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1 Zahlen Herzlich willkommen zur Mathe in Tholey Heute: Von R nach C und darüber hinaus.

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Präsentation zum Thema: "1 Zahlen Herzlich willkommen zur Mathe in Tholey Heute: Von R nach C und darüber hinaus."—  Präsentation transkript:

1 1 Zahlen Herzlich willkommen zur Mathe in Tholey Heute: Von R nach C und darüber hinaus

2 2 Der ursprüngliche Hintergrund: Fraktale

3 3 Fraktal in C Mit Hilfe von komplexen Zahlen

4 4 Oder

5 5 Fraktal in H Mit Hilfe von Quaternionen, hyperkomplexen Zahlen

6 6 Nichts geht ohne komplexe Zahlen Also: Komplexe Zahlen und weitere Zahlbereiche

7 7 Der Plan Eine Wiederholung: Von N nach R Was ist eigentlich R? R ist perfekt, fast Aber: x 2 +1 = 0 ist in R nicht lösbar Imaginäre Zahlen, komplexe Zahlen und ihr Preis Was leisten komplexe Zahlen? Weitere Zahlen: H und O Noch mehr Zahlen: Robinson und Conway Ich weiß nicht, wie lange dies dauert.

8 8 Der Stil Das Roossche Axiom: Es gibt keine dummen Fragen, es gibt nur dumme Antworten. Fragen, Kommentare sind immer erwünscht.

9 9 Zahlen N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,....}: Natürliche Zahlen Subtraktion Z = {.., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}: Ganze Zahlen

10 10 Zahlen Z = {.., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}: Ganze Zahlen Division Q = {Brüche}: Rationale Zahlen (Quotienten)

11 11 Die rationale Welt des Pythagoras 569– 475 v.Chr. Mathematiker, Philosoph, Zahlenmystiker.

12 12 Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind

13 13

14 14 Neue Zahlen müssen her: Reelle Zahlen, R

15 15 R aus Q, wie geht das? Man muss die Löcher auf der Zahlengeraden stopfen: Vervollständigung Methoden: Cauchy-Folgen, Intervallschachtelungen, Dedekind-Schnitte.

16 16 Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K) Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V) Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

17 17 K: Normales Rechnen, Regeln der Addition (G,+) a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a, 0 ist neutral a + x = 0 eindeutig lösbar (x = -a) Statt a + (-b) schreibt man a – b.

18 18 K: Normales Rechnen, Regeln der Multiplikation (G, ·) a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c) a · 1 = a, 1 ist neutral a · x = 1 ist eindeutig lösbar (a 0, x = a -1). Statt a · (b) -1 schreibt man a /b.

19 19 K: Normales Rechnen, Regeln des Ausmultiplizierens (D) a ·(b + c) = a ·b + a ·c

20 20 Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K): Ok Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V) Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

21 21 V: Die Zahlengerade wird erfasst Alle Punkte der Zahlengeraden sind Zahlen, es gibt keine Löcher. Technisch anspruchsvoll. Es geht nicht ohne Grenzwerte.

22 22 Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K): Ok Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

23 23 A: Die Zahlengerade ist angeordnet (A1): Für jede Zahl x gilt: Entweder x = 0 oder x >0 oder -x > 0. (A2) Aus a > 0 und b > 0 folgt: a + b > 0 (A3) Aus a > 0 und b > 0 folgt: a b > 0

24 24 Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K): Ok Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A): Ok

25 25 R ist einmalig Es gibt nur ein R: Jede Struktur, die K, V, A erfüllt, ist gleich R. Aber: R hat kleine Mängel:

26 26 Ein Mangel Einfachste Gleichungen sind nicht lösbar: x 2 – 1 = 0: Zwei Lösungen x = 0: Keine Lösung oder sind wir zu dumm?

27 27 Satz: x = 0 ist in R nicht lösbar. Beweis: x = 0 ist keine Lösung; Für x0 gilt: x 2 > 0 1 = 1 2 > 0 Es folgt (A2): x > 0 In R gibt es keine -1

28 28 Die hemdsärmelige Lösung:

29 29 Schöne neue Welt: Jede quadratische Gleichung ist lösbar. Ein Beispiel:

30 30 Ein Beispiel

31 31 Ein kühner Täter: Cardano 1501 – 1576 Mathematiker, Arzt Klaute Tartaglia die berühmte Formel Rechnete mit Wurzeln aus negativen Zahlen

32 32 Auch er kühn: Bombelli 1526 – 1572 Lehrte als erster formal korrektes Rechnen mit komplexen Zahlen

33 33 Ein Skeptiker: Descartes 1596 – 1650 Der große Philosoph und Mathematiker. Rechnete richtig mit komplexen Zahlen, gab zu, dass man noch keine Vorstellung von diesen Objekten habe.

34 34 Ganz skeptisch: Newton 1643 – 1727 Einer der Größten. Deutete das Auftreten komplexer Lösungen als Zeichen für Unlös- barkeit eines Problems

35 35 Genial: Euler Größter Mathematiker seiner Zeit Rechnet unbefangen, intuitiv richtig, souverän in C.

36 36 Eine von Eulers Großtaten

37 37 Der Trick: Ersetze x durch ix

38 38 Eulers berühmteste Formel

39 39 Offen: Wo liegt C? Wo lebt i? Sicher nicht auf der Zahlengeraden. Wo leben die komplexen Zahlen? Die Antwort von Gauss

40 40 Gauss 1777 – 1855 Der größte Mathematiker

41 41 Multiplikation mit -1 (-1)·1 = -1: Drehung um 180° (-1)·1=i 2 ·1 =i(i ·1) Zweifache Multiplikation mit i

42 42 Multiplikation mit i Multiplikation mit i: Drehung um 90° 1·i = i, also ist i die Einheit auf der y-Achse, der imaginären Achse

43 43 Die Zahl z = 3 + 2i

44 44 Die Gausssche Zahlenebene

45 45 Rechnen in C Addition, Subtraktion, Multiplikation: Ohne Probleme. Geometrisch interpretierbar Beispiel: Addition

46 46 Geometrische Addition

47 47 Division in C

48 48 Eigenschaften von C C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen. C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher. x 2 +1 = 0 ist in C lösbar. C ist nicht angeordnet! C ist bewertet, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt. C ist dadurch einzigartig.

49 49 Beispiel:Polynome (normiert) P 1 (x) = x + 3 = x P 2 (x) = x 2 + 4x + 13 P 3 (x) = x x x + 18 P 4 (x) = x x 2 + 7x + 42

50 50 Formeln für Nullstellen: Grad N: N = 1: x 1 + p = 0 N = 2: x 2 + px + q = 0 N = 3: x 3 + px 2 + qx +r = 0 N = 4: x 4 + px 3 + qx 2 + rx + s = 0

51 51 N = 2: x 2 + px + q = 0

52 52

53 53 N = 4: x 4 + px 3 + qx 2 + rx + s = 0 Formel bekannt (nach 1700), sehr groß! N = 5?

54 54 Nils Abel 1802 – 1829, Norweger, lebte ein kurzes Leben in großer Armut, Mathematiker, genial. 1824: Für N=5 kann es keine Formel geben

55 55 Evariste Galois 1811 – 1832 Ein kurzes, schwieriges Leben. Genial: Seine Galois- Theorie Man zeigt damit: Keine Formel für n5.

56 56 Aber: Fundamentalsatz der Algebra (FS) Satz: (Gauss, Euler, Argand, …) Ein Polynom n-ter Ordnung besitzt N Nullstellen in C. Fürs Leben: Es gibt Dinge, die man nie bekommen kann.

57 57 Trost für Praktiker Näherungslösungen für Nullstellen: Newton-Verfahren, Fixpunktmethoden, klappen auch bei komplexen Funktionen, die Regula Falsi klappt nicht!

58 58 Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1

59 59 Als Appetizer: Ein Fraktal, bei dem dritte Wurzeln, und das Newtonverfahren wichtig sind.

60 60 Für Bildungshungrige: Anwendungen von C Mathematik: –Funktionentheorie –Analytische Zahlentheorie (ζ-Funktion) Physik: –Relativitätstheorie (Minkowski-Raum) –Quantentheorie (Schrödinger-Gl.) –Strömungsmechanik Technik: –Wechselstrom (man schreibt j statt i) –MP3

61 61 Weitere Zahlen? Zahlen auf der Geraden: R Zahlen in der Ebene: C Zahlen im Raum? Dreidimensionale Zahlen? Was erwarten wir von Zahlen?

62 62 Erwartungen an Zahlen: Die Grundrechnungsarten müssen klappen. Es darf keine Löcher geben. (Vollständigkeit) Zahlen haben eine Größe (Länge, Betrag) Bremse: Division (vollst. Divisionsalgebren, sehr modern)

63 63 Heinz Hopf 1894 – 1971 Für mich einer der ganz Großen. Sein Ergebnis: Richtige Zahlen haben die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Also: Keine Zahlen im Raum

64 64 William Rowan Hamilton 1805 – 1865, Ire Mathematiker, Physiker Arrogant, starrsinnig, ließ nur Gauß und Grassmann gelten 1843: Quaternionen, 4-dimensionale Zahlen

65 65 Quaternionen u=-3 + 4i – 6j + 3k v= 2 + 3i + 8j - 8k u+v= i + 2j - 5k Übliches Rechnen

66 66 Quaternionen: H in der Math.: H steht für hyperkomplexe Systeme In H gilt nicht: ab = ba (Kommutativgesetz) H ist eindeutig bestimmt Fundamentalsatz der Algebra in H Viele Funktionen möglich in H, z.B e z

67 67 Anwendungen Dirac-Gleichung (alternativ: Paulimatrizen) Beschreibung von Drehungen im Raum mittels H Computergrafik (Spiele, Fraktale, Quat 3D) Hamilton hat die Bedeutung von H total überschätzt (Prüfungsfach in Dublin!)

68 68 Cayley 1821 – 1895 Matrizenalgebra Fand 1845 die Oktaven, 8-dim. Zahlen (1843 schon von Graves beschrieben)

69 69 Oktaven: 8-dim. Zahlen (O) Die Regeln ab = ba (Kommutativgesetz) (ab)c = a(bc) (Assoziativgesetz) gelten nicht. O ist eindeutig bestimmt. Keine wichtigen Anwendungen, just for fun!

70 70 Zahlen nach Dimension und ihr Preis: 1-dimenional: Reelle Zahlen 2-dimensional: Komplexe Zahlen, Verlust der Anordnung 4-dimensional: Quaternionen, Verlust von ab = ba 8-dimensional: Oktionen, Verlust von (ab)c = a(bc) Mehr gibt es nicht in dieser Art, wenn man dividieren will.

71 71 Ist dies wirklich alles? Natürlich nicht. Gegenmodelle: –Non-Standard-Analysis Schmieden, Laugwitz, Robinson –Spieltheoretische Modelle Conway-Spiele –p-adische Zahlen (Hensel) Aber: Man zahlt immer einen Preis!

72 72 Abraham Robinson 1918 – 1974 Deutsch-jüdischer Mathematiker Emigration 1933 Wichtige Beiträge zur angewandten Math.

73 73 Non-standard Analysis Robinson 1961 nach Vorarbeiten von Schmieden, Laugwitz 250 Jahre nach LeibnizInfinitesimale Technisch schwierig (Ultrafilter, spezielle Maße)

74 74 Conway Geb in Liverpool Höchst kreativ: Geometrie, Gruppentheorie

75 75 Conway: Zahlen und Spiele Zwei Ideen (1976): Neue Dedekindschnitte Ordnung: Durch Spiele Vorteile: Infinitesimale, geht schnell, aber: Verdammt anspruchsvoll, vor allem technisch.

76 76 Wenn Sie mehr wissen wollen Da werden Sie geholfen. Zur Geschichte der Mathematik: The MacTutor History of Mathematics archive

77 77 Literaturtipps: Ebbinghaus et al.:Zahlen Springer ,95 Conway/Guy:Zahlenzauber Birkhäuser 1997vergriffen Berlekamp, Conway: Gewinnen.. Vieweg 1985 vergriffen

78 78 Fragen? Ich bitte darum.

79 79 Wie gehts weiter? Fraktale: Der zweite Teil, Apfelmännchen und Co. Mit vielen Bildern, einfacher als heute. Wahrscheinlichkeitsrechnung: Was ist das? Mathe in Tholey wird weiter gehen, wenn Sie dies wünschen!

80 80 Zwei kleine Bitten: Teilen Sie uns mit, wie Sie unsere Veranstaltungen erleben. Schicken Sie Frau Backes-Burr oder mir eine kleine Bewertung. Schicken Sie uns Verbesserungsvorschläge.

81 81 Mathe ist einfach prima Vielen Dank!


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