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FH-Hof Spielbäume Richard Göbel. FH-Hof Spieltheorie Berücksichtigung von einem oder mehreren Gegenspielern Spiel beginnt mit Anfangszustand Spieler haben.

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1 FH-Hof Spielbäume Richard Göbel

2 FH-Hof Spieltheorie Berücksichtigung von einem oder mehreren Gegenspielern Spiel beginnt mit Anfangszustand Spieler haben Aktionsmöglichkeiten um gleichzeitig oder wechselseitig den Zustand zu beeinflussen

3 FH-Hof Anwendungsbeispiele okönomische Anwendungen: Erstellen von Angeboten Einsatz absatzpolitischer Instrumente Tarifverhandlungen politische Anwendungen militärische Anwendungen

4 FH-Hof Beispiel: Nim-Spiel Spielregeln: n Hölzchen Spieler nehmen abwechselnd bis zu m Hölzchen auf Sieger ist der Spieler, der das letzte Hölzchen wegnimmt Hier Analyse des Spiels mit: 4 Hölzchen (n = 4) Jeder Spieler darf 1 oder 2 Hölzchen wegnehmen (m = 2)

5 FH-Hof Spielbaum für die 4,2-Version des Nim-Spiels

6 FH-Hof Formale Beschreibung eines Spielbaums Spieler A und B Menge der Zustände Z = { z 1,..., z n } Anfangszustand z 0 aus Z Endzustände: E A als Teilmenge von Z: A hat gewonnen E B als Teilmenge von Z: B hat gewonnen Folgezustände: N A : Z -> 2 Z :Folgezustände für Spieler A N B : Z -> 2 Z :Folgezustände für Spieler B

7 FH-Hof Spielbaum: Struktur N A (z 0 ) = { z 1,..., z n } N B (z 1 ) = {z 11,..., z 1m }

8 FH-Hof Ermittlung der optimalen Strategie für einen Spielbaum gesamten Spielbaum erzeugen. Markiere für jeden Endzustand ob A oder B gewonnen hat. Markiere schrittweise alle anderen Zustände, deren Nachfolger bereits markiert wurden: Spieler A am Zug, mindestens ein Nachfolger ist mit A markiert: Markiere den Knoten mit A Spieler A am Zug, alle Nachfolger sind mit B markiert: Markiere den Knoten mit B Spieler B am Zug, mindestens ein Nachfolger ist mit B markiert: Markiere den Knoten mit B Spieler B am Zug, alle Nachfolger sind mit A markiert: Markiere den Knoten mit A

9 FH-Hof Anwenden der Strategie während des Spiels Spieler A: existiert ein mit A markierter Nachfolger für den aktuellen Zustand, dann wähle diesen Zustand aus (Spiel gewonnen!) sind alle Nachfolger mit B markiert, dann wähle einen beliebigen Zustand aus Spieler B: existiert ein mit B markierter Nachfolger für den aktuellen Zustand, dann wähle diesen Zustand aus (Spiel gewonnen!) sind alle Nachfolger mit A markiert, dann wähle einen beliebigen Zustand aus

10 FH-Hof Problem: Größe des Spielbaums Tiefe des Baums: Anzahl der Zustände auf einem Pfad Nim-Spiel: Tiefe des Baums gleich Anzahl der Hölzchen (n) Verzweigungsgrad des Baums: Anzahl der Nachfolger für einen Zustand Nim-Spiel: Maximale Anzahl der Hölzchen für einen Zug (m) Obere Schranke für die Anzahl der Zustände in einem Baum: m n 20,5 Variante des Nim-Spiels: 5 20 = 9, Der Spielbaum läßt sich in der Regel nicht vollständig erzeugen!

11 FH-Hof Unvollständiger Spielbaum - Minimax-Verfahren Der Spielbaum wird nur bis zu einer vorher definierten Tiefe erzeugt. Die Zustände ohne Nachfolger (in der Regel keine Endzustände) werden numerisch bewertet -> Bewertungsfunktion Allen anderen Zustände, deren Nachfolger bereits numerisch Werteenthalten, werden schrittweise wie folgt bewertet (Minimax-Prinzip): Ist Spieler A am Zug, dann wird der Zustand mit dem maximalen Wert aller Nachfolgezustände bewertet Ist Spieler B am Zug, dann wird der Zustand mit dem minimalen Wert aller Nachfolgezustände bewertet

12 FH-Hof Anwenden des Minimax-Verfahrens auf die 10,3-Version des Nim-Spiels

13 FH-Hof Analyse des Minimax-Verfahrens Die Qualität des Verfahrens ist abhängig von: der gewählten Bewertungsfunktion der Tiefe des unvollständigen Spielbaums Die Anzahl der Zustände wächst exponentiell mit der Tiefe des Baums! Verbesserung des Minimax-Verfahrens mit der Alpha-Beta- Strategie

14 FH-Hof Alpha-Beta-Strategie - Maximum bestimmen Die weiteren Teilbäume unter z j brauchen nicht mehr betrachtet zu werden!

15 FH-Hof Alpha-Beta-Strategie - Minimum bestimmen Die weiteren Teilbäume unter z j brauchen nicht mehr betrachtet zu werden!

16 FH-Hof Methoden für die Erzeugung eines Spielbaums class ReversiBoard {... public int assess () {...} public int searchMax(int depth,BoardPos bestMove) {...} public int searchMin(int depth,BoardPos bestMove) {...} public int bestMoveMinMax(byte col,int depth,BoardPos bestMove) {...} }

17 FH-Hof Implementierung des Spielbaums


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