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Possibilistische Netze Seminar: Fuzzy-Systeme in Industrieanwendungen 27. März 2003 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Sebastian Stober.

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1 Possibilistische Netze Seminar: Fuzzy-Systeme in Industrieanwendungen 27. März 2003 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Sebastian Stober

2 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze2 Gliederung 1. Possibilitätstheorie 2. Relationale Netze 3. Possibilistische Netze 4. Quellen

3 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze3 1. Possibilitätstheorie Possibilität beschreibt die Möglichkeit eines Ereignisses/Auftreten eines Wertes Oder: Gibt es einen existierenden aber nur partiell beschreibbaren Wert x 0, so gibt die Possibilität (x) [0,1] an, inwieweit x 0 =x möglich ist. Klar: (x)=1 heißt, der Wert x ist (uneingeschränkt) möglich (x)=0 heißt, der Wert x ist unmöglich Was ist mit den Werten dazwischen?

4 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze4 Interpretation Mehrere Interpretationsansätze möglich, z.B.: Epistemologische Interpretationen von Fuzzy Mengen Präferenzrelationen Ähnlichkeiten Hier: Kontext Modell Kontext-Modell: Idee - ein Kontext kann sein: Physikalische Rahmenbedingungen Beobachtungsbedingungen Beobachter Meßgerät

5 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze5 Definition Zufallsmenge: (C, 2 C, P) – endlicher Wahrscheinlichkeitsraum C – modelliert die Kontexte P(c) – Wahrscheinlichkeit für das Auftreten / die Wahl eines Kontexts c - nichtleere Menge Eine Zufallsmenge ist die mengenwertige Abbildung: : C 2 (c), c C heißen Fokalmegen von Beinhalten die Werte aus, die im Kontext c möglich sind Oft ist (c) gefordert Achtung: Def. nimmt implizit an, daß die Kontexte disjunkt sind (als Elementarereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum) Mathematische Formalisierung (1)

6 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze6 Mathematische Formalisierung (2) Definition Elementare Possibilitätszuweisung Der Possibilitätsgrad eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit der Möglichkeit des Ereignisses, d.h. die Wahrscheinlichkeit der Kontexte, in denen es möglich ist.

7 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze7 Mathematische Formalisierung (3) Normalisierung Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) d.h. es gibt mindestens ein Element, das in allen Kontexten vorkommt Normalisierung kann nur vorliegen, wenn Konsistenz vorliegt Im Allgemeinen ist Konsistenz gefordert (plausibel), es können aber auch inkonsistente Fälle konstruiert werden.

8 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze8 Mathematische Formalisierung (4) Definition Possibilitätsmaß Erweiterung der Elementaren Possibilitätszuweisung auf Potenzmengen Weist (allgemeinen) Ereignissen, d.h. Mengen von Elementarereignissen, Possibilitätsgrade zu

9 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze9 Beispiel: Würfelexperiment 1 bis 41 bis 61 bis 81 bis 101 bis 12 1 bis 5 1. Wurf: Auswahl des Bechers Wurf: Ermittlung des Ergebnisses Die Würfelbecher stellen die Kontexte dar.

10 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze10 Possibilität vs. Wahrscheinlichkeit

11 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze11 Modifiziertes Würfelexperiment 1 bis 41 bis 61 bis 81 bis 101 bis 12 1 bis 5 1. Wurf: Auswahl des Bechers Wurf: Ermittlung des Ergebnisses Modifikation: Jetzt 2 identische Würfel je Becher (wähle Maximum) Ergebnis: Es verändern sich nur die Wahrscheinlichkeiten!

12 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze12 Erkenntnisse Beim possibilistischen Ansatz wird im Experiment kein Wissen über die Wahl des Würfelbechers hinaus modelliert Modellierung des Unwissens über die Vorgänge beim zweiten Wurf Hier werden die Becher als Kontext gewählt (grob) Genaueres Wissen über den Vorgang würde es möglich machen, die Kontexte feiner zu modellieren Dabei wird versucht, in jedem Kontext, so viele Ergebnisse wie möglich auszuschließen (negative Information) Definiert man für jeden Verlauf (!) des Experimentes einen Kontext (feinste Modellierung), so entsprechen die Possibilitätsgrade den Wahrscheinlichkeiten Possibilität ist (lose) obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit

13 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze13 2. Einführung Relationale Netze Idee: Unter bestimmten Umständen läßt sich eine mehrdimensionale Verteilung (Relation), welche ein bestimmtes domainspezifisches Vorwissen darstellt, zerlegen in eine Menge von (überlappenden) Verteilungen { 1,..., k } auf Unterräumen geringerer Dimension Vorteile: Effizienteres Speichern, Vermeidung von Redundanzen (Analogie zur Theorie der relationalen Datenbanken) Effizientes Schlußfolgern auf { 1,..., k } ist möglich, ohne dazu die Gesamtverteilung rekonstruieren zu müssen Leite die Information von Unterraumverteilung zu Unterraumverteilung weiter bis alle aktualisiert sind Unterscheidung verschiedener Ansätze, u.a.: Markovnetze – Ungerichtete Graphen Bayessche Netze – Gerichtete Graphen

14 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze14 Beispiel 3 Attribute A,B,C : dom(A)={a 1,a 2,a 3,a 4 } dom(B)={b 1,b 2,b 3 } dom(C)={c 1,c 2,c 3 } Gesamtraum: dom(A) dom(B) dom(C) = {A,B,C} R ABC : Es gilt die closed-world assumption, d.h. alle nicht in R ABC enthaltenen Wertekombinationen sind unmöglich.

15 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze15 Beispiel: 2-dimensionale Projektionen R ABC R AB R AC R BC

16 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze16 Beispiel: Schlußfolgern Angenommen, der Wert eines Attributes ist bekannt. Was kann über die anderen Attribute gefolgert werden? Naiv: betrachte alle Objekte in R ABC mit der entsprechenden Attributausprägung – für höherdimensionale Verteilungen ist das nicht machbar Graphische Modelle: versuche, die Verteilung zu zerlegen, indem bedingte Unabhängigkeiten genutzt werden

17 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze17 Bedingte Relationale Unabhägigkeit Die Attribute A und C sind genau dann bedingt relational unabhängig gegeben Attribut B, wenn gilt: D.h. ist der Wert für B gegeben können alle Werte, die für A und C möglich sind frei kombiniert werden. (*) liefert eine Formel für die Zerlegung

18 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze18 Beispiel: Zyl. Erweiterung und Schnitt Zylindrische Erweiterung: R AB C R BC A Schnitt der zylindrischen Erweiterungen: min{(R AB C), (R BC A)} = R ABC Zylindrische Erweiterung:

19 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze19 Beispiel: Evidenzen-Propagation Beobachtung des Wertes für Attribut A : Schließen auf Werte der Attribute B und C :

20 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze20 Beispiel: Bedingte Unabhängigkeit Graphisches Modell: Die Attribute A und C sind bedingt unabhängig gegeben Attribut B, da alle Wege von A nach C durch Entfernen von B zerstört werden (u-Separation).

21 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze21 Bemerkungen Eine Zerlegung ist nicht immer möglich. Nicht jede Menge von Projektionen einer Relation liefert eine Zerlegung. Zerlegbare Relationen sind selten. In der Anwendung ist oft ein gewisser Verlust an Information akzeptabel (verglichen mit dem Vorteil der geringeren Komplexität)

22 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze22 3. Possibilistische Netze Übertragen der Idee der Zerlegung einer (mehrdimensionalen) Relation auf (mehrdimensionale) Possibilitätsverteilungen Modifikation der Operationen Projektion: berechne den maximalen Possibilitätsgrad über den entfernten Dimensionen Zylindrische Erweiterung und Schnitt (kombiniert): berechne das Minimum aus der a priori Verbund-Verteilung und der a posteriori Rand-Possibilitätsgrade

23 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze23 Beispiel: Verteilung und Projektionen

24 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze24 Beispiel: Schlußfolgern

25 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze25 Bedingte Possibilistische Unabhängigkeit Possibilistische Netze können als Fuzzyfikation von Relationalen Netzen gesehen werden, indem anstelle der Beschränkung auf die Werte 0 und 1 alle Werte aus dem Intervall [0,1] betrachtet werden. Daraus ergibt sich analog zur bedingten relationalen Unabhängigkeit: A und C sind genau dann bedingt possibilistisch unabhängig, wenn gilt: wobei Possibilitätsmaß auf einem (endlichen) Beispiel-Raum ist.

26 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze26 Wahrscheinlichkeit vs. Possibilität Suche nach dem wahrscheinlichsten Tupel: Nicht alle Attributwerte tragen zum Resultat der Projektion bei, nur die mit maximalem Possibilitätsgrad Es geht nicht die gesamte Information über die entfernten Attribute verloren Gibt es nur einen Maximalwert in jeder Zeile / Spalte wird das Tupel mit höchstem Possibilitätsgrad zurückgeliefert Alle Attributwerte tragen zum Resultat der Projektion bei Durch die Summe geht die Information über die entfernten Dimensionen verloren Um das richtige Tupel zu wählen muß zuerst die Verbund-Verteilung rekonstruiert werden

27 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze27 Zusammenfassung Graphische Modelle stellen eine wichtige Methode zur effizienten Repräsentation und Analyse unsicherer Information in wissensbasierten Systemen dar Durch Verwendung der Possibilitätstheorie ist es möglich, impräzise Informationen zu berücksichtigen Possibilistische Netze bieten als Kombination beider Ansätze die Möglichkeit mit sowohl unsicherer als auch impräziser Information zu arbeiten

28 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze28 4. Quellen Graphical Models - Methods for Data Analysis and Mining. Christian Borgelt and Rudolf Kruse. J. Wiley and Sons, Chichester, United Kingdom 2002, ISBN Possibilistic Graphical Models. Christian Borgelt, Jörg Gebhardt, and Rudolf Kruse. Computational Intelligence in Data Mining (Proc. 3rd Int. Workshop, Udine, Italy 1998), pp G. Della Riccia, R. Kruse, and H.-J. Lenz, eds. CISM Courses and Lectures 408, Springer, Wien, Austria Fuzzy-Systeme. Series Leitfäden und Monographien der Informatik. R. Kruse, J. Gebhardt und F. Klawonn. Teubner Verlag, Stuttgart, 1. Auflage 1993, 2. Auflage 1995 Vorlesung Unsicherheit und Vagheit in wissensbasierten Systemen. R. Kruse, C. Borgelt. Sommersemester 2002

29 27. März 2003Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze29 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.


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