Der R-Baum Richard Göbel.

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1 Der R-Baum Richard Göbel

2 Viele Verbesserungen und Erweiterungen, z.B.:
R-Baum - Literatur A. Guttman 1984: "R-Trees: A Dynamic Index Structure for Spatial Searching”, Proc. ACM SIGMOD Conference, Boston, pages , 1984 Viele Verbesserungen und Erweiterungen, z.B.: 1987: Sellis, Roussopoulos, Faloutsos: R+-Tree 1990: Beckmann, Kriegel, Schneider, Seeger: R*-tree 1996: Berchtold, Keim, Kriegel: X-Tree: 1997: Leutenegger, Edgington, Lopez: STR Tree Packing Verschiedene Implementierungen in kommerziellen Datenbanksystemen in den letzten 10 Jahren

3 R-Baum - Konzept Ein Knotens des B-Baums repräsentiert ein Segment einer sortierten Liste von Werten. Ein Knoten des R-Baums repräsentiert Segmente in sortierten Listen jeder Spalte Column A Column B

4 Eigenschaften des R-Baums
Baum mit Verzweigungsgrad größer als 2 Knoten des Baumes werden Blöcken der Festplatte zugeordnet Der R-Baum ist vollständig balanciert Algorithmen für das Einfügen und Löschen sind ähnlich wie beim B-Baum Suchverfahren entspricht dem allgemeinen Suchansatz

5 Beispiel für einen zweidimensionale R-Baum
Y X

6 Einfügen eines Punktes
Bestimme mit Hilfe des Suchverfahrens ein Blattknoten für den neuen Punkt. Falls verschiedene Pfade existieren (aufgrund von Überlappungen) dann wähle einen Pfad aus. Falls kein passender Nachfolger bei der Suche gefunden wird: Vergrößere den Hyperquader für den Nachfolger für den die Vergrößerung minimal ist. Falls ein Blattknoten nicht mehr ausreichend Kapazität enthält: Spalte den Knoten und ggf. Elternknoten auf.

7 Lösche den Punkt aus einem Blattknoten.
Löschen eines Punktes Bestimme mit Hilfe des Suchverfahrens alle Blattknoten für den zu löschenden Punkt Lösche den Punkt aus einem Blattknoten. Verkleinere bei Bedarf alle Hyperquader auf dem Pfad zu dem betroffenen Blattknoten. Unterschreitet der Blattknoten die minimale Anzahl von Elementen, dann lösche diesen Blattknoten: verteile die Einträge auf Geschwisterknoten oder füge die betroffenen Punkte neu ein

8 Optionen für die Implementierung
Auswahl eines Pfades für das Einfügen Aufteilen eines Knotens Verteilen der Einträge für das Löschen eines Knotens Reorganisation eines Baums?

9 Kriterien für die Optimierung eines R-Baums
Überlappungen: Anzahl der Überlappungen minimieren Volumen der Überlappungen minimieren Volumen der Knoten minimieren Abweichungen der Hyperquader von Hyperwürfeln minimieren (gleiche Ausdehnung aller Dimensionen)

10 Ursprünglicher R-Baum führt drei Verfahren ein:
Aufteilen des Knotens Ursprünglicher R-Baum führt drei Verfahren ein: linearer Aufwand quadratischer Aufwand exponentieller Aufwand Verfahren mit quadratischem Aufwand scheint guter Kompromiss zu sein

11 Aufteilung eines Knotens - quadratisches Verfahren
Bestimme zwei Elemente als Startpunkte (Saat) Idee: Wähle Elemente die auf keinen Fall in einem Knoten enthalten sein sollten Vergleiche dazu die minimalen Hyperquader für je zwei Elemente Wähle zwei Elemente mit dem größten Hyperquader Ordne die weiteren Elemente schrittweise zu Ordne die offensichtlichen Elemente zuerst zu Wähle die Zuordnung mit dem geringsten zusätzlichen Raum

12 Wann ist eine Zuordnung offensichtlich?
Berechne für jedes Element: den zusätzlichen leeren Raum bei Vergrößerung des Hyperquaders der beiden neuen Knoten die Differenz des leeren Raumes für die beiden neuen Knoten Element mit maximaler Differenz wird zugeordnet

13 Beispiel: Aufspalten eines inneren Knotens

14 Finden der Startelemente

15 Bewertung eines Elements
32-6-9=17 91-17=74 = 91

16 Bewertung der anderen Elemente

17 Schrittweise Zuordnung der Elemente

18 Aufspalten eines Blatts - Spezialfall des bisherigen Verfahrens

19 Minimalkapazität berücksichtigen
Verfahren garantiert keine gleichmäßige Verteilung Sonderbehandlung bei Unterschreitung der minimalen Kapazität Das Verfahren wird rechtzeitig abgebrochen Die verbleibenden Elemente werden dem Knoten mit der kleineren Anzahl von Elementen zugeordnet Ergebnis ist bei Abbruch nicht optimal!

20 Aufspalten eines Knoten: andere Verfahren
Verfahren mit linearen Aufwand Wähle zwei Knoten bezüglich eines vorgegebenen Kriteriums aus (mit einem „Scan“) Ordne die verbleibenden Knoten in beliebiger Reihenfolge zu Verfahren mit exponentiellem Aufwand Überprüfe alle Verteilungen auf zwei Knoten Aufwand im schlechtesten Fall: 2n-2

21 Erweiterung der R-Baums für Regionen
In den Baum werden statt Punkte vollständige Hyperquader eingefügt Anpassung der Verfahren offensichtlich Interessant für räumlich ausgedehnte Daten Statt 2d Dimensionen werden nur d Dimensionen benötigt

22 Algorithmen für den R-Baum: Grundlagen
Darstellung von Hyperquadern für die Suchregion und die Knoten der Indexstruktur Volumen eines Hyperquaders Überlappung von Hyperquadern  Umschreibender Hyperquader Überlappungsbereich

23 Darstellung eines Hyperquaders
Ober- und Untergrenze Volumen

24 Überlappung

25 Umschreibender Hyperquader

26 Überlappungsbereich mit:

27 Verbesserung des R-Baums: Ideen
Vermeiden von Überlappungen durch Aufteilung von Knoten (R+-Baum) Optimierung der Form der Hyperquader mit möglichst gleicher Ausdehnung in jeder Dimension (R*-Baum) Verfahren zur Auswahl eines Pfades Verfahren zum Aufspalten eines Knotens Effiziente Verfahren zum Aufspalten eines Knotens (z.B. Verfahren von Ang und Tan) Erzeugung eines optimalen R-Baums für eine vorgegebene Menge von Einträgen

28 Vermeidung von Überlappungen durch Aufteilung von Knoten (R+-Baum)

29 Lineares Verfahren zum Aufspalten eines Knotens nach Ang und Tan
Aufspaltung erfolgt bezüglich einer Dimension Zunächst wird die Aufteilung für jede Dimension getestet Wähle die günstigste Dimension: Differenz der Anzahl von Elementen in den beiden neuen Knoten ist klein (Priorität 1) Überlappung zwischen den beiden neuen Knoten ist gering (Priorität 2) Volumen der neuen Knoten ist gering (Priorität 3)

30 Zuordnung eines Elements nach Ang und Tan
Überprüfe für jedes Element: den Abstand des Untergrenze des Elements zu der Untergrenze des übergeordneten Knotens den Abstand der Obergrenze des Elements zu der Obergrenze des übergeordneten Knotens Ordne das Element entsprechend des minimalen Abstands einer von zwei Mengen zu

31 Beispiel für das Verfahren nach Ang und Tan - Teil 1

32 Beispiel für das Verfahren nach Ang und Tan - Teil 2

33 Beispiel für das Verfahren nach Ang und Tan - Teil 3

34 Beispiel für das Verfahren nach Ang und Tan - Teil 4

35 Erzeugung eines „optimalen“ R-Baums
Analyse einer festen Datenmenge Erzeugung eines R-Baums für diese Datenmenge Optimierung bezüglich eines vorher festgelegtem Kriteriums Typen von Verfahren: Bottom-Up: verschiedene Top-Down: FH Hof

36 Ordne die einzelnen Punkte den Blättern eines R-Baums zu
Bottom-Up-Verfahren Ordne die einzelnen Punkte den Blättern eines R-Baums zu Erzeuge aus den Blättern schrittweise die weiteren Knoten der Indexstruktur Zuordnung von Punkten zu Blättern: über Sortierfunktion (Interleaving, Hilbertkurve, etc.) Sort Tile Recursive

37 Beispiel: Zuordnung über 2D-Hilbertkurve

38 Sort Tile Recursive - Ansatz
Idee: Teile jede Dimension in etwa gleich viele Teile auf (Gitterstruktur) Beispiel: Teile eine zweidimensionale Struktur zunächst in (n/v) Segmente auf (v: Kapazität) Sortiere die Einträge bezüglich der ersten Dimension und verteile die Einträge auf die Segmente Teile entsprechend jedes Segment in (n/v) Blattknoten auf (Sortierung bezüglich der zweiten Dimension)

39 Sort Tile Recursive - Beispiel