Intelligente Systeme - Wissen aus Daten gewinnen

Intelligente Systeme - Wissen aus Daten gewinnen
Fachhochschule Karlsruhe – Hochschule für Technik Fachbereich Informatik Intelligente Systeme - Wissen aus Daten gewinnen Prof. Dr. Norbert Link

Intelligente Systeme - Inhaltsverzeichnis
1. Was leisten intelligente Systeme ? 4 Selbstexperimente Analyse der Selbstexperimente 9 Beispielanwendungen Intelligente Systeme und deren Aufgabe 18 2. Ein vereinfachtes System-Beispiel 22 Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschine 3. Statistische Fundamente Bayes´sche Entscheidungstheorie Mehr als ein Merkmal Mehrere Merkmale, mehrere Klassen 53 Entscheidungsfunktionen und –flächen 56 Wie weiter ? 4. Entscheidungsflächen und –funktionen 69 Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Grundlagen Das Perzeptron Lineare Klassifikation nicht linear trennbarer Klassen 87 Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen 88 Kleinste-Quadrate-Klassifikatoren 96 Stochastische Approximation und der LMS Algorithmus 100 6. Nicht-lineare Klassifikatoren Mehrschicht-Perzeptrons Backpropagation-Algorithmus Netzgröße und –struktur Konvergenzverhalten und Beschleunigung 136 Lernstrategien Alternative Kosten- und Aktivierungsfunktionen 137 Vorlesung "Intelligente Systeme"

7. Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl 140 Merkmalsvorverarbeitung Merkmalsbewertung und -auswahl 8. Merkmalserzeugung Hauptkomponententransformation Signalabtastung und Frequenzraumdarstellung 165 9. Einbringen von a priori Wissen Zeitdiskrete Prozesse: Hidden-Markov-Modelle 175 Kausale Zusammenhänge: Bayesian Belief Networks 185 Randbedingungen: Kostenfunktion-Regularisierung 192 10. Nicht-parametrische Klassifikatoren 197 k-NN Klassifikatoren 11. Selbst-organisierende Karten Kohonen-Karten Vorlesung "Intelligente Systeme"

1. Leistung intelligenter Systeme
Vorschau über das Kapitel Selbstversuche Analyse der Selbstversuche Beispiel-Anwendungen Schlussfolgerungen aus den Beispielen Vorlesung "Intelligente Systeme"

Intelligenz Intelligenz (lat.: intelligentia = "Einsicht, Erkenntnisvermögen", intellegere = "verstehen") bezeichnet im weitesten Sinne die Fähigkeit zum Erkennen von Zusammenhängen und zum Finden von optimalen Problemlösungen. Künstliche Intelligenz (KI) Nachbildung menschlicher Intelligenzleistungen in Software. Technischer Einsatz in intelligenten Systemen. Anwendungsbereiche: Optimierungsprobleme (Routenplanung, Netzwerke), Umgang mit natürlicher Sprache (Spracherkennung, automatisches Übersetzen, Internet-Suchmaschinen), Datenanalyse (Data Mining, Business Intelligence) Umgang mit natürlichen Signalen (Bildverstehen und Mustererkennung). Vorlesung "Intelligente Systeme"

Selbstversuch 1 Hören Sie sich die folgenden Geräusche an. Was hören Sie ? Erstes Beispiel Musik Zweites Beispiel Ein Tier Drittes Beispiel Eine Maschine Vorlesung "Intelligente Systeme"

Selbstversuch 2 Hören Sie sich die folgenden Geräusche an. Welches Musikinstrument hören Sie ? Erstes Beispiel Hammond-Orgel Zweites Beispiel Trommeln (Congas) Drittes Beispiel Elektrische Gitarre Vorlesung "Intelligente Systeme"

Selbstversuch 3 Hören Sie sich die folgenden Geräusche an. Welches Tier hören Sie ? Erstes Beispiel Elephant Zweites Beispiel Affe Drittes Beispiel Flugzeug-Landeklappe Ihr Mustererkennungssystem wurde vermutlich durch eine falsche Erwartung getäuscht. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Selbstversuch 4 Hören Sie sich die folgenden Sounds an. Welchen Unterschied detektieren Sie ? Erstes Beispiel Zweites Beispiel Drittes Beispiel Propellerflugzeug 500 rpm rpm rpm Vorlesung "Intelligente Systeme"

Selbstversuche Ergebnis In Begriffen der Mustererkennung haben Sie saubere Arbeit geleistet: 1) in Schall-Klassifikation und 2) in Größen-Schätzung aus Schallsignalen Letzteres haben Sie wahrscheinlich auch erkannt. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Analyse der Selbstversuche Was ist bei Ihnen vorgegangen ? Musik Tier-Geräusch Motor-Geräusch Schall- quelle Druck- wellen Ohr Nerven- signal Verarbeitung Im Gehirn Klassen- zugehörigkeit Signal Daten Semantik Vorlesung "Intelligente Systeme"

Analyse der Selbstversuche Technologisches Äquivalent Objekt Geräusch Primär- signal Mikrophon Wandler (Sensor) El. Spannung Sekundär- signal Filter/Ampl. Signalauf- bereitung Spannung Sensorsystem Ausgang rpm zu niedrig 0.06 Klasse Wahrscheinlichkeit rpm ok 0.92 Klasse Wahrscheinlichkeit rpm zu hoch 0.02 Klasse Wahrscheinlichkeit Klassifikator Mustererkennungs- gerät Vorlesung "Intelligente Systeme"

Analyse der Selbstversuche Ein “rpm aus Geräusch” Klassifikator könnte so funktionieren: 0.90 0.03 0.07 0.08 0.89 0.03 0.01 0.07 0.92 rpm zu niedrig Klasse 1 rpm ok Klasse 2 rpm zu hoch Klasse 3 Klassifikator Mustererkennungs- gerät Vorlesung "Intelligente Systeme"

Zusammenfassung unserer Selbstversuch-Erfahrung Wir haben das Vorliegen einer bestimmten Unterklasse aus einer möglichen Menge einer Oberklasse anhand eines Teilaspekts (Geräusch, Bild, …) festgestellt. Die Klassenzugehörigkeit ist mit Semantik verbunden. Das Ergebnis (Bestimmung der Unterklasse) hing ab von der Aufgabe (Vorgabe der Oberklasse). Die Aufgabe bestimmte somit die Menge der möglichen Unterklassen. Wird die Oberklasse falsch angegeben, sind die Ergebnisse i.A. falsch. Die Menge der Unterklassen war diskret oder kontinuierlich. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Beispiel-Anwendungen Dies war keine scharfe Definition, sondern nur ein Hinweis, was Mustererkennung sein könnte. Bevor wir zu systematischen Ansätzen übergehen, lernen wir noch etwas aus Beispielen. Geschmack oder elektrochemische Potentiale Spektren Bilder Symbolische Information Vorlesung "Intelligente Systeme"

Beispiel-Anwendungen Geschmack oder elektrochemische Potentiale Soft drink Bier Merkmal Süße Säure Bitterkeit Schärfe Ausprägung xxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxx x xxxxxxx x x Geschmack ist die Antwort eines Nervs auf das chemische Potential µ bestimmter Substanzen. Kombinationen von µ-Sensoren werden genutzt, um das Vorhandensein und die Konzentration einer Menge von Substanzen zu festzustellen. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Beispiel-Anwendungen Signale Schallsignale: Spracherkennung, Maschinendiagn. A t A t A t A t “auf” “ab” “Auswahl” “zurück” w t w t w t w t Infrarotspektren: Gasmoleküle, pharmazeut. Produktion EKG/EEG: medizinische Diagnostik, HMI Chromatographie: Genanalyse Vorlesung "Intelligente Systeme"

Spracherkennung Good morning ladies and gentlemen welcome to the show within the ability of the the million man had run in the middle of the city’s the law and some run for the moment I want I knew Vorlesung "Intelligente Systeme"

Beispiel-Anwendungen Bilder Verifikation der Personen-Identität 1. Identifikation (mittels Name oder Magnetkarte) 2. Schnappschuss des Gesichts 3. Extraktion eines Merkmalsmusters 4. Abruf des Merkmalsmusters der Person aus Datenbank 5. Vergleich der Muster 6. Schwellwert: Erkennung Korrelation c Wenn c > Schwelle, dann Identität ok Vorlesung "Intelligente Systeme"

Gesichtsdetektion Vorlesung "Intelligente Systeme"

Beispiel-Anwendungen Symbolische Information Kundenprofile Merkmale Ausprägung Ausprägung M1: Wert pro Einkauf xxxxxxxx x M2: Jährliche Einkäufe xxx x M3: Reklamationen x xxxx M4: Zahlgeschwindigkeit xxxx x M5: Akquisitionsaufwand xxx xxxxx Klasse gut schlecht M1 M2 M3 M4 M5 Merkmal M1 M2 M3 M4 M5 Merkmal Vorlesung "Intelligente Systeme"

Intelligente Systeme und deren Aufgabe Ein „intelligentes System“ Die Eingabe kann aus verschiedenen Quellen kommen. Das intelligente System kann verschiedene Aufgaben haben. Syntaktischer Analysator Wert einer linguistischen Variablen Estimator Wert einer „physikalischen“ Variablen Klassifikator Klassenzugehörigkeit Name Wert kont. Wert diskret W3 Die Ausgabe kann unterschiedlicher Art sein. Mustererkennungs-Apparat Vorlesung "Intelligente Systeme"

Intelligente Systeme und deren Aufgabe Erste Aufgabe eines intelligenten Systems: Informationsgewinnung Gj+nj M+nM p3 Klasse wj m1 Gk+nk p1 Klasse wk p2 m2 Gl+nl Klasse wl p4 m3 Abbildung 1 Abbildung 2 Beschreibungs- (Zustands-)raum C Zugänglicher Musterraum P Beobachtungs- oder Meßraum F Informationsgewinnung Vorlesung "Intelligente Systeme"

Intelligente Systeme und deren Aufgabe Erste Aufgabe eines intelligenten Systems: Informationsgewinnung Zustand Z1 do/ emit x:s1 Zustand Z3 do/ emit x:s3 Zustand Z2 do/ emit x:s2 Stochstischer Prozess Erkenner x Zustand p(x|s) s1 s2 x 15 9 14 10 11 „Glücksräder“ 13 12 14 15 9 10 13 11 Vorlesung "Intelligente Systeme" 12

Zweck intelligenter Systeme: Situationserkennung Erste Stufe in der Interaktion mit Objekten Interaktion mit Objekten: Reaktion und Beeinflussung Erste Situationserkennungs-Aufgabe: Identifikation Identifiziere die Klasse eines Objekts anhand eines Teilaspekts Stelle den Zustand bzw. die aktiven Methoden anhand einer Äußerung des Objekts fest. Folgeaktionen: Rufe aus einer Datenbank alle für eine Reaktion bzw. Beeinflussung nötigen Aspekte der Klasse ab: Reaktion: Ablauf der aktiven Methode, Aktivitäten des aktuellen Zustands Beeinflussung: Menge und Aufruf der Methoden, mögliche Zustände und Zustandsübergänge Vorlesung "Intelligente Systeme"

Zeck intelligenter Systeme: Situationserkennung Zweite Situationserkennungs-Aufgabe: Verhaltensmodellierung Modellierung (Nachahmung) von Methoden eines unbekannten Objekts (z.B. Experte oder Prozess) Angebot von Daten und Signalen, Aufzeichnen der Reaktion Erlernen des Zusammenhanges Anwendung Aus verfügbaren (beobachtbaren, unvollständigen und gestörten) Daten optimale Entscheidung treffen ! Vorlesung "Intelligente Systeme"

Vorlesung "Intelligente Systeme"
2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Beobachtbare Größe: Signal des Drehzahlgebers Diagnoseleistung (ohne zusätzliche Sensorik) Zündaussetzer, Verbrennungsstörung Einspritzung Ventilundichtigkeit “Blow-by” (undichter Kolbenring) Reibung Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündung Einspritzung Dichtheit Reibung Uind t Induktionssensor Die Vorgänge im Motor verursachen Änderungen der Winkelgeschwindig- keit. Motor Zahnrad Vorlesung "Intelligente Systeme"

Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen
2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündaussetzer-Erkennung Komponente 1 Winkel- geschwindigkeit eines Zyklus Induktions- Sensor Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündung Einspritzung Dichtheit Reibung Uind Berechenbar aus Beobachtung: Wechselanteil des Drehmoments T t ! Induktionssensor Wechseldrehmoment [Nm] Motor Zahnrad Wechseldrehmoment eines 6-Zylinder-Otto-Motors Vorlesung "Intelligente Systeme"

! 2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen
Wechseldrehmoment eines 6-Zylinder-Otto-Motors t ! Wechseldrehmoment [Nm] Signifikanter Unterschied bei erzwungenem Zündaussetzer: Mmax geeignetes Merkmal? Unterschiede treten auch in anderen Fällen auf. Wie entscheiden? Bild über viele Fälle: Statistik! Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Statistik: 1. Untersuche viele Fälle Experimente im Fahrbetrieb: Aufzeichnung der Wechseldrehmomentkurven mit und ohne erzwungene Zündaussetzer: Stichprobe Zündaussetzer Mmax1 Normal Mmax2 Zündaussetzer Mmax3 Normal Mmax4 1 2 3 Zündaussetzer MmaxN-1 4 Normal MmaxN … N-1 N c Z N … Mmax 480 772 467 758 485 632 Statistik: 2. Beschreibe die Beobachtungen Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Nebenbemerkung
Histogramm und Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte: relative Häufigkeit pro Intervall Histogramm von x x Vorkommensanazahl (frequency) k 20 30 40 50 60 70 5 10 15 Stichprobe mit 50 Versuchen Stichprobe: Führe N Versuche aus, miss jedes mal die Größe x. Histogramm: Teile die Größe x in Intervalle mit Breite Dx. Zähle Anzahl in jedem Intervall. Trage die Anzahl gegen das Intervall auf. 20 70 x x x x x x x x x x x x x x x x x 20 70 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Histogramm und Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte r: relative Häufigkeit pro Intervall = (Vorkommensanzahl/Stichprobenumfang)/Intervallbreite = (k/N)/Dx = relative Häufigkeit / Intervallbreite = h/ Dx Histogramm von x Histogram von x 15 0.06 10 0.04 Vorkommensanazahl (frequency) k Wahrscheinlichkeitsdichte 5 0.02 0.00 x x 20 30 40 50 60 70 20 30 40 50 60 70 W-Dichte = (7/50) / 5 = 0.028 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Histogramm und Wahrscheinlichkeitsdichte Mit zunehmender Stichprobengröße Balkenbreite immer kleiner, so dass im unendlichen Fall die Balkenbreite unendlich klein ist. Histogramm von x Histogramm von x Density 20 30 40 50 60 70 80 0.00 0.02 0.04 0.06 0.04 Wahrscheinlichkeitsdichte r 0.02 0.00 x 20 30 40 50 60 70 S Wahrscheinlichkeitsdichten x Balkenbreiten = 1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente
Nebenbemerkung Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) 0,10 0,05 0,00 Ist gleichbedeutend mit x , , , ,0 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nebenbemerkung Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt ergibt Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Nebenbemerkung Körpergröße nach Einkommen (D, über 18a) Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Nebenbemerkung Körpergröße nach Geschlecht (D, über 18a) Größe F M <150 cm 0,6% 0,1% cm 4% cm 12,7% 0,3% cm 27% 2,3% cm 29,1% 9% cm 17,6% 19,2% cm 6,9% 26,1% cm 1,8% 23,9% cm 0,2% 12,8% >190 cm <0,1% 6,3% Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Nebenbemerkung Körpergröße nach Bundesland (D, über 18a) Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündaussetzer-Erkennung Komponenten 2 und 3 Winkel- geschwindigkeit eines Zyklus Induktions- Sensor Periode T Bestimmung Drehmoment Berechnung Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündaussetzer-Erkennung Normalbetrieb Zündaussetzer Charakteristisch: Drehmoment-Maxima M1, …, M6 der einzelnen Zylinder. -> Bestimmung der Maxima (Merkmale) Bem.: Phasenwinkel fi char. Einspr. 1.000 M2 M3 M4 M5 M6 M1 500 Wechseldrehmoment [Nm] -500 -1.000 120 240 360 480 600 720 f1 f2 f3 f4 f5 f6 Kurbelwinkel [Grad] Betrachte nur Zylinder 4: Messungen von M4 für Normalbetrieb (Klasse c1) und Zündaussetzer (Klasse c2): Stichprobe Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündaussetzer-Erkennung Komponente 4 Winkel- geschwindigkeit eines Zyklus Induktions- Sensor Periode T Bestimmung Drehmoment Berechnung Merkmalsextraktion: Drehmomentmaxima Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündaussetzer-Erkennung Betrachte nur Zylinder 4: Messungen von M4 für Normalbetrieb (Klasse c1) und Zündaussetzer (Klasse c2): Stichprobe aus vielen Umdrehungen. Bilde das Histogramm der Drehmomentwerte der Stichprobe: Vorkommensanzahl Wechseldrehmoment Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündaussetzer-Erkennung Wähle aufgrund des Histogramms der Drehmomentwerte der Stichprobe den geeignetsten Schwellwert (mit dem kleinsten Fehler) zur Entscheidung über die Klassenzugehörigkeit: Zündaussetzer normal Vorkommensanzahl Wechseldrehmoment MT Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (1) Wahrscheinlichkeitsdichten des Merkmals M für Zündaussetzer pZ(M) und Normalbetrieb pN(M) mit a priori Auftrittswahrscheinlichkeiten von Zündaussetzern PZ und Normalbetrieb PN. Bedingung PZ + PN = 1. Ergibt Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte p(M) = PZ pZ(M) + PN pN(M) Im Gauss´schen Fall: Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (2) Gaussfunktion: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung „Vorurteilsfreieste“ Annahme einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, wenn nur der Mittelwert m und die Varianz s2 bekannt sind. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von unendlich vielen Summenvariablen. Gesamtfläche = 1 Fläche zwischen m-s und m+s ungefähr 2/3 Fläche zwischen m-2s und m+2s ungefähr 95% Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (3) Wahrscheinlichkeit einer Fehlzuordnung E: Minimierung von E Einsetzen, logarithmieren und vereinfachen ergibt quadratische Gleichung mit Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (4) Vorgehen nach obiger Methode: Trainingsstichprobe Datenmaterial mit Merkmalswerten Histogramm für Zündaussetzer hZ Histogramm für Normalbetrieb hN Berechnung von sZ und mZ aus hZ Berechnung von sN und mN aus hN Berechnung von A, B und C: Berechnung der Schwelle durch Lösung der quadratischen Gleichung Anwenden der Schwelle auf neues Datenmaterial Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Zündaussetzer-Erkennung Komponente 5 und Gesamtsystem Winkel- geschwindigkeit eines Zyklus Induktions- Sensor Periode T Bestimmung Drehmoment Berechnung Merkmalsextraktion: Drehmomentmaxima Klassifikation: Anwendung Optimaler Schwellwert Normal Zündaussetzer Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (5) Vorgehen nach obiger Methode: Trainingsstichprobe Datenmaterial mit Merkmalswerten Drehmoment Klasse 400 Z 500 300 600 700 800 N 900 850 Drehmoment Klasse 800 N 750 850 700 Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (6) Vorgehen nach obiger Methode: 2. Histogramm für Zündaussetzer hZ 3. Histogramm für Normalbetrieb hN Drehm. Kl. 400 Z 500 300 600 700 800 N 900 850 Drehm. Kl. 800 N 750 850 700 h[1/11] h[1/18] M Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (7) Vorgehen nach obiger Methode: 4. Berechnung von sZ und mZ aus hZ h[1/11] h[1/18] M Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (8) Vorgehen nach obiger Methode: 5. Berechnung von sN und mN aus hN h[1/11] h[1/18] M Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (9) Vorgehen nach obiger Methode: 6. Berechnung von A, B und C: Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (10) Vorgehen nach obiger Methode: 7. Berechnung der Schwelle durch Lösung der quadratischen Gleichung Vorlesung "Intelligente Systeme"

2. Ein Beispiel Winkel- geschwindigkeit eines Zyklus
Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (11) Vorgehen nach obiger Methode: 8. Anwenden der Schwelle auf neues Datenmaterial Winkel- geschwindigkeit eines Zyklus Induktions- Sensor Periode T Bestimmung Drehmoment Berechnung Merkmalsextraktion: Drehmomentmaxima M=820 M > 720 ? ja nein Normal Zündaussetzer Vorlesung "Intelligente Systeme"

Informationsgewinnung
2. Ein Beispiel Motordiagnose für Verbrennungskraftmaschinen Geberradfehler, Höhenschlag, Störungen Schütteln p3 Zündauss. m1 Phase p1 Einspritzauss. p2 m2 Auslauf Ventilundicht. p4 m3 Abbildung Abbildung Beschreibungs- (Zustands-)raum Motorfehler Zugänglicher Musterraum Wechseldrehmoment- muster Beobachtungs- oder Meßraum Drehzahlsensordaten Informationsgewinnung Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bayes´sche Entscheidungstheorie Wie treffe ich die optimale Entscheidung bei unvollständiger Information ? A-priori-Wahrscheinlichkeiten Ein betrachtetes System befindet sich in einem “wahren Zustand” c, z.B. c=c1 (normal) oder c=c2 (Zündaussetzer). Diese können sich zufällig abwechseln und treten mit den Wahrscheinlichkeiten P(c1) und P(c2) auf: A-priori-Wahrscheinlichkeiten. P(c1) + P(c2) =1, wenn keine weiteren Zustände. Fall 1: Keine weitere Information als P(c1) und P(c2) -> Entscheidungsregel über nächsten Zustand: c1, wenn P(c1) > P(c2) , sonst c2. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bayes´sche Entscheidungstheorie Wie treffe ich die optimale Entscheidung bei unvollständiger Information ? Verbund-Wahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusatzinformation: B ist aufgetreten. Wahrscheinlichkeit von A, wenn B aufgetreten ist: bedingt Beispiel: P(1,70m < h < 1,80m | Frau) = 0,2, P(Frau) = P(Mann) = 0,5 P(1,70m < h < 1,80m , Frau) = 0,2 * 0,5 = 0,1 Verbund-Wahrscheinlichkeit P(A,B) von A und B ist Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig auftreten. Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt unter der Bedingung, dass B aufgetreten ist. Gilt auch für Wahrscheinlichkeitsdichten B ist fest! B ist fest! A ist fest! Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bayes´sche Entscheidungstheorie Wie treffe ich die optimale Entscheidung bei unvollständiger Information ? Verbund-Wahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten Verbund-Wahrscheinlichkeit P(A,B) von A und B ist Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig auftreten. Größe bezüglich derer Dichte berechnet wird muss variabel sein. Daher lautet Verbundwahrscheinlichkeitsdichte B ist fest! A ist fest! ist fest! ist fest! Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bayes´sche Entscheidungstheorie Wie treffe ich die optimale Entscheidung bei unvollständiger Information ? Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) x variabel 0,10 0,05 0,00 x , , , ,0 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bayes´sche Entscheidungstheorie Wie treffe ich die optimale Entscheidung bei unvollständiger Information ? Klassenbedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x|c) Information x über das System (z.B. das Drehmoment M4) mit verschiedenen Ausprägungen in verschiedenen Zuständen (Klassen) c. Klassenbedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x|c). Fall 2: Wir verfügen über weitere Information x. p(x|c) c1 c2 x Wahrscheinlichkeitsdichte für das Vorliegen eines Wertes des Merkmals x, wenn das System in Zustand c ist. Die Fläche unter der Kurve ist jeweils 1. Vorlesung "Intelligente Systeme" Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience

Bayes´sche Entscheidungstheorie Wie treffe ich die optimale Entscheidung bei unvollständiger Information ? Fall 2: Wir verfügen über weitere Information x, also die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen p(x|ci) für die verschiedenen Klassen und den aktuellen Wert von Merkmal x unseres Systems sowie die A-priori-Wahrscheinlichkeiten der Klassen P(ci). Dann ist die verknüpfte Wahrscheinlichkeitsdichte, dass das System in Zustand ci ist und dabei den Merkmalswert x hat: p(ci,x) = P(ci|x)p(x) = p(x|ci)P(ci). Von Interesse P(ci|x). Mittels Bayes´scher Formel Wahrscheinlichkeit für Klasse ci Wahrscheinlichkeit für Klasse ci unter der Bedingung, dass ein Wert x vorliegt Wahrscheinlichkeitsdichte von Merkmal x, unter der Bed., dass Klasse ci vorliegt Wahrscheinlichkeitsdichte von Merkmal x Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bayes´sche Entscheidungstheorie A posteriori Wahrscheinlichkeit, dass Klasse ci vorliegt, wenn das Merkmal die Ausprägung x hat: Likelihood Prior Evidence Posterior p(x|c) P(c|x) c1 c2 c2 P(c1) = 1/3 P(c2) = 2/3 c1 x x Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bayes´sche Entscheidungstheorie Wie treffe ich die optimale Entscheidung bei unvollständiger Information ? Fall 2: Entscheide c1 wenn P(c1|x) > P(c2|x), sonst c2. P(c|x) P(c2|x=14)=0.92 c2 c1 P(c1|x=14)=0.08 x c1 c2 c1 c2 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Intelligente Systeme und deren Aufgabe Erste Aufgabe eines intelligenten Systems: Informationsgewinnung Zustand Z1 do/ emit x:s1 Zustand Z3 do/ emit x:s3 Zustand Z2 do/ emit x:s2 Stochstischer Prozess Erkenner x Zustand p(x|s) s1 s2 x 15 9 14 10 11 „Glücksräder“ 13 12 14 15 9 10 13 11 Vorlesung "Intelligente Systeme" 12

Mehr als ein Merkmal Numerische Merkmale und Merkmalsvektor Betrachte Signale des Motordiagnosesystems. Einfachste Wahl der Merkmale: Äquidistante Abtastung der Amplitudendaten der Wechseldrehmomentkurve. M2 M3 M4 M5 M6 Wechseldrehm. M1 p p Kurbelwinkel Jedes Wechseldrehmomentmuster ist charakterisiert durch eine Menge von Drehmomentwerten. Die Menge der Drehmomentwerte kann als Spaltenvektor geschrieben werden: [M1, M2, M3, M4, M5, M6]T. Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmale Mehr als ein Merkmal Numerische Merkmale und Merkmalsvektor M2 M3 M4 M5 M6 Wechseldrehm. M1 p p Kurbelwinkel Ein Drehmomentmuster wir dann repräsentiert durch den Vektor M = [M1, M2, M3, M4, M5 ,M6] T im sechs-dimensionalen “Drehmomentwerteraum”. Ein Drehmomentwert heisst dann “Merkmal”, der Raum “Merkmalsraum“, der Vektor “Merkmalsvektor“. Merkmalsvektoren von verschiedenen Motorzuständen sollten getrennte Volumina im Merkmalsraum einnehmen. Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Mehr als ein Merkmal Bild von Objekten unterschiedlicher Größe und Farbe Meßraum: Farbwerte der Pixel eines Kamerasensors Merkmalsauswahl: Merkmalsvariable Farbwert (h) und maximale Abmessung (l) Farbwert h Jeder Merkmalsvektor fi= [hi, li]T repräsentiert ein Muster. Wegen der statistischen Prozesse bei der Musterentstehung und beim Meßprozess werden Merkmale als “random variables” und Merkmalsvektoren als “random vectors” betrachtet. x x x x x hi x x Merkmalsraum + fi * li Maximale Abmessung l Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Mehr als ein Merkmal Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Stichprobe Merkmal x1 Merkmal x2 Wahrsch. Merkmal x2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Merkmal x1 x x x x x x x x x x x x x Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Mehr als ein Merkmal: Korrelation und Kovarianz Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Zwei unterschiedliche stochastische Größen (z.B. Merkmale) Maßzahl für montonen Zusammenhang zwischen wenn gleichsinniger Zusammenhang zw. wenn gegensinniger Zusammenhang zw. wenn kein Zusammenhang zw. Die Größe von K hängt von den Maßeinheiten von ab. Daher Invarianz durch Normierung mit Standardabweichung: Korrelation C Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Mehr als ein Merkmal, mehrere Klassen Merkmal x2 Merkmal x1 Vorlesung "Intelligente Systeme" Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Mehr als ein Merkmal, mehrere Klassen Endliche Menge von Klassen {c1,c2,…,cC} mit zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten Bayes Formel für a posteriori Wahrscheinlichkeit Entscheidungsregel: Merkmal x1 Merkmal x2 x2T xT x1T Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Entscheidungsregel: Merkmal x1 Merkmal x2 Teilt Merkmalsraum in Regionen R3 x2T R4 Entscheidungsflächen sind Grenzflächen zwischen den Regionen R2 xT x1T R1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Entscheidungsregel: Entscheidungsregel gilt auch für monotone Funktionen g (Entscheidungs-funktionen) von P: (konst. Nenner weglassen) (logarithmieren) Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Bei zwei Kategorien (Klassen) Entscheidungsregel Kann vereinfacht werden zu einer einzigen Entscheidungsfunktion deren Vorzeichen über die Klassenzugehörigkeit entscheidet: Bequeme Wahl von g: Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Modellfunktion für klassenbedingte Wahrscheinlichkeitsdichte: Normalverteilung Bisher ein-dimensional: Jetzt mehr-dimensional: Merkmal x1 Merkmal x2 Wahrsch. Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Normalverteilung Jetzt mehr-dimensional: Merkmal x1 Merkmal x2 Wahrsch. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Beispiel: Annahme einer mehr-dimensionalen Normalverteilung Berechnung Schwerpunkt und Kovarianzmatrix aus Stichprobe Schwerpunkt der Verteilung Empirischer Schwerpunkt der Stichprobe Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Beispiel: Annahme einer mehr-dimensionalen Normalverteilung Berechnung empirischer Schwerpunkt und empirische Kovarianzmatrix aus Stichprobe Im Fall drei-dimensionaler Vektoren: Geschätzte Normalverteilung: Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Schätzung Varianz (unabh. tats. Verteilung) Quelle: Wikipedia Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Bei Normalverteilung wegen e-Funktion Wahl von ln-Entscheidungsfunktion: Einfachster Fall: Alle Merkmale unabhängig und mit gleicher Varianz Lineare Entscheidungsfunktion: Entscheidungsfläche Hyperebene Lineare Form Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Normalverteilung Einfachster Fall: Alle Merkmale unabhängig und mit gleicher Varianz Lineare Entscheidungsfunktion: Entscheidungsfläche Hyperebene Weitere Einschränkung: A priori Wahrscheinlichkeiten P für alle Klassen gleich: Entscheidungsregel: Ordne Vektor der Klasse zu, zu deren Schwerpunkt-vektor er den kleinsten euklidischen Abstand hat: Minimum-Distance Klassifikator Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Normalverteilung, 2 Kategorien Entscheidungsfunktionen: Lineare Entscheidungsfunktion: Entscheidungsfläche Hyperebene ein-dim. Merkm.-Raum zwei-dim. Merkm.-Raum drei-dim. Merkm.-Raum Vorlesung "Intelligente Systeme" Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Normalverteilung, 2 Kategorien Entscheidungsfunktionen: Entscheidungsfunktion Entscheidungsflächen: Hyperquadriken Vorlesung "Intelligente Systeme" Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Normalverteilung, 2 Kategorien Entscheidungsflächen: Hyperquadriken Ebenen Vorlesung "Intelligente Systeme" Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Normalverteilung, 2 Kategorien Entscheidungsflächen: Hyperquadriken Paraboloide Ellipsoide Vorlesung "Intelligente Systeme" Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Entscheidungsflächen und -funktionen Normalverteilung, 2 Kategorien Entscheidungsflächen: Hyperquadriken Hyperboloide Kugeln Vorlesung "Intelligente Systeme" Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Wie weiter? Voraussetzung bisher: A priori Wahrscheinlichkeiten und klassen-bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten bekannt. Realität: Nur Stichproben gegeben. Ansätze: Parametrische Techniken: Annahme bestimmter parametrisierter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Schätzung der Parameterwerte anhand Stichprobe, Einsetzen in Bayes Framework. A) Maximum-Likelihood Schätzung B) Bayes Learning Nicht-parametrische Techniken Direkte Bestimmung der Parameter der Entscheidungsflächen anhand Stichprobe. Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Wie weiter? Möglichkeit 1 bei gegebener Stichprobe: Schätzung der pdf und a-priori-Wahrsch. Aus Stichprobe: Bildung Histogramm, relative Häufigkeiten h(ci) Modellbildung: Annahme einer Modellfunktionenklasse für klassenbedingte Wahrscheinlichkeitsdichte, z.B. Gaussfunktion Schätzung der Parameter der Funktion -> Instanz der Funktionenklasse, die das Histogramm am besten approximiert (Schätzfunktion der klassenbedingten Wahrscheinlichkeitsdichte): Anwendung Bayes: Benutze als Näherung für und relative Häufigk. H(ci) für P(ci) und wende Bayes´sche Entscheidungsregel an: Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsraum Wie weiter? Möglichkeit 1 bei gegebener Stichprobe: Schätzung der pdf und a-priori-Wahrsch. Stichprobe Geschätzte pdf und apw Merkmal x1 Merkmal x2 Wahrsch. Merkmal x2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Merkmal x1 x x x x x x x x x x x x x Anwendung Bayes Entscheidungsregel: Entscheidungsfläche Vorlesung "Intelligente Systeme"

3. Statistische Fundamente Merkmalsraum Wie weiter? Möglichkeit 2 bei gegebener Stichprobe: Finde eine Entscheidungsfläche, welche die Stichprobenvektoren einer Klasse von denen der anderen Klassen trennt. x Merkmal x2 x Merkmal x1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Statistische Klassifikationsaufgabe
4. Entscheidungsflächen und -funktionen Aufgabe 1: Gegeben sei eine Stichprobe mit bekannten Klassenzugehörigkeiten (Klasse 1 und Klasse 2). Finde eine Trennmöglichkeit, um zu entscheiden, zu welcher Klasse ein unbekanntes Muster gehört. Überwachte Methoden Klasse 1 h Trennlinie x x x x x x x Merkmalsraum + Klasse 2 * l Vorlesung "Intelligente Systeme"

Klassifikationsaufgabe
4. Entscheidungsflächen und -funktionen Klassifikationsaufgabe Aufgabe 2: Unter der Annahme, daß es sich um zwei Klassen handelt, finde die zugehörigen Cluster in der Stichprobe mit den Mustern. Z.B. Learning Vector Quantisation (LVQ), Self Organising Maps (SOMs). Unüberwachte Methoden Klasse 1 h x x x x x x x Merkmalsraum + Klasse 2 * l Vorlesung "Intelligente Systeme"

Überwachte Methoden 4. Entscheidungsflächen und -funktionen Klasse 1 h Gerade Trennlinie x x Lineare Klassifikatoren Einschichtiges Perceptron Kleinste Quadrate Klass. Lineare Support Vektor Maschine x x x x x + Klasse 2 * l Klasse 1 Nichtlineare Klassifikatoren Mehrschicht-Perceptron logistisch polynom radiale Basisfunktionen Support-Vektor-Maschinen h Trennkurve x x x x x x x x x x x x x + + + x + + + + x + + x + x + + x x x x + + + Klasse 2 + + + + + + + l Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren
Grundlagen Das Perzeptron Lineare Support Vektor Maschine Nicht-lineare Klassen und Mehrklassen-Ansatz Kleinste Quadrate lineare Klassifikatoren Stochastische Approximation und der LMS Algorithmus Schätzung mittels Quadratfehlersumme Mehrklassen-Verallgemeinerung Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Grundlagen Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Der Merkmalsraum wird durch Hyperebenen aufgeteilt. Vorteil: Einfachheit und geringer Berechnungsaufwand. Nachteile: Zugrundeliegende statistische Verteilungen der Trainingsmuster werden nicht vollständig genutzt. Nur linear separierbare Klassen werden korrekt klassifiziert. Entscheidungs-Hyperebene: Eine Entscheidungs-Hyperebene teilt den Merkmalsraum in zwei Halbräume: Punkte (Vektoren) von Halbraum Klasse 1 Punkte von Halbraum Klasse 2. Beschreibung Hyperebene im N-dimensionalen Merkmalsraum (Vektoren x) durch Normalenvektor n = [n1, n2,..., nN]T und senkrechter Abstand d zum Ursprung: HNF: nTx = d äquivalent Entscheidungs-Hyperebene definiert durch den Gewichtsvektor w = [w1, w2,..., wN]T und w0, bezeichnet als Schwellwert: g(x) = wT x + w0 =! 0 Bestimme w und w0 so, dass Merkmalsvektoren x verschiedener Klassen ein unterschiedliches Vorzeichen von g(x) ergeben. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Zweidimensionaler Fall: Geometrie der Entscheidungs-Linie (-Hyperebene) x2 Merkmalsraum d z x x1 Entscheidungshyperebene Entscheidungsfunktion Das Vorzeichen von g(x) gibt die Klassenzugehörigkeit an. Wie werden die unbekannten Gewichtswerte w1, w2,..., wN und w0 berechnet? Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren
Das Perzeptron Die Perzeptron-Kostenfunktion Der Perzeptron Algorithmus Bemerkungen zum Perzeptron Algorithmus Eine Variation des Perzeptron-Lernschemas Arbeitsweise des Perzeptrons Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Der Perzeptron Algorithmus Allgemeines Lösungsmuster: Gesucht: Lösung eines Problems Gegeben: Ein Lösungsraum (gebildet durch Menge möglicher Lösungen: Lösungskandidaten) Ein Kriterium, das die Lösung kennzeichnet. Mustervorgehen: Ordne jedem Lösungskandidaten einen Wert derart zu, dass der Wert am kleinsten ist, wenn das Kriterium erfüllt ist: “Kostenfunktion” Lösungssuche -> Minimumsuche Wende vorhandene Lösungsmuster zur Minimumsuche an. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Der Perzeptron Algorithmus Annahme: Es liegen zwei Klassen c1 and c2 vor, die linear separierbar sind. Es existiert eine Entscheidungs-Hyperebene w x + w0= 0 derart, daß Umformulierung mit erweiterten N+1-dimensionalen Vektoren: x´ º [x, 1]T und w´ º [w, w0]T ergibt Die Aufgabe wird als Minimierungsproblem der Perzeptron-Kostenfunktion formuliert. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Der Perzeptron Algorithmus Gesucht: Gewichtsvektor und Schwellwert , die für alle Stichprobenvektoren erfüllen, bzw. Gegeben: Lösungsraum: Menge aller und bzw. Lösungskriterium: Menge der durch und falsch klassifizierten Stichprobenvektoren ist leer. Mustervorgehen: Wahl der Kostenfunktion Vorlesung "Intelligente Systeme"

Kostenfunktion (Anzahl Fehler)
Vorlesung "Intelligente Systeme"

Kostenfunktion (Perzeptron)

Kostenfunktion (quadratisch)

5. Lineare Klassifikatoren Die Perzeptron-Kostenfunktion Y sei diejenige Untermenge der Trainingsvektoren, welche durch die Hyperebene (definiert durch Gewichtsvektor w´) fehlklassifiziert werden. Die Variable dx wird so gewählt, dass dx = -1 wenn x e c1 und dx = +1 wenn x e c2. J ist dann stets positiv und wird dann Null, wenn Y eine leere Menge ist, d.h., wenn es keine Fehlklassifikation gibt. J ist stetig und stückweise linear. Nur wenn sich die Anzahl der fehlklassifizierten Vektoren ändert, gibt es eine Diskontituität. Für die Minimierung von J wird ein iteratives Schema ähnlich der Gradientenabstiegsmethode verwendet. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Gradientenmethode für die Perzeptron-Kostenfunktion Konvention (zur Reduktion des Schreibaufwandes): Erweiterte Vektoren ohne Strich Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Der Perzeptron-Algorithmus Iterative Anpassung des Gewichtsvektors entlang dem Gradienten der Kostenfunktion: (1) k: Iterationsindex, hk: Lernrate (positiv) (1) ist nicht definiert an Unstetigkeitsstellen von J. An allen Unstetigkeitsstellen von J gilt: (2) Substitution der rechten Seite von (2) in (1) ergibt: wodurch der Perzeptron-Algorithmus an allen Punkten definiert ist. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Geometrische Interpretation für den 2d Merkmalsraum Trennlinie im Schritt k+1 Letzter Schritt des Perzeptron-Algorithmus: Nur noch ein einziger Punkt x fehlklassifiziert. x2 Trennlinie im Schritt k x´ w´(k+1) x1 w´(k) w wurde in die Richtung von x gedreht. h bestimmt die Stärke der Drehung. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Bemerkungen zum Perzeptron-Algorithmus 1. Der Perzeptron-Algorithmus konvergiert zu einer Lösung in einer endlichen Anzahl von Schritten, vorausgesetzt, daß die Folge hk richtig gewählt wird. Es kann gezeigt werden, dass dies der Fall ist, wenn gilt: Ein Beispiel einer Folge, welche obige Bedingung erfüllt, ist hk = c/k, da divergent für r <= 1, aber konvergent für r >1. 2. Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt von der Folge hkab. 3. Die Lösung ist nicht eindeutig, da es immer eine Schar von Hyperebenen gibt, welche zwei linear separierbare Klassen trennt. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Eine Variation des Perzepton Lernschemas Bisher: Gesamte Trainingsvektormenge in einem Trainingsschritt. Neu: Ein einziger Trainingsvektor in einem Trainingsschritt und Wiederholung für alle Vektoren der Trainingsmenge: “Trainingsepoche”. Die Trainingsepochen weden wiederholt, bis Konvergenz erreicht ist, d.h., wenn alle Trainingsvektoren korrekt klassifiziert werden. Wiederhole, bis Konvergenz erreicht ist { Wiederhole für alle Trainingsvektoren } Dieses Schema ist Mitglied der “Belohnungs- und Bestrafungs-”Schemata. Es konvergiert ebenso in einer endlichen Anzahl von Iterationen. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Perzeptronalgorithmus

Lineare Support Vektor Maschine
Alternative Betrachtungsweise: Perzeptron-Algorithmus mit erweiterten Vektoren: Wiederhole, bis Konvergenz erreicht ist { Wiederhole für alle Trainingsvektoren } Der innere Teil kann mit c1=1 und c2=-1 geschrieben werden als: Wenn , dann Vorlesung "Intelligente Systeme"

Wiederhole, bis Konvergenz erreicht ist { Wiederhole für alle Trainingsvektoren { } } Wenn , dann Die Lösung ist dann eine Linearkombination der Stichprobenvektoren Einsetzen in die Gleichung für die Entscheidungsebene ergibt und die Entscheidungsfunktion lautet dann Die Lern(update)-regel lautet dann im Perzeptron-Algorithmus entsprechend: Wenn , dann Vorlesung "Intelligente Systeme"

Maximaler Rand x2 Klasse 1 x x x x x d x x . + + + + + . z + Klasse 2 + + x1 Zueinander parallele Ebenen, welche Vektoren beider Klassen trennen: Gleicher Normalenvektor, unterschiedliche Schwellwerte: oder Bestimmung von und so, dass der Abstand zwischen den parallelen Ebenen maximal wird, d.h. minimiere . Nebenbedingung: korrekte Trennung der Vektoren der beiden Klassen: Vorlesung "Intelligente Systeme"

Bestimmung von und so, dass der Abstand zwischen den parallelen Ebenen maximal wird, d.h. minimiere oder . Nebenbedingung: korrekte Trennung der Vektoren der beiden Klassen: Die Nebenbedingungen können vereinfacht werden: Mit den nummerischen Klassenlabeln c1=1 und c2=-1 erhalten wir schließlich die folgende Optimierungsaufgabe: Minimiere unter den Randbedingungen Lösung durch „Quadratische Programmierung“ Bibliotheken Name Lizenz Beschreibung CVXOPT GLP Sprache: C, Python; API: Python OpenOpt BSD Numerisches Optimierungsframework in Python QuadProg GPL2 Sprache: R, Algorithmus von Goldfarb und Idnani (1982, 1983) Quadprog++ GPLv3 C++, Algorithmus von Goldfarb und Idnani (1982, 1983) Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lösung Supportvektormaschine durch Quadratische Programmierung Aufgabe: Minimiere unter den Randbedingungen Ansatz zur Quadratischen Programmierung: Lagrange-Theorie: Lösung ist Optimum der Langrange-Funktion: Optimierung einer Funktion unter den k Randbedingungen : Bilde die Lagrange-Funktion L und finde das Optimum von L. Notwendige Bedingung: stationäre Punkte von L: Vorlesung "Intelligente Systeme"

Optimum der Langrange-Funktion: Einsetzen in L ergibt Optimiere Duale Form => Quadratische Optimierungsaufgabe: rein konvex Vorlesung "Intelligente Systeme"

Optimiere => Quadratische Optimierungsaufgabe: rein konvex Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Das Perzeptron im Betrieb Gewichtsvektor w und Schwellwert w0 wurden vom Lernalgorithmus gefunden. Die Klassifikationsprozedur lautet dann: Dies kann als Netzwerk interpretiert werden: Die Elemente des Merkmalsvektors werden auf die Eingangsknoten gegeben. Jedes wird multipliziert mit den entsprechenden Gewichten der Synapsen. Die Produkte werden zusammen mit dem Schwellwert aufsummiert. Das Ergebnis wird von einer Aktivierungsfunktion f verarbeitet (z.B. +1 wenn Ergebnis > 0, -1 sonst). x1o x2o . xNo w1 w2 wN w0 S f Dieses grundlegende Netzwerk wird als Perzeptron oder Neuron bezeichnet. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Perzeptron-Lernphase: Bestimmung des erweiterten Gewichtsvektors Wiederhole, bis Konvergenz erreicht ist { Wiederhole für alle Trainingsvektoren } x1o x2o . xNo w1 w2 wN w0 S f Perzeptron-Betriebsphase: Klassifikation eines (erweiterten) Merkmalsvektors Nach Konvergenz Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Übung zu Perzeptrons: Programmiere und benutze beide Perzeptron-Algorithmen. Starte mit w=(1,0), w0=2 und weiteren Trennlinien. Menge 1: Klasse 1: x1,1=[1,1]T, x1,2=[2,1]T, x1,3=[1,2]T, x1,4=[2,2]T, x1,5=[1,3]T Klasse 2: x2,1=[5,1]T, x2,2=[6,1]T, x2,3=[5,2]T, x2,4=[6,2]T, x2,5=[5,3]T Menge 2: Klasse 1: x1,1=[1,1]T, x1,2=[2,1]T, x1,3=[1,2]T, x1,4=[4,2]T, x1,5=[1,3]T Klasse 2: x2,1=[3,1]T, x2,2=[4,1]T, x2,3=[3,2]T, x2,4=[2,2]T, x2,5=[4,3]T Beobachte und beschreibe das Konvergenzverhalten. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Nicht-lineare Klassen und Mehrklassen-Ansatz Lineare Klassifikation nicht linear separierbarer Klassen Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Lineare Klassifikation nicht linear separierbarer Klassen Klassen nicht linear separierbar: Perzeptron-Algorithmus konvergiert nicht. Erweiterung des Perzeptron-Lernalgorithmus nach Gallant: Pocket-Algorithmus. Konvergiert zu einer optimalen Lösung in dem Sinne, dass die Anzahl der Fehlklassifikationen minimal ist. Der Pocket-Algorithmus: Schritt k=0: Initialisiere Gewichtsvektor w(0) mit Zufallszahlen. Definiere einen Zufalls-Gewichtsvektor wp und speichere ihn (“in the pocket”). Setze den Zähler hp von wp auf Null. Iteriere: Schritt k+1 Berechne w(k+1) aus w(k) mittels Perzeptron-Regel. Benutze w(k+1), um die Anzahl h korrekt klassifizierter Trainingsvektoren zu messen. Wenn h > hp, ersetze wp durch w(k+1) und den aktuellen Wert von hp durch h. Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen Nicht c2 c2 c3 c1 c4 c2 M Klassen (hier M=4) M lineare Klassifikatoren, die je eine Klasse von allen anderen unterscheiden oder M(M-1)/2 Klassifikatoren, die jeweils ein paar von Klassen unterscheiden oder ... c1 Nicht c1 Mehrdeutiges Gebiet Nicht c4 c4 Nicht c3 c3 H23 H24 H13 H12 c1 c1 c2 c2 c3 c1 c4 c3 Mehrdeutiges Gebiet H14 c2 c3 c3 c2 c4 c4 H34 Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen ... Oder Kesler: M lineare Entscheidungsfunktionen gi(x) = wiT x + w0i mit Klassenzuordnung des Vektors x zu Klasse i, wenn “Lineare Maschine” H15 H25 c1 c3 c2 H13 H12 H23 R1 R2 R3 R5 c5 R1 H35 R2 R3 c3 c2 c1 H13 H23 H34 R4 c4 H14 H24 Zuordnungsgrenzen der linearen Maschine für drei bzw. fünf Klassen Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen Lineare Maschine: Verallgemeinerung des Perzeptrons auf M-Klassen-Aufgaben: Eine lineare Unterscheidungsfunktion wi sei definiert für jede der Klassen ci i = 1,2,...,M. Ein l+1 dimensionaler (erweiterter) Merkmalsvektor x wird Klasse ci zugeordnet, wenn Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen Lineare Maschine: Wirkung im Merkmalsraum Trennebenen zwischen Klassen ci und cj: c1 c3 c2 H13 H12 H23 R1 R2 R3 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen Lineare Maschine: Annahme: Drei Klassen mit Gewichtsvektoren Für einen Stichprobenvektor der Klasse c1 gilt: Block-Gewichtsvektor Block-Merkmalsvektoren Vorlesung "Intelligente Systeme"

Block-Gewichtsvektor Block-Merkmalsvektoren Block-Gewichtsvektor Block-Merkmalsvektoren Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Lineare Separierung von mehr als zwei Klassen Kesler´s Konstruktion: Für jeden der Trainingsvektoren aus Klasse ci konstruiere M-1 Vektoren xij=[0,0,...,x´,...,-x´,...,0]T, j = 1,2,…M wobei j ¹ i Block-Vektoren der Dimension (l+1)Mx1 überall Nullen haben, außer an Blockposition i und j, wo sie x´ bzw. –x´ für j ¹ i haben. Konstruiere ferner einen Blockgewichtsvektor w´ = [w´1, w´2, ..., w´M]T. Wenn x´ e ci dann impliziert dies: Benutze den Perzeptron-Algorithmus, um eine Trennebene im (l+1)M dimensionalen Raum zu berechnen, so dass alle (M-1)N Trainingsvektoren auf der positiven Seite liegen. Das Verfahren konvergiert nur, wenn alle Klassen linear separierbar sind ! M: Anzahl der Klassen Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Beispiel für Kesler´s Konstruktion (Teil1) Dreiklassenproblem im 2d Merkmalsraum: linear separierbar c1 : [1,1]T, [2,2]T, [2,1]T Quadrant 1 c2 : [1,-1]T, [1,-2]T, [2,-2]T Quadrant 4 c3 : [-1,1]T, [-1,2]T, [-2,1]T Quadrant 2 Erweiterung auf 3 Dimensionen und Anwendung von Kesler´s Konstruktion: c1: [1,1]T gibt x1,2 = [1,1,1,-1,-1,-1,0,0,0]T und x1,3 = [1,1,1,0,0,0,-1,-1,-1]T c2: [1,-2]T gibt x2 1 = [-1,2,-1,1,-2,1,0,0,0]T und x2,3 = [0,0,0,1,-2,1,-1,2,-1]T c3:[-2,1]T gibt x3 1 = [2,-1,-1,0,0,0,-2,1,1]T und x3 2 = [0,0,0,2,-1,-1,-2,1,1]T usw. um die anderen 12 Vektoren zu erhalten. Die Gewichtsvektoren für c1, c2 und c3 lauten: w1 = [w11, w12, w10]T, w2 = [w21, w22, w20]T, w3 = [w31, w32, w30]T Kesler: w = [w1, w2, w3]T Anwendung des Perzeptron-Algorithmus unter der Bedingung xij=[0,0,...,x,...,-x,...,0]T, j = 1,2,…M wobei j ¹ i Block-Vektoren der Dimension (l+1)Mx1überall Nullvektoren, außer an Blockposition i and j, wo x bzw. -x für j ¹ i Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Beispiel für Kesler´s Konstruktion (Teil2) Dreiklassenproblem im 2d Merkmalsraum: linear separierbar Klasse c1 : xa = [1,1]T, xb = [2,2]T, xc = [2,1]T Quadrant 1 Klasse c2 : xd = [1,-1]T, xe = [1,-2]T, xf = [2,-2]T Quadrant 4 Klasse c3 : xg = [-1,1]T, xh = [-1,2]T, xi = [-2,1]T Quadrant 2 Block-Merkmalsvektoren: c1: xa = [1,1]T gibt xa12 = [1,1,1,-1,-1,-1,0,0,0]T und xa1,3 = [1,1,1,0,0,0,-1,-1,-1]T xb =[2,2]T gibt xb12 = [2,2,1,-2,-2,-1,0,0,0]T und xb1,3 = [2,2,1,0,0,0,-2,-2,-1]T xc =[2,1]T gibt xc12 = [2,1,1,-2,-1,-1,0,0,0]T und xc1,3 = [2,1,1,0,0,0,-2,-1,-1]T c2: xd = [1,-1]T gibt xd21 = [-1,1,-1,1,-1,1,0,0,0]T und xd2,3 = [0,0,0,1,-1,1,-1,1,-1]T xe =[1,-2]T gibt xe21 = [-1,2,-1,1,-2,1,0,0,0]T und xe2,3 = [0,0,0,1,-2,1,-1,2,-1]T xf =[2,-2]T gibt xf21 = [-2,2,-1,2,-2,1,0,0,0]T und xf2,3 = [0,0,0,2,-2,1,-2,2,-1]T c3: xg = [-1,1]T gibt xg31 = [1,-1,-1,0,0,0,-1,1,1]T und xg3 2 = [0,0,0,1,-1,-1,-1,1,1]T xh =[-1,2]T gibt xh31 = [1,-2,-1,0,0,0,-1,2,1]T und xh3 2 = [0,0,0,1,-2,-1,-1,2,1]T xi =[-2,1]T gibt xi31 = [2,-1,-1,0,0,0,-2,1,1]T und xi3 2 = [0,0,0,2,-1,-1,-2,1,1]T Die Gewichtsvektoren für c1, c2 und c3 lauten: w1 = [w11, w12, w10]T, w2 = [w21, w22, w20]T, w3 = [w31, w32, w30]T Block-Gewichtsvektor w = [w1, w2, w3]T = [w11, w12, w10, w21, w22, w20,w31, w32, w30]T Anwendung des Perzeptron-Algorithmus unter der Bedingung Vorlesung "Intelligente Systeme"

5. Lineare Klassifikatoren Beispiel für Kesler´s Konstruktion (Teil3) Dreiklassenproblem im 2d Merkmalsraum: linear separierbar Klasse c1 : xa = [1,1]T, xb = [2,2]T, xc = [2,1]T Quadrant 1 Klasse c2 : xd = [1,-1]T, xe = [1,-2]T, xf = [2,-2]T Quadrant 4 Klasse c3 : xg = [-1,1]T, xh = [-1,2]T, xi = [-2,1]T Quadrant 2 Ergebnis Perzeptron-Algorithmus: w=[5.13, 3.60, 1.00, -0.05, -3.16, -0.4, -3.84, 1.28, 0.69 ]T w1 = [5.13, 3.60, 1.00]T, w2 = [-0.05, -3.16, -0.4]T, w3 = [-3.84, 1.28, 0.69 ]T Bestimmung Klassenzugehörigkeit neuer Vektor: xp = [1.5, 1.5]T x’p = [1.5, 1.5, 1]T Berechnung x’pw1 = , x’pw2 = , x’pw3 = -3.3 ergibt x’pw1 > x’pw3 > x’pw2 daraus folgt xp Element der Klasse c1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Kleinste-Quadrate lineare Klassifikatoren Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Kleinste-Quadrate Lineare Klassifikatoren
Wegen der Einfachheit linearer Klassifikatoren ist ihr Einsatz bisweilen auch dann wünschenswert, wenn die Klassifikationsaufgabe nicht-linear ist. Anstelle des Pocket-Algorithmus können Kleinste-Quadrate-Methoden verwendet werden, um eine optimale Lösung zu finden. Gegeben: linearer Klassifikator w und Stichproben-Merkmalsvektor x (jeweils erweiterte Vektoren). Ausgang des Klassifikators Der gewünschte Ausgang ist (2-Klassen-Problem) Methode der kleinsten Quadrate: Optimaler Gewichtsvektor w durch Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers (MSE: mean square error) J zwischen tatsächlichem und gewünschtem Ausgang: E[...] bezeichnet den Erwartungwert über die Verteilung: Minimierung der obigen Gleichung bezüglich w bedeutet: Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Die obige Gleichung wird also gelöst durch: Wobei R die Korrelationsmatrix der l-dimensionalen Vektoren x ist: E[xy] ist die Kreuzkorrelation zwischen tatsächlichem und gewünschtem Ausgang: Wenn R invertierbar ist, resultiert der optimale Gewichtsvektor aus der Lösung eines linearen Gleichungssystems. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Zusammenfassung der “Mean Square Error Estimation” (MSE): Lösung gegeben durch folgende Gleichungen: R ist die Korrelationsmatrix der Verteilung der Merkmalsvektoren. Aber leider (wie bei Bayes): Eine Lösung der obigen Gleichungen benötigt die Kenntnis der Verteilungsfunktion. Diese ist im Allgemeinen nicht bekannt, sondern nur Stichprobe gegeben. Daher: Approximation muss gefunden werden, welche die verfügbaren Stichproben-Merkmalsvektoren benutzt: Der LMS-Algorithmus Vorlesung "Intelligente Systeme"

Stochastische Approximation und der LMS Algorithmus Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Stochastische Approximation und der LMS Algorithmus Wir betrachten eine Gleichung der Form wie z.B. wobei eine Folge von “random vectors” der unbekannten Verteilung ist, F(.,.) ist eine Funktion und w der Vektor der unbekannten Gewichtswerte. Dann kann eine Lösung gefunden werden durch Anwendung des folgenden iterativen Schemas (Robbins und Monroe 1951): Wenn Dann was bedeutet, daß die gewünschte Konvergenz erreicht wurde. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Mithilfe dieser Erkenntnis kann die ursprüngliche Gleichung ohne genaue Kenntnis der Verteilung gelöst werden. Allerdings wird eine hinreichend große Stichprobe von Merkmalsvektoren benötigt. Dann wird substituiert durch , wobei {xk} die Menge der Trainings-Merkmalsvektoren und {yk} die Menge der entsprechenden gewünschten Ausgangswerte +-1 darstellt. Dieses iterative Schema wird als Widrow-Hoff Algorithmus bezeichnet. Er konvergiert asymptotisch gegen die MSE-Lösung. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Eine verbreitete Variante benutzt ein konstantes r für die Folge rk. Diese Variante wird angewendet, wenn sich die Stichprobenverteilung mit dem Index k ändert. Sie konvergiert jedoch nicht genau gegen die MSE-Lösung. Hayk konnte jedoch 1996 zeigen, daß wenn 0 < r < 2/spur{R}, dann Es stellt sich heraus, dass, je kleiner der Wert von r ist, die MSE Lösung umso besser approximiert wird, aber die Konvergenzgeschwindigkeit umso kleiner ist. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Schätzalgorithmus mittels Quadratfehlersummen Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Schätzung mittels Summe der Fehlerquadrate Ein anderes Kriterium für die Konstruktion eines optimalen linearen Klassifikators ist die Minimierung der Summe der Fehlerquadrate über die Trainingsstichprobe. Die Kostenfunktion lautet dann: Die Fehlerquadrate zwischen den gewünschten und den tatsächlichen Klassifikatorausgängen werden über alle verfügbaren Trainingsvektoren der Stichprobe aufsummiert, wodurch die Notwendigkeit der expliziten Kenntnis der zugrundeliegenden Verteilungsfunktionen vermieden wird. Die Minimierung obiger Gleichung bezüglich w ergibt: Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Die Minimum-Bedingung kann umformuliert werden als: Matrix XTX wird bezeichnet als “Stichproben-Korrelationsmatrix”. Matrix (XTX)-1XT ist die Pseudoinverse von Matrix X und wird mit X+bezeichnet. X+ ist nur dann sinnvoll, wenn XTX invertierbar ist, d.h. wenn X den Rang l besitzt. X+ ist eine Verallgemeinerung der Inversen einer invertierbaren quadratischen Matrix: Wenn X eine invertierbare quadratische Matrix ist, dann ist X+ = X-1. Dann ist der geschätzte Gewichtsvektor die Lösung des linearen Gleichungssystems Xw = y. Wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt, d.h., wenn N > l, dann ist die Lösung, die man mit der Pseudoinversen erhält, diejenige, die die Summe der Fehlerquadrate minimiert. Es kann ferner gezeigt werden, daß die Lösung mit der Summe der Fehlerquadrate gegen die MSE-Lösung strebt, wenn N gegen unendlich geht. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Mehrklassen-Verallgemeinerung Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Klassifikatoren Mehrklassen-Verallgemeinerung Konstruiere N lineare Trennfunktionen i=1,...,N wobei der gewünschte Ausgang lautet Mit dem MSE Kriterium: Wenn wir in diesem Fall N=2 wählen gibt die Entscheidungs-Hyperebene die gewünschten Antworten +-1 für die entsprechende Klassenzugehörigkeit. Definiert man den Vektor der gewünschten Ausgänge für einen gegebenen Merkmalsvektor x als y=(y1, ,yN), wobei yi=1 für die Klasse von Vektor x und y=0 sonst. Es sei ferner Matrix W zusammengesetzt aus Gewichtsvektoren wi als Spalten. Dann kann das MSE Kriterium verallgemeinert werden als Minimierung der Norm von y-WTx: Dies ist gleichbedeutend mit N unabhängigen MSE Minimierungsaufgaben, welche mit den bereits vorgestellten Methoden gelöst werden können. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Aufstieg und Fall des Perzeptrons 1957 – Frank Rosenblatt entwickelt Konzept des Perzeptron 1958 – Konzept-Vorstellung 1960 – Konzept-Umsetzung an der Cornell University, Ithaca, New York (USA) 1962 – Zusammenfassung der Ergebnisse in „Principles of Neurodynamics: Perceptrons and the Theory of Brain Mechanisms” 1969 – Beweis durch Marvin Minsky und Seymour Papert, dass ein einstufiges Perzeptron den XOR-Operator nicht darstellen kann. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren
Das XOR-Problem Das Zweischicht-Perzeptron Eigenschaften des Zweischicht-Perzeptrons Prozedur zum Auffinden geeigneter Abbildungen mit Perzeptrons Der Backpropagation-Algorithmus Bemerkungen zum Backpropagation-Algorithmus Freiheitsgrade beim Backpropagation-Algorithmus Nicht-lineare Support-Vektor-Maschine Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren In vielen praktischen Fällen sind auch optimale lineare Klassifikatoren unzureichend. Einfachstes Beispiel: Das XOR Problem. Bool´sche Operationen können als Klassifikationen aufgefasst werden: Abhängig vom binären Eingangsvektor ist der Ausgang entweder 1 (Klasse A) oder 0 (Klasse b). X1 X2 AND(X1, X2) Klasse OR(X1, X2) Klasse XOR(X1, X2) Klasse B B B B A A B A A A A B x2 x2 x2 1 B A A B 1 A 1 A B B B A B A x1 x1 1 1 1 x1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren: Mehrschicht-Perzeptron Das zweischichtige Perzeptron Wir betrachten zunächst das OR-Gatter: Die OR-Separierung wird dargestellt durch folgende Perzeptron-Struktur: x2 x1o x2o 1 1 A A S f B A x1 x1 -1/2 Das XOR Gatter Eine offensichtliche Lösung des XOR-Problems wäre, zwei Entscheidungslinien g1(x) and g2(x) einzuzeichnen. Dann ist Klasse A auf der - Seite von g1(x) und auf der + Seite von g2(x) und Klasse B auf der + Seite von g1(x) und auf der - Seite von g2(x). Eine geeignete Kombination der Ergebnisse der beiden linearen Klassifikatoren würde also die Aufgabe erfüllen. x2 + - + - 1 A B B A 1 x1 g1(x) g2(x) Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Anderer Blickwinkel als Basis für Verallgemeinerung: Realisierung zweier Entscheidungslinien (Hyperebenen) durch Training zweier Perzeptrons mit Eingängen x1, x2 und entsprechend berechneten Gewichten. Die Perzeptrons wurden trainiert, die Ausgänge yi = f(gi(x)), i=1,2 zu liefern, Aktivierungsfunktion f: Sprungfunktion mit Werten 0 und 1. In der folgenden Tabelle sind die Ausgänge mit ihren entsprechenden Eingängen gezeigt: (x1 x2) (y1 y2) Klasse (0 0) (0 0) B (0) (0 1) (1 0) A (1) (1 0) (1 0) A (1) (1 1) (1 1) B (0) Betrachtet man (x1, x2) als Vektor x und (y1, y2) als Vektor y, definiert dies eine Abbildung von Vektor x auf Vektor y. Entscheidung über die Zugehörigkeit zu Klasse A oder B anhand der transformierten Daten y: y2 Die Abbildung überführt linear nicht separierbares Problem im Ursprungsraum in ein linear separierbares im Bildraum. B 1 B A x1 y1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Dies führt zum Zweischicht-Perzeptron, welches das XOR-Problem löst: x1o 1 -2 x2o -1/2 S f -3/2 f Sprungfunktion 1 S Dieses kann weiter verallgemeinert werden auf das allgemeine Zweischicht-Perzeptron oder Zweischicht-Feedforward-Netzwerk: x1o x2o . xNo O y1 O y2 O yM O Dabei bezeichnet jeder Knoten folgende Struktur: w1 . wN S f w0 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Eigenschaften des Zweischicht-Perzeptrons -1/2 S f 1 x1o y1 y2 1 -2 -1/2 S f 1 -3/2 S f x2o Die erste Schicht führt eine Transformation der Bereiche des Eingangsraumes (x1,x2) auf den + und - Seiten der geraden Entscheidungslinien g1: x1+x2-1/2=0 und g2 : x1+x2-3/2=0 durch auf die Vertizes (Ecken) des Einheitsquadrates im Ausgangsraum (y1,y2). x2 y2 + - Die zweite Schicht führt eine Abbildung der Bereiche des (y1,y2)-Raumes auf den + und - Seiten der geraden Entscheidungslinie g: y1-2y2-1/2=0 durch auf die Ausgangswerte 0 und 1. + - A B B 1 1 - + B A B A 1 x1 x1 y1 1 g1(x) g2(x) Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron x1o x2o . xNo O y1 O y2 O yM O Neuronen der ersten Schicht: Abbildung des Eingangsraumes auf die Vertizes eines Hyperkubus im M-dimensionalen Raum der Ausgangswerte der versteckten Neuronen. =>Jeder Eingangsvektor x wird auf einen binären Vektor y abgebildet. Komponenten yi des Abbild-Vektors y von Vektor x werden durch den Gewichtsvektor wi bestimmt. Befindet sich x auf der positiven Seite der Ebene, welche durch wi definiert ist, hat yi den Wert 1 und wenn x auf der negativen Seite der Ebene liegt, die durch wi definiert ist, hat yi den Wert 0. Wir betrachten den Fall dreier versteckter Neuronen: Drei Hyperebenen g1, g2, g3: g1 g3 g2 + - 111 011 010 110 001 000 100 Der Merkmalsraum wird in Polyeder unterteilt (Volumina, die durch Entscheidungs-Hyperebenen begrenzt werden), welche auf die Vertizes eines dreidimensionalen Kubus abgebildet werden, welche durch Tripel der binären Werte y1, y2, y3 definiert werden. 011 111 Zweite Schicht: Entscheidungshyperebene, welche die Vertizes in zwei Klassen aufteilt. Im vorliegenden Fall werden die Gebiete 111, 110, 101 und 100 in die gleiche Klasse eingeteilt. 001 101 110 000 100 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron
Ein Zweischicht-Perzeptron kann Klassen unterteilen, die aus Vereinigung polyedrischer Bereiche bestehen. Liegen Vereinigungen solcher Bereiche vor, wird eine weitere Schicht benötigt. x1o x2o . xNo O y1,1 O y2,1 . O yM,1 O y1,2 O y2,2 . O yL,2 O Das Perzeptron kann auch erweitert werden, um Mehrklassenprobleme zu lösen. Klassenzugehörigkeits- raum Merkmalsraum : O Class wj Class wk Class wl Gj Gk Gl p3 p1 p2 p4 m1 m2 m3 Das Mehrschicht-Perzeptron löst alle Klassifikationsaufgaben, bei denen die Klassen im Merkmalsraum durch Vereinigungen von Polyedern, Vereinigungen solcher Vereinigungen, ..., gebildet werden, wenn die entsprechende Anzahl von Schichten zur Verfügung steht. Klassenzugehörigkeits- raum Merkmalsraum Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Anmerkungen: Struktur zur nicht-linearen Abbildung von Merkmalsvektoren auf Klassenzugehörigkeitsvektoren: Das Mehrschicht-Perzeptron. Verbleibende, noch zu bestimmenden Freiheitsgrade: Anzahl der Schichten, Anzahl der Neuronen pro Schicht, Aktivierungsfunktion, Gewichtswerte. Verbleibende Frage: Bei gegebenen Merkmalen und bekannten Klassenzugehörigkeiten der Stichproben-Vektoren: Welches ist die beste Anordnung von Neuronen und Gewichtsvektoren, die eine gegebene Klassifikationsaufgabe lösen? Hilfe seitens der Mathematik: Für jedes kontinuierliche Abbildungsproblem kann ein Zweischicht-Perzeptron mit einer nicht-linearen Aktivierungsfunktion und einer hinreichenden Anzahl Neuronen in der versteckten Schicht gefunden werden, welches die Abbildung mit beliebiger Genauigkeit annähert. => Freiheit, einen Satz von Aktivierungsfunktionen zu wählen, der eine einfache Lösung ermöglicht. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Auffinden einer geeigneten Abbildung mit Perzeptrons Einmal wieder Optimierungsprozedur: Minimierung der Differenz zwischen realem Ausgang des Perzeptrons (vorausgesagte Klassenzugehörigkeit) und dem gewünschten Ausgang entsprechend der bekannten Klassenzugehörigkeiten der verfügbaren Stichprobe. Definition einer Kostenfunktion der Differenz zwischen realem und gewünschtem Ausgang. z.B. Summe der Fehlerquadrate. Minimierung der Kostenfunktion bezüglich der Perzeptron-Parameter. Vereinfachung: Definiere eine Aktivierungsfunktion. Dann braucht die Minimierung nur bezüglich der Gewichtswerte durchgeführt werden. Minimierung impliziert die Nutzung der Ableitungen der Aktivierungsfunktion. Wird die Sprungfunktion benutzt, tritt eine Unstetigkeit in der Ableitung auf. Wir ersetzen daher die Sprungfunktion durch die stetig differenzierbare logistische Funktion. f Die logistische Funktion ist eine aufgeweichte Sprungfunktion, wobei a die Steigung bei x=0 bestimmt und Damit ist die Klassenzugehörigkeit nicht mehr scharf 0 oder 1. 1 x Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Nun kann der “geeignetste” Klassifikator durch Minimierung einer Kostenfunktion bezüglich der Gewichtswerte gefunden werden. Geometrische Betrachtungsweise: Alle Gewichte (aller Schichten) spannen einen Raum auf. Die Kostenfunktion bildet dann eine Fläche über diesem Raum. => Globales Minimum dieser Fläche für die gegebene Stichprobe gesucht. Da nicht-lineare Aktivierungsfunktionen vorliegen, wird zur Suche ein iteratives Schema benutzt. Der verbreitetste Ansatz ist die Gradientenabstiegsmethode: Starte mit einem Zufalls-Gewichtsvektor w. Berechne den Gradienten der Fläche bei w. Bewege w in Richtung entgegen dem Gradienten. Wiederhole die obigen Schritte, bis ein Minimum erreicht ist, d.h. der Gradient einen Schwellwert unterschreitet. Es sei w der Gewichtsvektor von Neuron n in Schicht l: Vorlesung "Intelligente Systeme"

x1o x2o . xNo Neuron 2 in Schicht 3 Korrektur-Inkrement D mit Kostenfunktion J: O n21 ->y21 O n22 ->y21 . O n2A ->y21 O n31 ->y31 O n32 ->y31 . O n3A ->y31 y1 yM O : O Kostenfunktion: Summe der Abweichungen des tatsächlichen vom gewünschten Ausgang für alle K Stichprobenvektoren: l=L l=1 e: Summe der Fehlerquadrate über alle M Ausgangsneuronen: Aktivierung Neuron n in Schicht l Kettenregel: o . w1 w2 wN w0 S f y n Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron o . o . Wn0l-1 n f Schicht l-1 Schicht l j f wj0l Neuron n aus Schicht l-1. Ausgang für Stichprobenvektor k: ynl-1(k). Gewichtswert zu Neuron j aus der nachfolgenden Schicht l: wjnl. Dann ist das Argument dieses Neurons j aus Schicht l: In der Ausgangsschicht ist An der Eingangsschicht gilt Definition für gegebenes Abweichungsmaß e: Diese Beziehung gilt für jede differenzierbare Kostenfunktion. Schließlich erhalten wir: Vorlesung "Intelligente Systeme"

Die Berechnungen beginnen an der Ausgangsschicht l=L und propagieren rückwärts durch die Schichten l=L-1, L-2, ..., 1. Bei Benutzung des Quadratfehler-Distanzmaßes erhalten wir: (1) l = L: Fehler für Muster k an Ausgangsschicht Aktivierungsfunktion Aus wird Ableitung der Aktivierungsfunktion Von folgt (2) l < L: Schwieriger wegen Einfluss von auf alle der nächsten Schicht Nochmals Kettenregel: Nach längerer Algebra erhält man folgende Gleichung: Dies vervollständigt den Gleichungssatz des Backpropagation Algorithmus. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Der Backpropagation Gleichungssatz Fehler-Rückpropagierung Gewichtsmodifikation Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Der Backpropagation Gleichungssatz o . o . wn0l-1 n f Schicht l Schicht l-1 j f wj0l Fehler-Rückpropagierung Gewichtsmodifikation Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Der Backpropagation Algorithmus Unter der Annahme der logistischen Funktion als Aktivierungsfunktion: 1. Initialisierung Initialisiere die Gewichte des Netzwerks mit kleinen Zufallszahlen. Benutze z.B. einen Pseudozufallszahlengenerator. 2. Vorwärts-Berechnung Berechne für jeden Merkmalsvektor x(i) der Trainingsmenge alle vjl(i), yjl(i)=f(vjl(i)) und die Kostenfunktion J sowie djl(i) für die momentanen Schätzwerte der Gewichte. 3. Rückwärts-Berechnung Berechne für jedes i die djl-1(i) und aktualisiere die Gewichte für alle Schichten entsprechend: Wiederhole Schritte 2 und 3, bis der Wert von J zufriedenstellend klein ist. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Bemerkungen zum Backpropagation Algorithmus Ausgangspunkt Mehrschicht-Perzeptrons mit Stufenfunktionen als Aktivierungsfunktionen: Operatoren zur Aufteilung des Merkmalsraums in Volumina, welche Klassenzugehörigkeiten repräsentieren. Volumina waren allgemeine Vereinigungen von Polyedern, begrenzt durch Entscheidungs-Hyperebenen. Lösungsweg Für eine gegebene endliche Stichprobe (Merkmalsvektoren mit bekannter Klassenzugehörigkeit) existiert i.A. eine unbegrenzte Anzahl möglicher Mehrschicht-Perzeptron-Realisierungen, welche die Klassifikationsaufgabe lösen. Suche nach einer eindeutigen (der besten) Lösung: Minimum einer Kostenfunktion; Wahl: Fehlerquadratsumme. Für mathematische Formulierung: Ersatz der Stufenfunktion durch die logistische Funktion als Aktivierungsfunktion. Optimierungsprozedur zur Bestimmung der Gewichtwerte für eine gegebene Stichprobe: den Backpropagation Algorithmus. Allgemeingültigkeit Satz von Kolmogoroff aus der Mathematik: Abbildungsoperatoren mit einer versteckten Schicht und nicht-linearer Abbildungsfunktion sind in der Lage, jegliche stetig differenzierbare Abbildung zu realisieren. Daraus folgt, dass wir eine einfache Methode gefunden haben, einen universellen Mustererkenner zu konstruieren. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Offene Fragen zum Backpropagation Algorithmus Wie komme ich zu einer guten Netzwerkstruktur ? Wie kann ich die Konvergenzgeschwindigkeit optimieren ? Wie kann ich vermeiden, in lokalen Minima der Kostenfunktion steckenzubleiben ? Wie präsentiere ich die Trainingsstichprobe ? Update nach jedem Trainingspaar, Epochen-Lernen, sequentielle oder zufällige Reihenfolge ? Wann höre ich mit dem Training auf ? Gibt es bessere Kostenfunktionen ? Gibt es Alternativen für die Architektur und die Aktivierungsfunktion ? J m J w Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Wahl der Netzwerkgröße und -struktur Wie soll man die geeignete Anzahl der Neuronen und Schichten bestimmen? Wenn eine endliche Trainingsstichprobe von Paaren gegeben ist {x1,y1, x2,y2, ..., xN,yN}, dann sollte die Anzahl der freien Parameter (hier synaptische Gewichte) 1) groß genug sein, um eine angemessene Klassentrennung modellieren zu können 2) klein genug sein, damit nicht die Möglichkeit besteht, die Unterschiede zwischen Paaren derselben Klasse (Look-up Tabelle) zu lernen. Wenn die Anzahl freier Parameter groß ist, tendiert das Netz dazu, sich an die speziellen Details des Trainingsdatensatzes anzupassen (Übertrainieren) und verliert seine Generalisierungsfähigkeit. Das Netz sollte die kleinst mögliche Größe besitzen, um sich den größten Regelmäßigkeiten in den Daten anzupassen und die kleineren zu ignorieren, die von Rauschen herrühren könnten. Zur Bestimmung der Netzgröße gibt es auch systematische Methoden. x2 * Hohe Anzahl freier Parameter * * * Niedrige Anzahl freier Parameter * + + * * + + + + * + * + + x1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Methoden zur systematischen Bestimmung der Netzgröße Algebraische Schätzung Ein Mehrschicht-Perzeptron mit Eingangsraum-Dimensionalität d und einer versteckten Schicht mit N Neuronen kann maximal M polyedrische Gebiete bilden, wobei . Für das XOR-Problem mußten wir drei Gebiete unterscheiden, d.h. M=3 und d=2. Mit obiger Gleichung erhält man für N=1 M=2 und für N=2 ergibt sich M=4, was bedeutet, daß eine versteckte Schicht mit zwei Neuronen notwendig und hinreichend ist. Netzpruning Anfangs wird ein großes Netzwerk für das Training gewählt und danach die Anzahl der freien Parameter sukzessive entsprechend einer ausgewählten Regel (z.B. Kostenfunktions-Regularisierung) reduziert. Die Kostenfunktionsregularisierung schließt in die Kostenfunktion einen Bestrafungsterm ein. Dieser kann z.B. gewählt werden als: wobei K die Gesamtzahl der Gewichtswerte im Netzwerk und l der Regularisierungsparameter ist. Es gibt verschiedene Pruning-Techniken, die auf ähnlichen Grundideen aufbauen. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Konstruktive Techniken Als Ausgangspunkt wird ein kleines Netzwerk gewählt, dem aufgrund entsprechend angepaßter Lernregeln sukzessive Neuronen hinzugefügt werden. Fahlmann (1990) schlug die cascade correlation Konstruktionstechnik für neuronale Netze mit einer versteckten Schicht und sigmoider Aktivierungsfunktion vor. Start: nur Eingangs- und Ausgangsneuronen. Sukzessives Hinzufügen versteckter Neuronen: Jeweils mit dem bestehenden Netzwerk mit zwei Typen von Gewichten verbunden: Typ 1: verbindet das neue Neuron mit den Eingangsneuronen sowie mit den Ausgängen der zuvor hinzugefügten versteckten Neuronen. Die entsprechenden Gewichtswerte werden dann trainiert, um die Korrelation zwischen der Sequenz der Ausgangswerte des neu hinzugefügten Neurons und der Restfehlersequenz des Netzwerkausgangs (für die Trainingsvektormenge) zu maximieren. Diese Gewichtswerte werden dann eingefroren. Typ 2: verbindet den Ausgang des neuen Neurons mit den Ausgangsneuronen des Netzwerks. Nach jedem derartigen Hinzufügen eines Neuron: Training des gesamten Satzes der Typ2-Gewichte, um die Quadratfehlersumme zu minimieren. Neue Neuronen werden solange hinzugefügt, bis die Kostenfunktion spezifizierte Vorgaben erfüllt. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Konstruktive Techniken cascade correlation Konstruktionstechnik 1. Start: nur Eingangs- und Ausgangsneuronen 2. Training bis Minimum SSE 3. Schleife bis SSE < Schwellwert 3.1 Hinzufügen neues hidden Neuron 3.2 Verbinde Eingänge neues Neuron mit Eingangsneuronen und Ausgängen der alten hidden Neuronen mit Typ1-Gewichten. 3.3 Trainiere Typ1-Gewichte neues Neuron, bis die Korrelation zwischen SSE des alten Netzwerks und Ausgang des neuen Neurons maximal ist. 3.4 Verbinde Ausgang neues Neuron mit Eingängen der Ausgangsneuronen mit Typ2-Gewichten. 3.4 Trainiere Typ2-Gewichte aller versteckten Neuronen, bis SSE des Netzwerks minimal. O . x1 x2 xM Typ1-Gewicht Typ2-Gewicht O . x1 x2 xM O O . x1 x2 xM O O Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Konvergenzverhalten und Beschleunigung Der Backpropagation Algorithmus ist eine Variante der Gradienteabstiegsmethoden, speziell für Mehrschichtstrukturen. Er hat damit dieselben Nachteile wie sein Original. langsam J oszillierend steckengeblieben w Es gibt mehrere Ansätze, diese Probleme zu überwinden. Hinzufügen eines Impulsterms Der Impulsterm dämpft das Oszillationsverhalten und beschleunigt die Konvergenz. Er fügt aber auch einen neuen Parameter hinzu, den Impulsfaktor, der den Einfluß des alten Gewichtsvektors auf die Gestalt des neuen Gewichtsvektors gewichtet. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Beschleunigung mit Rprop Die Grundidee besteht darin, für die Lernrate µ einen adaptiven Wert zu verwenden, der vom Unterschied des Kostenfunktionswertes zwischen zwei aufeinanderfolgenden Trainingsschritten abhängt: Nimmt die Kostenfunktion ab, oder bleibt sie unverändert, dann wird die Lernrate um einen Faktor > 1 erhöht. Steigt die Kostenfunktion an um mehr als einen bestimmten Faktor, dann wird die Lernrate mit einem Faktor < 1 verringert. Im Zwischenbereich bleibt die Lernrate gleich. In der Praxis sind typische Werte ri=1.05, rd=0.7, c=1.04 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Gegenmaßnahmen bei Steckenbleiben im lokalen Minimum Bleibt auch nach einer großen Anzahl von Trainingsepochen die Kostenfunktion auf einem unbefriedigend hohen Niveau, kann davon ausgegangen werden, daß die Gradientenabstiegsmethode in einem lokalen Minimum steckengeblieben ist. Man kann dann zuerst versuchen, das Training mit einer neuen Zufallsgewichtsverteilung zu wiederholen. Wenn auch dies nicht hilft, kann ein weiteres Neuron in einer versteckten Schicht hinzugeügt werden, um neue Dimensionen im Raum der Gewichtswerte hinzuzufügen, in denen die Gradientenmethode einen Weg aus dem lokalen Minimum finden kann. J Anzahl der Epochen Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Präsentation des Trainingsdatensatzes Der Trainingsdatensatz kann in verschiedener Reihenfolge angeboten werden. Die Neuberechnung der Gewichte kann mit unterschiedlicher Strategie erfolgen. Den Daten kann Rauschen hinzugefügt werden. Die Verteilung der Trainingsdaten kann verändert werden. Neuberechnung der Gewichte: Batch Modus: Nach Präsentation aller Trainingspaare (Epochenlernen) Mittelungsprozess -> besseres Konvergenzverhalten Pattern Modus: Nach jeder Präsentation eines Trainingspaares Stärkerer Zufallscharakter -> geringere Gefahr des Steckenbleibens Überlagerung von Rauschen: Eine kleine zufällige Störung der Eingangsvektoren kann die Generalisierungsfähigkeit des Netzwerks verbessern. Reihenfolge der Präsentation des Trainingsdatensatzes: Die Zufallsauswahl bei der Präsentationsreihenfolge glättet die Konvergenz und hilft, aus Regionen um ein lokales Minimum herauszuspringen. Vervielfachung der Trainingspaare: Wenn die Klassen in der Stichprobe durch sehr unterschiedliche Anzahlen von Trainingspaaren repräsentiert werden, kann die Konzentration des Netzes auf die stark besetzten Klassen vermieden werden, indem Kopien der Trainingspaare der unterbesetzten Klassen der Stichprobe hinzugefügt werden. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Abbruch des Lernvorgangs Die optimale Leistung ist erreicht, wenn Die Kostenfunktion minimal für den Trainingsdatensatz ist. Das Netzwerk nicht übertrainiert ist. Aufteilung des Trainingsdatensatzes in Lerndatensatz: Zur Neuberechnung der Gewichtswerte Validierungsdatensatz: Nur zur Überprüfung der aktuellen Netzleistung Beobachte die Entwicklung der Kostenfunktionswerte jeweils für den Lern- und den Vailidierungsdatensatz. Wenn die Anzahl der Gewichtswerte groß genug gewählt wurde, kann der Fehler für den Lerndatensatz beliebig klein gemacht werden. Dies führt zum Verlust der Generalisierungsfähigkeit: Die Kostenfunktion des Validierungsdatensatzes nimmt nach einem Minimum wieder zu. Die optimale Leistung eines gewählten Netzwerks wird also am Minimum der Kostenfunktion des Validierungsdatensatzes erreicht. J Validierungsdatensatz Lerndatensatz Epochenanzahl Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Kostenfunktion Alternativen Bislang Kostenfunktion vom Typ „quadratischer Fehler“. Mögliche Probleme: 1. „Lernfokussierung“ und Ausreisser-Empfindlichkeit Fehler werden an den Ausgangsknoten zuerst quadriert und dann aufsummiert. Folge: große Fehlerwerte -> höherer Einfluß auf das Lernen als kleine. Ausgänge mit großen dynamischen Bereichen der Soll-Ausgangswerte werden stärker berücksichtigt. 2. Lokale Minima Gradientenabstiegsmethode kann in lokalen Minima hängen bleiben. Lösung: Es gibt eine Klasse von Kostenfunktionen, well-formed functions, die sicherstellen, daß der Gradientenabstiegsalgorithmus zu einer eindeutigen Lösung konvergiert, welche alle Lerndatensätze korrekt klassifiziert. Z.B. cross-entropy Kostenfunktion: Diese hängt nur von relativen Fehlern ab und gibt Klassen mit niedrigem und hohem dynamischen Bereich das gleiche Gewicht. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Mehrschicht-Perzeptron Alternative Aktivierungsfunktionen Ausgangspunkt für die Konstruktion nicht-linearer Klassifikatoren war das XOR-Problem. Lösung: Vektor-Abbildung x auf y, welche das in x nicht-lineare Problem in ein linear separierbares in y überführte. f: Aktivierungsfunktion und gi(x): Linearkombination der Eingänge eines jeden Neurons. Verallgemeinerung: Merkmalsvektoren im d-dimensionalen Raum Rd, die zu zwei Klassen gehören, die nicht linear trennbar sind. Gegeben seien k nicht-lineare Aktivierungsfuktionen f1, f2, ..., fk, welche eine Abbildung definieren: Wir suchen dann nach einer Menge von Funktionen f1, f2, ..., fk, so dass die Klassen linear separierbar sind im k- dimensionalen Raum der Vektoren y durch eine Hyperebene, so dass Unter der Annahme, dass die beiden Klassen im Ursprungs- raum durch eine nicht-lineare Hyperfläche G(x)=0 trennbar waren, dann sind die beiden Relationen rechts äquivalent mit einer Approximation der nicht-linearen Fläche G(x) mit einer Linearkombination der f(x). Dies ist ein Funktionenapproximationsproblem mit einem Satz Funktionen einer ausgewählten Funktionenklasse. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Verallgemeinerung Mehrschicht-Perzeptron Ausgangspunkt für Konstruktion nicht-linearer Klassifikatoren war XOR-Problem. Lösung: Vektor-Abbildung x auf y: in x nicht-lineares Problem -> linear separierbares in y f: Aktivierungsfunktion und gi(x): Linearkombination der Eingänge eines jeden Neurons. x2 1 S f y1 x1o y2 1,1,0 1 0,1,0 -1/2 1 0,1,1 1,1,1 S f y2 1 1 S f x2o 0,0,0 1,0,0 y1 -1 -1/2 1 0,0,1 y3 1,0,1 1 x1 -1 y3 S f 3/2 Dies ist ein Funktionenapproximationsproblem mit einem Satz Funktionen einer ausgewählten Funktionenklasse. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Verallgemeinerung Verallgemeinerte nicht-lineare Klassifikation Bilde die Daten mit irgend welchen Funktionen in einen höher-dimensionalen Merkmalsraum ab, in welchem ein linearer Klassifikator die Stichprobe korrekt trennt. y3 Klasse 1 x2 x x x x x x x x x x Trennkurve x x x x + + + + + x + + Trennebene x + + + x + x + + x x x x + + + Klasse 2 y1 + + + + + + + x1 y2 Beispiel y2=x1x1 Trenngerade x x x xx x x x o oo oo xx x x xx o o 1 x1 x o x o x x x o 1 y1=x1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Verallgemeinerung Verallgemeinerte nicht-lineare Klassifikation Bilde die Daten mit irgend welchen Funktionen in einen höher-dimensionalen Merkmalsraum ab, in welchem ein linearer Klassifikator die Stichprobe korrekt trennt. Verallgemeinerung: Merkmalsvektoren im d-dimensionalen Raum Rd, die zu zwei Klassen gehören, die nicht linear trennbar sind. Gegeben seien k nicht-lineare Aktivierungsfuktionen f1, f2, ..., fk, welche eine Abbildung definieren: Gesucht: Menge von Funktionen f1, f2, ..., fk, so dass die Klassen linear separierbar sind im k-dimensionalen Raum der Vektoren y durch eine Hyperebene für die Im Ursprungsraum beide Klassen durch eine nicht-lineare Hyperfläche G(x)=0 trennbar, im Bildraum durch Hyperebene : Approximation der nicht-linearen Fläche G(x) mit einer Linearkombination der f(x). f muss nicht-linear sein, sonst nur Translation, Skalierung und Rotation (ungenügend). Dies ist ein Funktionenapproximationsproblem mit einem Satz Funktionen einer ausgewählten Funktionenklasse. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : Verallgemeinerung Dies entspricht einem Zweischicht-Netzwerk mit Aktivierungsfunktionen f1, f2, ..., fk. Die Äquivalenz wird leicht erkannt im (künstlichen) Fall jeweils eines Ein- und Ausgangsneurons: O f1 O f2 . O fM O w1,1 w1,2 . w1,M w2,1 w2,2 . w2,M x y Das bislang betrachtete Perzeptron benutzte als Funktionenklasse die logistischen Funktionen: y w0 x Zwei weitere Klassen haben in der Mustererkennung spezielle Bedeutung: Polynome Gaußfunktionen Polynomklassifikatoren Radiale-Basisfunktionen-Netze Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : SVM Bisherige Lösung für nicht-lineare Klassifikation: Mehrschichtiges Netzwerk aus linearen Klassifikatoren Schwierigkeiten: lokale Minima, viele Parameter, Trainingssteuerung heuristisch Alternative Lösung für nicht-lineare Klassifikation : Bilde die Daten in einen höher-dimensionalen Merkmalsraum ab, in welchem ein linearer Klassifikator die Stichprobe korrekt trennt. f3 Klasse 1 x2 x x x x x x x x Trennkurve x x x x x x + + + + x + + + Trennebene x + + + x + x + + x x x x + + + Klasse 2 f1 + + + + + + + x1 f2 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : SVM Höher-dimensionaler Merkmalsraum : Komplexe Funktionen können durch Schichtstruktur linearer Funktionen abgebildet werden, z.B. Mehrschicht-Perzeptron Zusätzliche, nicht-lineare Basisfunktionen: z.B. Nachteile: Fluch der Dimensionalität Berechnungskomplexität hoch-dimensionaler Vektoren x2 1 S f y1 x1o y2 1,1,0 1 0,1,0 -1/2 1 0,1,1 1,1,1 S f y2 1 S f 1 x2o 0,0,0 1,0,0 y1 -1 -1/2 1 0,0,1 y3 1,0,1 y3 1 x1 -1 S f 3/2 x1 x1 x x x xx x x x o oo oo xx x x xx o 1 x1 o x o x o x x o x 1 x1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-lineare Klassifikatoren : SVM Höher-dimensionaler Merkmalsraum : Es können komplexe Funktionen durch Schichtstruktur linearer Funktionen oder nicht-lineare Basisfunktionen abgebildet werden. Nachteile: Fluch der Dimensionalität Berechnungskomplexität hoch-dimensionaler Vektoren Lösung: Darstellung komplexer Funktionen in dualer Form: Benutzung von Kernelfunktionen , deren Wert das Skalarprodukt der Bildwerte der Argumente ist. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-parametrische Methoden Nächster-Nachbar-Klassifikator Nächste-Nachbar-Regel Gegeben sei eine Stichprobe aus N Mustervektoren (Prototypen) und zugehörigen Klassenzugehörigkeiten (Label) Ein unbekanntes Muster ist zu klassifizieren. Regel: Es wird ihm die Klasse des ihm nächstliegenden Prototypen zugeordnet. Wirkung im Merkmalsraum: Aufteilung in Voronoi-Zellen Große Zellen (grobe Auflösung) wo Musterdichte gering Kleine Zellen (feine Auflösung) wo Musterdichte hoch Klasse 1 Klasse 2 Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-parametrische Methoden K-Nächste-Nachbar-Klassifikator Gegeben sei eine Stichprobe aus N Mustervektoren (Prototypen) und zugehörigen Klassenzugehörigkeiten (Label) Ein unbekanntes Muster ist zu klassifizieren. Regel: Eine Hyperkugel wird um herum solange vergrößert, bis k Prototypen darin enthalten sind. Es wird die Klasse der einfachen Mehrheit dieser k nächsten Prototypen zugeordnet. Zwei-dmensionaler Merkmalsraum, Zwei-Klassenproblem, k=5 Klasse 1 Klasse 2 Graphik aus Duda, Hart, Stork: Pattern Classification 2nd edition, Ó Wiley-Interscience Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-parametrische Methoden K-Nächste-Nachbar-Klassifikator Vergleich mit Bayes: Entscheidungsfehler E Für k=3, großes N und kleinen Bayes-Fehler gute Approximation für Bayes. Weitere Verbesserung im Limes für größeres k. Vorteil: Kein Training erforderlich Nachteil: Komplexität hoch: Speicherbedarf O(N), Abstandsberechnung O(Dimension), Suche kleinster Abstand O(d*N2) bis O(d*N*lnN). => Effizienzsteigerung durch Verdichtung der Stichprobe Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-parametrische Methoden Nächste-Nachbar-Klassifikator Effizienzsteigerung durch Verdichtung der Stichprobe Kein Beitrag eines Prototypen xi zur Klassifikation, wenn seine Voronoi-Zelle nur Nachbarzellen mit seiner eigenen Klassenzugehörigkeit besitzt. Elimination überflüssiger Elemente in der Stichprobe: Falls im Voronoi-Diagramm die Nachbarzellen der Zelle von xi die gleiche Klassenzugehörigkeit wie aufweisen, kann der Prototyp xi aus der Stichprobe entfernt werden, ohne dass die Fehlerrate des NN-Klassifikators verändert wird. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Nicht-parametrische Methoden Nächste-Nachbar-Klassifikator Effizienzsteigerung durch Verdichtung der Stichprobe Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Bei der Gesichtserkennung haben wir für jede Person eine Menge an Stichproben-mustern (z.B. Grauwertbilder) mit be-kannter Klassenzugehörigkeit (z.B. Name als Klassenlabel). Rechts ist ein Zweiklassenproblem (Identifikation) dargestellt. Bei der Konstruktion eines Klassifikators ist die erste Frage: Was ist die beste Menge an Merkmalen (aus Messungen im Bild zu extrahieren) um dem Klassifikator eine richtige und robuste Klassifikation zu ermöglichen? Die einfachste Wahl der direkten Verwendung der Grauwerte aller Pixel ist keine gute Wahl, da sie einen 64K-komponentigen Merkmalsvektor für 256x256 pixel Bilder erzeugt und der Merlmalsvektor selbst bei Verschiebungen von nur einem Pixel wesentlich gedreht wird. Person P Klassifikation P nicht P Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Zunächst wird alles verfügbare a priori Wissen genutzt, wie z.B.: Korrigiere zuerst alle Verzerrungen, die bekannt sind oder in den Mustern selbst gemessen werden können. Eliminiere dann sämtliches Rauschen und alle Störungen, die nicht vom Objekt herrühren. Entferne Elemente aus den Mustern, die innerhalb einer Klasse stark variieren können oder instabil sind (z.B. hochfrequ. Komp. in Gesichtserkennung). Nach den obigen Filterungen und Transformationen folgt eine eventuelle Vorverarbeitung der Stichprobe mittels Entfernung von Ausreissern, Datennormierung und Substituierung fehlender Daten. Letztlich werden robuste, meßbare Merkmale mit hoher Trennbarkeit ausgewählt durch entweder Nutzung von Modellwissen oder Statistische Analyse Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Vorverarbeitung durch Entfernung von Ausreißern Ausreißer: Punkt, der weit entfernt liegt vom Mittelwert einer Zufallsvariablen. Mögliche Ursachen: Meßfehler, Stichprobenwert aus dem „Außenbereich“ der Verteilung erwischt, Stichprobe besitzt lange „Außenbereiche”. Um das Problem anzugehen, sollte eine hinreichend große Stichprobe vorliegen, um statistisch signifikant Mittelwert und Standardabweichung berechnen zu können, eine gute Schätzung der Verteilung zu ermöglichen. Für eine normalverteilte Zufallsvariable mit Standardabwei- chung s, deckt die Fläche um 2s um den Mittelwert 95% und um 3s 99% aller Punkte ab. Noch weiter entfernte Punkte sind höchstwahrscheinlich Fehl- messungen und erzeugen beim Training große Fehler. Solche Punkte sollten entfernt werden. Ist die Anzahl der Ausreißer nicht klein, kann dies durch eine breite Verteilungsfunktion bedingt sein. Dann gibt die Quadratfehlersummen-Kostenfunktion den außen- liegenden Werten zuviel Gewicht (wegen der Quadrierung) und es sollte eine geeignetere Kostenfunktion (Kreuz-Entropie) gewählt werden. p xo x xm p xm+2s xm xm+s xo x p xo x xm Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Vorverarbeitung durch Datennormierung Der Meßprozeß zur Extraktion von Primärmerkmalen aus den Mustern kann in sehr unterschiedlichen dynamischen Bereichen für die verschiedenen Merkmale resultieren. So kann beim Punktschweißen die Schweißspannung von 0 V bis 1 kV variieren, der Schweißstrom (bei einer Konstantstromsteuerung) lediglich von 1,8 kA bis 1,9 kA. Problem: Merkmale mit großen Werten haben mehr Einfluß auf die Kostenfunktion als Merkmale mit kleinen Werten, was nicht unbedingt ihre Signifikanz widerspiegelt. Lösung: Normierung der Merkmale derart, dass die Werte aller Merkmale in ähnlichen Bereichen liegen. Maßnahme: Normierung mit den jeweiligen Schätzwerten von Mittelwert und Varianz: Angenommen, wir haben eine Stichprobe aus N Daten des Merkmals f, dann Nach der Normierung haben alle Merkmale den Mittelwert Null und Einheitsvarianz. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Die obige Methode ist linear. Sind die Daten nicht gleichmäßig um den Mittelwert verteilt, sind nicht-lineare Normierungen angezeigt. Diese können logarithmische oder logistische Funktionen sein, welche die Daten in vorgegebene Intervalle abbilden. Das softmax scaling ist ein weit verbreiteter Ansatz: Dies begrenzt den Bereich auf das Intervall [0,1]. Für kleine Werte des Arguments ergibt sich wieder eine lineare Methode. Der Grad der nicht-linearen Stauchung hängt vom Wert von s und vom Parameter r ab. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Vorverarbeitung durch Ergänzung fehlender Daten Problem: Manchmal ist die Anzahl verfügbarer Daten nicht für alle Merkmale gleich (z.B. asynchrone Messungen unterschiedlicher Frequenz). Für das Training wird jedoch die gleiche Anzahl von Daten für alle Merkmale benötigt. Lösung: Wenn wir über viele Trainingsdaten verfügen und nur einige Messungen von Merkmalswerten fehlen, können Merkmalsvektoren mit fehlenden Elementen aus dem Trainingsdatensatz herausgenommen werden. Wenn wir uns den Luxus des Wegwerfens von Merkmalsvektoren nicht leisten können, müssen wir die fehlenden Werte durch Schätzwerte ersetzen: Mittelwert der verfügbaren Merkmalswerte, Interpolationswert zwischen Vorgänger und Nachfolger Schätzwert aus der zugrundeliegenden Verteilung (wenn verfügbar) Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Bewertung und Auswahl von Merkmalen 1. Einzelmerkmale Um einen ersten Eindruck von den ausgewählten Merkmalen zu erhalten, ist es nützlich, die Trennfähigkeit eines jeden einzelnen Merkmals zu betrachten. Dieses Vorgehen filtert Merkmale heraus, die keine Information über Klassenzugehörigkeiten enthalten. 2. Merkmalskombination Danach ist die beste Kombination der übrig gebliebenen Merkmale zu einem Merkmalsvektor zu betrachten. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Einzelmerkmals-Auswahl: t-Test für die Merkmalsauswahl Angenommen, wir haben ein Zweiklassenproblem und es sei das betrachtete Merkmal eine Zufallsvariable, dann lautet die Aufgabe, die folgenden Hypothesen zu testen: H1: Die Merkmalswerte unterscheiden sich nicht wesentlich für unterschiedliche Klassen. H0: Die Merkmalswerte unterscheiden sich wesentlich für unterschiedliche Klassen. H0 ist dabei die Nullhypothese und H1 die Alternativhypothese. Angenommen, Merkmal x gehört zu einer bekannten Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen mit einem unbekannten Parameter µ. Im Falle Gaußscher Verteilungen kann µ der Mittelwert oder die Varianz sein. Wenn bekannt ist, daß die Varianz denselben Wert s hat, lautet die Frage, ob sich die Mittelwerte µ1 und µ2 des Merkmals x für die beiden Klassen wesentlich unterscheiden. H1: Dµ = µ1 - µ2 ¹ 0, H0: Dµ = µ1 - µ2 = 0 Werden die Werte von x für die Klasse 1 mit X und für Klasse 2 mit Y bezeichnet, definieren wir Z=X-Y. Dann können wir die Stichprobe für z verwenden, um auf die Dµ Hypothese hin zu testen und einen t-Test durchführen mit Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Klassentrennbarkeit : Receiver operating characteristics Kurve Prüfung bislang auf wesentlichen Unterschied der Mittelwerte eines Merkmals zweier Klassen: Merkmale mit ungefähr gleichem Mittelwert werden ausgeschlossen. Maß für Unterscheidungsfähigkeit eines Merkmals: ROC (Zusätzliche Betrachtung des Überlapps der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen für die beiden Klassen). Wir können einen Schwellwert zwischen beiden Klassen definieren: p Schwellwert Klasse1 Klasse2 p Klasse1 Klasse2 1-a a x Xm Ym b x 1-b Wahrscheinlichkeit einer falschen Entscheidung über die Klasse1-Zugehörigkeit: Fläche a unter der oberen Kurve rechts vom Schwellwert; Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung 1- a. Entsprechend für Klasse2: b und 1-b. Die Variation des Schwellwerts ergibt die ROC Kurve: Bei vollständigem Überlapp ist a = 1-b (Diagonale), ohne Überlapp ist 1-b = 1 unabhängig von a, ansonsten erhalten wir eine Kurve wie im Diagramm. Die Fläche zwischen dieser Kurve und der Dia- gonale ist ein Überlapp-Maß zwischen 0 und 0,5. Die ROC Kurve: Durchfahren des Wertebereichs von x mit dem Schwellwert und Berechnung und Auftragung von a = 1-b im Diagramm. 1-b 1 A a 1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Merkmalsvektor-Klassentrennbarkeitsmaße Die bisherigen Betrachtungen sind nicht geeignet, die Korrelationen zwischen Merkmalen zu berücksichtigen, die üblicherweise bestehen und die Unterscheidungseffizienz eines Merkmalsvektors beeinflussen. 1. Divergenz (Kullback-Leibler) Gegeben seien zwei Klassen c1 und c2. Gemäß der Bayes´schen Regel wird ein Merkmalsvektor x zugeordnet zu c1 wenn P(c1|x) > P(c2|x). Unterscheidbarkeit d für eine Merkmalsausprägung x: d(x)=ln[p(c1|x)/p(c2|x)]. Mittelwerte von d: Symmetrische Kombination: Divergenz d Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Merkmalsvektor-Klassentrennbarkeitsmaße Divergenz bei Normalverteilungen Für mehrdimensionale Gaussfunktionen mit Mittelwertvektoren m und Kovarianzmartizen S Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl Mit ist Divergenz dann gleich was sich im eindimensionalen Fall reduziert zu Verallgemeinerung auf Mehrklassen-Trennbarkeitsmaß M: Anzahl der Klassen Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl 2. Fishers discriminant ratio Das FDR Maß basiert auf der sogenannten Streumatrix-Methode. Für Zweiklassenprobleme in einer Dimension (ein Merkmal) hat die FDR folgende Form: Für Mehrklassenprobleme können mittelnde Formen der FDR benutzt werden: wobei die Indizes i und j sich auf Mittelwert und Varianz (des betrachteten Merkmals) für die Klassen ci und cj beziehen. 3. Weitere Klassentrennbarkeitsmaße Chernoff Rand und Brattcharrya Distanz. Die Mahalanobis-Distanz ist ein Spezialfall von (1.), wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen gleiche Kovarianzmatrizen besitzen. Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsvorverarbeitung und -auswahl 4. Visualisierung des Merkmalsraumes mit entsprechenden Werkzeugen Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsauswahl Merkmalsvektorauswahl Um den optimalen Merkmalsvektor aufzufinden, könnten wir eine vollständige Suche unter allen Kombinationen von l Merkmalen aus m möglichen durchführen. Wir würden die beste Kombination bezüglich eines bestimmten Trennbarkeitsmaßes suchen. Für große Werte von m kann dies ein ernsthaftes kombinatorisches Problem werden, da Beispiel: vollständige Suche nach Kombination der 5 besten Merkmale von 20 ergibt zu untersuchende Kombinationen. Aus diesem Grund gibt es viele Suchtechniken wie - Sequential forward selection 1. Bestes Einzelmerkmal M1 2. Beste Kombination von M1 mit einem weiteren Merkmal: M1,M2 3. Beste Kombination von M1,M2 mit einem weiteren Merkmal: M1,M2,M3 … bis gewünschte Leistung erreicht ist. Anzahl zu untersuchender Kombinationen: l+(l-1)+(l-2)+…+(l-m-1). - Genetische Algorithmen Vorlesung "Intelligente Systeme"

Merkmalsauswahl Merkmalserzeugung Merkmale können rohe Meßwerte der zugrundeliegenden Muster sein. Dies kann zu sehr hochdimensionalen Merkmalsvektoren führen mit stark korrelierten Merkmalen und folgedessen Redundanz der Information. Die Aufgabe der Merkmalserzeugung ist die Beseitigung dieser Redundanzen durch Transformationen der rohen Meßwerte auf neue Koordinaten und die Auswahl nur solcher Koordinaten als neue Merkmale, die den höchsten Grad an Information beinhalten. Dies sollte zu einer Kompression der klassifikationsrelevanten Information in eine relativ kleine Anzahl von Merkmalen führen. Z.B. genügt bei der Gesichtserkennung eine Transformation auf ein System aus 50 „Eigengesichtern“ um alle Gesichter mit ausreichender Genauigkeit zu beschreiben, während die Ursprungsbilder aus z.B Werten bestehen. Lineare Transformationen Karhunen-Loève (Eigenvektor-Zerlegung) Singulärwertzerlegung Fourier-Transformation Hadamard Transformation Wavelet Transformation ... Signaleigenschaften Invariante Momente, Textur, Rauhigkeit,.... Anwendungsbeispiel Qualitätskontrolle beim Widerstands-Punktschweißen Inkl. Merkmalserzeugung und Merkmalsauswahl Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation Zwei ursprüngliche Merkmale x1 und x2 sind der Stichprobenverteilung nicht gut angepasst. Besser x1´ und x2´ : Zur Beschreibung genügt x1´: Linearer Unterraum von x1, x2. x2 x´1 x´2 x´2 h x1 h Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation x2 x´1 x´2 x´2 2. Drehung auf Richtung maximaler Varianz 1. Verschiebung in den Schwerpunkt h x1 h Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation x2 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 h x1 0,00 5,00 10,00 15,00 h Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation 1. Allgemeines Vorgehen Muster-Stichprobe Schätzung Schwerpunkt Empirische Kovarianz-Matrix Hauptachsen und Hauptachsenabschnitte durch Diagonalisierung von K und davon Eigenwerte, Eigenvektoren Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation x2 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 5,00 15,00 Muster-Stichprobe Schätzung Schwerpunkt h x1 Empirische Kovarianz-Matrix h Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation x2 Empirische Kovarianz-Matrix Hauptachsen und Hauptachsenabschnitte 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 5,00 15,00 1. Charakteristisches Polynom null setzen: Nullstellen sind gesuchte Eigenwerte. 2. Eigenvektoren durch Einsetzen in und Lösen von h x1 Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation 2. Singulärwert-Zerlegung SVD von Y 3. Eigenwert-Zerlegung von Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation 4. Vorgehen zur Lösung der PCA 1. I) II) III) wenn N > m, dann I), wenn N < m, dann III) Bemerkung: Vorlesung "Intelligente Systeme"

Jede m x n – Matrix mit m > n kann geschrieben werden als Produkt einer m x m, spalten-normalen Matrix , einer positiv semi-definiten n x n Diagonalmatrix und der Transponierten einer n x n normalen Matrix . Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation 5. Beispiel: Eigengesichter Hauptachsen und Hauptachsenabschnitte Sortieren nach Hauptachsenabschnitten (relative Relevanz) Abschneiden ab Schwellwert Zugehörige Eigenvektoren: Hauptkomponenten (neue Basis) “Durchschnitts-gesicht” “Eigengesichter” Vorlesung "Intelligente Systeme"

Hauptkomponenten-Transformation Merkmalsgewinnung: Subtraktion des Schwerpunkts vom Eingangsmuster Projektion des Ergebnisses auf die Hauptkomponenten Vorlesung "Intelligente Systeme"

Einbringen von a priori Wissen
Bisher: Erlernen einer Abbildung Anhand einer bekannten Stichprobe Jetzt: Nutzung von a priori Wissen a) Nur bestimmte zeitliche Abfolgen sind möglich Zeitdiskrete Prozesse: Hidden-Markov-Modelle b) Kausale Zusammenhänge sind bekannt oder vermutet: Bayesian Belief Networks c) Randbedingungen für die Lösung sind bekannt: Kostenfunktion-Regularisierung Muster Klassenzugehörigkeit |1|5|7|8|3|4| |1|0|0| Muster 1 Klassenzugehörigkeit 1 . : Muster N Klassenzugehörigkeit N Vorlesung "Intelligente Systeme"

Digitale Signale: ADC und DAC Mustererkennungssystem Klassifik. Merkmal-/ Primitive- extraktion Beobachtbare Prozessmuster Sensor/ Wandler Signalauf- bereitung A D Estimation Deskription Mögl. Algorithmenrückkopplung oder -interaktion Diskrete Abtastung Quantisierung Analoge Welt Digitale Welt Vorlesung "Intelligente Systeme"

Fehlerquellen bei der Analog-Digital-Wandlung
Diskrete Abtastung Quantisierung Analoge Welt Digitale Welt Sample & Hold ADC- Analog/ Digital Converter Digitaler Ausgang Analoger Eingang Einfrieren der Werte an Abtastzeitpunkten Wandeln des Signals zur nächsten Ganzzahl Ursprüngl. Analogsignal Abgetastetes Analogsignal Digitalisiertes Signal Amplitude (phys. Einh.) Amplitude (phys. Einh.) Digitale Zahl Zeit Zeit Abtastpunkt Vorlesung "Intelligente Systeme"

Fehlerquellen bei der Analog-Digital-Wandlung
ADC- Analog/ Digital Converter Digitaler Ausgang Fehlerquelle Quantisierungsfehler Wandeln des Signals zur nächsten Ganzzahl Abgetastetes Analogsignal Digitalisiertes Signal Digitale Zahl Zeit Abtastpunkt Quantisierungsfehler Differenz zw. abget. Analogsignal und digit. Signal Fehler (in LSBs) Abtastpunkt Vorlesung "Intelligente Systeme"

Fehlerquellen bei der Analog-Digital-Wandlung Fehlerquelle Aliasing Graphiken aus Steven W. Smith „The Scientist and Engineer´s Guide to Figital Signal Processing“ Abtastung mit mindestens der doppelten Schwingungsfrequenz Vorlesung "Intelligente Systeme"

Frequenzraumdarstellung Ortsraum - Frequenzraum Signale können als Überlagerung (Summe) periodischer Funktionen mit Frequenzen w und mit Amplituden F dargestellt werden: Transformation in Frequenzraum Diskrete Fourier-(Rück)Transformation Frequenzraum-Darstellung gibt an, mit welcher Häufigkeit jeweils periodische Funktionen vorkommen. Cosinus Funktionen Sinus Funktionen y(x) Applet Vorlesung "Intelligente Systeme"

Frequenzraumdarstellung Im Frequenzraum sind viele Operationen günstiger. Alle linearen Operationen z.B. Hochpass, Tiefpass, Bandpass und Bandsperre mit hoher Güte Erkennung periodischer Strukturen Manipulation periodischer Strukturen Nach einer Bearbeitung im Frequenzraum Fe(k)→Fe~(k) und Fo(k)→Fo~(k) kann wieder in den Ortsraum zurück transformiert werden. Analyse: Transformation Ortsraum  Frequenzraum Signal y im Ortsraum, Abtastwerte y(i) Synthese: Transformation Frequenzraum  Ortsraum Vorlesung "Intelligente Systeme"

Komplexe Schreibweise
Frequenzraumdarstellung Polare Notation – komplexe Schreibweise Amplitude, Betrag (Magnitude) F(k) Fo(k) |F(k)| F Phase Fe(k) Komplexe Schreibweise Vorlesung "Intelligente Systeme"

Frequenzraumdarstellung Operationen im Frequenzraum Filterung der abgetasteten Funktion y: Analyse Multiplikation mit Filterfunktion Synthese Filterfunktion, Abtastwerte f(k) Vorlesung "Intelligente Systeme"

Literatur R. O. Duda, P. E. Hart, D. G. Stork: Pattern Classification, 2nd ed., Wiley, New York 2001 C. M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, Berlin 2004 Weitere Literaturangaben unter /BeschrIntelliSys.htm Vorlesung "Intelligente Systeme"

Lineare Trennung nach nichtlinearer Transformation

Kostenfunktion (Anzahl Fehler)

Kostenfunktion (Perzeptron)

Kostenfunktion (quadratisch)

2-Klassenproblem Vorlesung "Intelligente Systeme"

3-Klassenproblem Vorlesung "Intelligente Systeme"

Perzeptronalgorithmus

Lineare SVM Vorlesung "Intelligente Systeme"

Funktionsapproximation durch Neuronales Netz

K-Nächste-Nachbar-Klassifikator

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