropie Definition der Entropie Berechnung von Änderungen der Entropie Berechnung von Enthalpie- und Entropiewerten im Flüssigkeitsgebiet

27 Berechnung von Änderungen der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für die Berechnung von Entropiedifferenzen muss das Integral gelöst werden Das ist nur in wenigen Spezialfällen möglich

28 Berechnung von Änderungen der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Entropieänderung Idealer Gase mit:und ebenso:

29 Berechnung von Änderungen der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Ideale Gase mit konstanten Stoffwerten: Entropieänderung Idealer Gase bzw.

30 Berechnung von Änderungen der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für: Entropieänderung inkompressibler Flüssigkeiten mit:

31 Berechnung von Änderungen der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für inkompressible Flüssigkeiten mit konstanten Stoffwerten: Entropieänderung inkompressibler Flüssigkeiten isentrope ZÄ= ► isotherme ZÄ ( T 2 = T 1 ) Δ h = h 2 – h 1 = v 0 ∙ (p 2 – p 1 )(für isentrope ZÄ)

32 Berechnung von Änderungen der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Nassdampf: Entropieänderung von Nassdampf s d = s´ + x d ∙ (s´´- s´) Mit s´ und s´´ aus Dampftafeln z.B. für Wasser: Normierung: s´ = 0 kJ/(kg ∙ K) bei t = t tr = 0,01°C für: 0 ≤ x d ≤ 1

33 Berechnung von Änderungen der Entropie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für die meisten anderen Fälle können die Entropiewerte aus Tabellen oder Diagrammen als Funktion der Temperatur und des Drucks entnommen werden z.B. für Luft in kJ/(kg ∙ K): Normierung: s = 0 kJ/(kg ∙ K) bei 25°C und p = 1,01325 bar Quelle: VDI-Wärmeatlas, 10. Aufl. (2006)

34 34 Kapitel 4:Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 4.1 Allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes 4.2 Die Entropie Definition der Entropie Berechnung von Änderungen der Entropie Berechnung von Enthalpie- und Entropiewerten im Flüssigkeitsgebiet

35 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke h und s sind Zustandsgrößen Berechnung kann auf beliebigem Weg erfolgen Wegen der Inkompressibilität von Flüssigkeiten wird als Berechnungsweg gewählt: I. Isotherm-isochore Drucksteigerung vom Normierungspunkt (i.d.R. auf der Siedelinie) bis zum gewünschten Druck (physikalisch eigentlich unmöglich) II. Isobare Erwärmung von der Normierungs-Temperatur auf die gewünschte Temperatur

36 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Berechnung der Enthalpie im Flüssigkeitsgebiet Gesucht h 1, ausgehend vom Normierungspunkt N auf der Siedelinie v p K pNpN Isotherme t N Taulinie vNvN N Siedelinie Isotherme t 1 p1p1 I. Isotherm-isochore Drucksteigerung II. Isobare Erwärmung 1 v1v1 Z

37 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Erläuterungen zur Berechnung dh = v ∙ dp I. Isotherm-isochore Drucksteigerung vom Normierungspunkt N auf den gewünschten Druck p 1 außerdem: du = 0, da isotherm und isochor vNvN v1v1 v p K pNpN Isotherme t N N Isotherme t 1 p1p1 Z 1

38 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Erläuterungen zur Berechnung II. Isobare Er- wärmung auf t 1 : vNvN v1v1 v p K pNpN Isotherme t Z N Isotherme t 1 p1p1 Z 1

39 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Erläuterungen zur Berechnung Für Wasser: mit t N = t tr ≈ 0°C und Mit c W = 4,184 kJ/(kg ∙ K) und v´ tr = 0,001 m 3 /kg für Wasser bis p 1 = 200 bar und t 1 = 80°C Fehler < 1% Berechnung mit anderen Werten von c W auch für höhere Temperaturen möglich (für Wasser)

40 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die Normierung (Nullpunkts-Festlegung) kann prinzipiell beliebig erfolgen (i.d.R. auf der Siedelinie) z.B. für Wasser international üblich: u und s der siedenden Flüssigkeit am Tripelpunkt gleich Null: u´(T tr = 273,16K) = 0 kJ/kg s´(T tr = 273,16K) = 0 kJ/(kg ∙ K) h´(T tr = 273,16K) = 611,783 J/kg ≈ 0 kJ/kg für Kältemittel (R134a; CO 2 ; NH 3 ; …) üblich: h´(t = 0°C) = 200 kJ/kg s´(t = 0°C) = 1,0 kJ/(kg ∙ K) beim zugehörigen Siededruck

41 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Alternativer Berechnungsweg: Isotherme Abkühlung vom Siedezustand beim gewünschten Druck auf die gewünschte Temperatur

42 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Berechnung der Enthalpie im Flüssigkeitsgebiet Gesucht h 1, ausgehend vom Zustand 1´ auf der Siedelinie bei p 1 v p K Taulinie Isotherme t 1 Isotherme t´(p 1 ) p1p1 Isobare Abkühlung v1v1 1´

43 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Wasser mit c W = 4,184 kJ/(kg ∙ K) ist man wegen t 1 < 80°C und t´(p 1 =0,5 bar) = 81,4°C auf Drücke < 0,5 bar beschränkt Auch hier gilt: Berechnung mit anderen Werten von c W auch für höhere Drücke (Temperaturen) möglich

44 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Berechnung der Entropie im Flüssigkeitsgebiet I. Isotherm-isochore Drucksteigerung vom Normierungspunkt N auf den gewünschten Druck p 1 T ∙ ds = du + p ∙ dv ds = 0 s Z = s´ N mit du = 0 und dv = 0 vNvN v1v1 v p K pNpN Isotherme t N N Isotherme t 1 p1p1 Z 1

45 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Berechnung der Entropie im Flüssigkeitsgebiet II. Isobare Erwärmung von t Z auf t 1 vNvN v1v1 v p K pNpN Isotherme t Z N Isotherme t 1 p1p1 Z 1

46 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Berechnung der Entropie im Flüssigkeitsgebiet Speziell für Wasser mit s´ N = s´ tr = 0 kJ/(kg ∙ K) und T tr ≈ 273 K (für Wasser)

47 Berechnung von Enthalpie- und Entropie- werten im Flüssigkeitsgebiet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Alternativer Berechnungsweg: Isotherme Abkühlung vom Siedezustand beim gewünschten Druck auf die gewünschte Temperatur 1 v p K Isotherme t 1 Isotherme t´(p 1 ) 1´ p1p1


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