5. Mess- und Schätzaufgaben (1/8)

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1 5. Mess- und Schätzaufgaben (1/8)
Hier bieten sich aber auch Aufgaben aus dem Umfeld/Erfahrungsbereich der Schüler an, die man findet, wenn man mit offenen Augen durch die Welt geht. Der Vorteil von eigenen Fotos ist, dass es keine Probleme mit dem Urheberrecht gibt. Ein Nachteil ist die nicht immer perfekte Perspektive bzw. Qualität des Fotos. Als Fragestellung ergibt sich vermutlich automatisch, wie viele Holzscheite das wohl seien. Die Leiter hilft bei einer möglichen Rasterbildung, aber auch die Höhe des Anhängers könnte als Vergleichsgröße herangezogen werden.

2 5. Mess- und Schätzaufgaben (1/8)
Derartige Aufgaben werden in Teil A des Qualis immer wieder gestellt und dürften bekannt sein.

3 5. Mess- und Schätzaufgaben (2/8)
Christusstatue in Rio de Janeiro Wie hoch ist wohl diese Figur ungefähr? Begründe sorgfältig deine Schätzung. Quelle Bild rechts: Quelle Bild unten: Ideal wäre hier das Bild, bei dem der Extremsportler Felix Baumgartner von der Statue springt. Diese Bilder findet man auch problemlos im Internet (z.B. hier: sie sind allerdings mit bestimmten Rechten belegt und dürfen hier nicht verwendet werden. Aber auch diese Bilder sind motivierend und eignen sich für Schätzungen. Schüler versuchten beim Einsatz im Unterricht eigentlich immer, ein in der Größe bekanntes Objekt (Mensch…) zu finden und abzumessen, wie oft es in die Statue passt. Hier wird das allerdings erschwert, da man keinen kompletten Menschen findet. Anbieten würde sich evtl. der Mann im blauen shirt und mit blauer Mütze. Über Körperproportionen oder Messungen am eigenen Körper müsste man aber erst seine komplette Größe abschätzen.

4 5. Mess- und Schätzaufgaben (3/8)
Das Bild zeigt einen Arbeiter im Mund von einem Puppenkopf mit dem Namen „Camila“. Durch diese Tür gelangten die Besucher zu einer Ausstellung mit überdimensionalen Körperteilen. Die Verwendung des Bildes wurde freundlicherweise von der Agentur „Reuters“ für Power-Point-Vorträge im Rahmen der MathePLUS-Initiative genehmigt. Bitte creditieren Sie das Bild mit REUTERS/Pilar Olivares.  Bitte nutzen Sie das Bild nur bei den Vorführungen für Mathe PLUS – Stärkung des Mathematikunterrichts an bayerischen Mittelschulen. Bitte keine weitere Nutzung, print, online, Facebook oder Weitergabe. Aus: Herget, Jahnke, Kroll, Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I 2001

5 5. Mess- und Schätzaufgaben (3/8)
Wie groß wäre die Puppe, die einen so großen Mund hätte? Einzelarbeit: Bitte überlege Dir alleine in 3 Minuten, wie Du die Größe der Puppe ausrechnen kannst. Notiere deine Überlegungen auf einem Blockblatt. Zuerst Einzelarbeit Aus: Herget, Jahnke, Kroll, Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I 2001

6 5. Mess- und Schätzaufgaben (3/8)
Wie groß wäre die Puppe, die einen so großen Mund hätte? Gruppenarbeit: Gruppenarbeit: - Hilfsmittel austeilen: AB-Vorlagen Camila, Meterstäbe, Folien, Folienstifte Jede Gruppe stellt anschließend ihre Folie am Overhead vor. Erkläre den anderen in deiner Gruppe die Vorgehensweise, die Du Dir gerade überlegt hast. b) Einigt Euch auf die Rechnung, die Euch am Besten erscheint. c) Schreibt die Rechnung mit Erklärungen auf die Folie und rechnet die Größe der Puppe aus.

7 5. Mess- und Schätzaufgaben (3/8)
Wie groß wäre die Puppe, die einen so großen Mund hätte? Wie groß wäre Camilas Lippenstift? Aus: Herget, Jahnke, Kroll, Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I 2001

8 5. Mess- und Schätzaufgaben (3/8)
Schülerlösung: Der Text zeigt eine mögliche Schülerlösung, die über Vergleich Körpergröße des Mannes/Puppenkopf argumentiert. Die Schülerlösung kann mit den bereits vorgestellten Lehrerlösungen verglichen werden. Es ist sinnvoll, Lösungen vorzustellen, die im eigenen Unterricht erarbeitet wurden.

9 5. Mess- und Schätzaufgaben (3/8)
Der Text zeigt eine mögliche Schülerlösung, die über Vergleich Körpergröße des Mannes/Mundgröße des Puppenkopfes argumentiert.

10 5. Mess- und Schätzaufgaben (4/8)
Eine ähnliche Aufgabenstellung wie gerade eben findet sich bei diesem Riesenschuh. Auch hier müssen die Schüler zur Lösung schätzen, vergleichen, hochrechnen. Die Qualiaufgabe zeigt, dass diese Themen prüfungsrelevant sind. Wie groß wäre wohl die Person, der dieser Schuh passen würde?

11 5. Mess- und Schätzaufgaben (5/8)
Die Postbank hat der MathePLUS-Initiative freundlicherweise genehmigt, die Fotos in digitalisierter Form für die Power-Point-Vorlagen der MathePLUS Initiative zu verwenden. Diese Schätzaufgabe kann man z.B. auch in einer 10.Klasse beim Thema „Kugel“ einsetzen. Beim Anblick des ersten Bildes kommt als erste Frage eigentlich immer: „Wie viele Bälle sind das?“. Weitere Fragen, die meist mit Hilfe der ersten Frage beantwortet werden können wären z.B. „Wie lange hat man dafür aufgebaut?“, „wie schwer sind die Bälle?“, „wie viele LKWs hat man benötigt?“, usw. Diese Fragen kann man gut zur Differenzierung für schnellere Schüler heranziehen. Zur Bearbeitung der Aufgabe sollte man alle Bilder zur Verfügung stellen. Fußballfans identifizieren das Vereinslogo im Hintergrund recht schnell als das von Gladbach. Stellt man der Klasse Internet zur Verfügung kann sie die Größe dieses Spielfeldes und evtl. auch die Größe eines Balles herausfinden. Vorsicht: Flinke Schüler googlen auch schnell die ganze Aktion und würden somit einen Teil der Schätzaufgabe umgehen. Aber: Bremst man solche Schüler rechtzeitig, so kann man die Schätzungen der Schüler am Ende mit dem tatsächlichen Ergebnis vergleichen. Die Maße (Umfang) des Balles kann man aber auch durch eigenes Messen herausfinden. Meist führt der Weg dann über den Umfang zum Durchmesser. Manche Gruppen entschieden sich die Anzahl der Bälle auf der Längs- und Querseite zu bestimmen und anschließend zu multiplizieren. Eine andere Gruppe bestimmte die Anzahl über die Fläche des Ballquerschnittes und über die Spielfeldfläche. Die unterschiedlichen Ergebnisse regen bei der Vorstellung zur Diskussion an.

12 Die Postbank hat der MathePLUS-Initiative freundlicherweise genehmigt, die Fotos in digitalisierter Form für die Power-Point-Vorlagen der MathePLUS Initiative zu verwenden.

13 Die Postbank hat der MathePLUS-Initiative freundlicherweise genehmigt, die Fotos in digitalisierter Form für die Power-Point-Vorlagen der MathePLUS Initiative zu verwenden.

14 5. Mess- und Schätzaufgaben (6/8)
Das Bild zeigt „The Giants head“ aus einem Park in Cornwall. Die Höhe des Kopfes bis zur Stirn beträgt 1,20 m. Seine Frisur besteht aus Lilien,die Gesichtsfläche aus Gras. Der Auer-Verlag und die Autorin haben der MathePLUS-Initiative freundlicherweise genehmigt, das Foto in digitalisierter Form für die Power-Point-Vorlagen der MathePLUS Initiative zu verwenden. - Lilienlängen geben Anhaltspunkte zur Kopfgröße. Mit freundlicher Genehmigung des Auer-Verlags Entnommen aus: Bühler/ Eigel: Offene Aufgabenformen für den Mathematik-Unterricht, 2009

15 5. Mess- und Schätzaufgaben (6/8)
Entnommen aus: Bühler/ Eigel: Offene Aufgabenformen für den Mathematik- Unterricht, 2009 1. Wie groß wäre der Riese, dessen Kopf so groß ist? 2. Wenn du dich neben diesen Riesen stellen könntest, bis zu welchem Körperteil würdest du ihm wohl reichen? Aufgabe zeigt mögliche Variationsformen der Fragestellungen, die eine Ausweitung auf viele Größenbereiche/ Sachbereiche ermöglicht. 3. Wie groß müsste ein Strandtuch sein, damit der Riese bequem am Strand liegen könnte, um sich zu sonnen? 4. Könntest du dieses Handtuch tragen?

16 Kurzer Exkurs: Didaktik offener Aufgabenstellungen
(Phasen nach Gallin/ Urs) ICH DU WIR oder auch EA GA Alle Wichtig ist das schriftliche Fixieren der Gedanken in den ersten zwei Phasen.

17 5. Mess- und Schätzaufgaben (7/8)
Wie groß müsste ein Riese sein, zu dem dieser Stuhl passt? Den Stuhl findet man bei XXL-Neubert in Hirschaid bei Bamberg. Die Größe des Riesen erhält man über die Größe des Stuhls. Als Anhaltspunkt dient das stehende und sitzende Mädchen.

18 Alternative „Zwergenaufgabe“!

19 Alternative „Riesenaufgabe“
Von: Brian Kelley (nInnet)

20 FERMI Aufgaben 5. Mess- und Schätzaufgaben
Haare wachsen sehr langsam. In der heutigen Mathematikstunde wächst jedes Haar auf deinem Kopf ein kleines Stückchen heraus. Stelle dir alle diese kleinen Stückchen aneinander gelegt vor. Welche Haarlänge wächst insgesamt während dieser Unterrichtstunde aus unseren Köpfen heraus? Alle Aufgaben, die wir gerade als Mess- und Schätzaufgaben vorgestellt haben, werden auch oft unter dem Begriff „Fermi“-Aufgaben zusammengefasst. Enrico Fermi lebte in der ersten Hälfte des letzten Jahrhunderts und war ein italienischer Kernphysiker, der in USA lebte. FERMI selber war dafür bekannt, dass er trotz schlechter Informationen gute Abschätzungen liefern konnte. Er übte solche Abschätzungsfragen mit seinen Studenten. Eine seiner populärsten Fragen lautete damals: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“ Es gibt eine Vielzahl von solchen FERMI-Aufgaben. Ein weiteres Beispiel ist die Frage, wie lang das Haar wäre, wenn man alle Haarstücke aneinander legen würde, die in einer Mathestunde /-oder Fortbildung aus allen hier anwesenden Köpfen wachsen.

21 Weitere FERMI Aufgaben
Wie lang hast du in deinem Leben insgesamt schon fern gesehen? Wie viele Noten werden an unserer Schule bzw. allen deutschen Schulen pro Jahr erteilt? Wie viele Autos stehen in einem sieben Kilometer langem Stau auf der Autobahn? Wie viele Fußball- felder bräuchte man als Parkplätze für diese Autos? Weitere Beispiele für Fermi-Aufgaben. Hier ist es sinnvoll, Beispiele aufzuführen, die bereits im eigenen Unterricht ausprobiert wurden. Wie viele Luftballons passen in unsere Pausenhalle? Wie lange würde Bill Gates brauchen, um sein ganzes Geld in 5 Dollarnoten einzeln aus dem Fenster zu werfen?

22 Viele schöne FERMI-Fragen sind in der „FERMI-Box“ erhältlich und kostet ca. 25 Euro. Dabei ist dann auch ein schöner Lehrerkommentar mit Einführungen und didaktischen Überlegungen.

23 |-20 |∙2 X = 20 6. Umkehrung und Variation (1/4) Umkehrung |+7x
Mit derartigen Aufgaben durchbricht man festgefahrene/fehlerhafte Lösungsschemata, da Schülern durch die Umkehrung der Automatismus genommen wird. Vergleichbar wäre dies evtl. mit einem Rechtsfüßler, der gezwungen wird mit dem anderen Fuß zu schießen. Hierbei muss man auch alte gewohnte Bewegungen bewusst hinterfragen. Durch das Training mit dem linken Fuß verbessert man verblüffender Weise die Bewegungsausführung des rechten Fußes. Wer dieses leider nicht belegbare Beispiel schlecht findet…bitte weglassen!

24 6. Umkehrung und Variation (2/4)
Suche den/die Fehler 7,5x - 5y – 15 = 0 |-7,5x+15 -5y = -7,5x |:(-5) y = 1,5x + 5 4x - 6y – 12 = 0 |-4x + 12 -6y = 4x |:6 y = 0,666x + 2 Wer fremde Fehler findet, wird zunehmend in der Lage sein, auch eigene zu finden. Diese Fehleraufgaben kann man ganz leicht Schülerarbeiten entnehmen. Sie bieten sich an unterschiedlichsten Stellen im Unterricht an. Beispielsweise kann man sie zum Stundeneinstieg verwenden. Falls man eine aufklappbare Tafel besitzt, bietet sich noch eine andere Variante während einer Übungsphase an. Zwei Schüler rechnen parallel an den Rückseiten der aufgeklappten Tafelflügel die selbe Gleichung. Nach jeder gerechneten Zeile wechseln die Schüler die Seiten. Aufgabe ist nun zunächst das vom Partner Gerechnete auf Fehler zu überprüfen und diese zu verbessern. Erst wenn man der Meinung ist, dass kein Fehler mehr vorhanden ist, darf man wieder eine Zeile rechnen. Danach wieder Tausch usw. bis die Aufgabe gelöst ist. Diesen Effekt kann man auch erreichen, indem nach jeder gerechneten Zeile das Heft mit dem Banknachbarn getauscht wird. 7,5x + 7,5y = 25 |-7,5x 7,5y = 17,5x |:7,5 y = 2,333x

25 6. Umkehrung und Variation (3/4)
Diese Art empfiehlt sich vermutlich nur, um Schüler höheren Alters auf abstraktere Weise gedanklich zu fordern. Normalerweise sehen Schüler in einer Aufgabe zunächst ein Abbild eines Körpers. Diesen müssen sie evtl. in bekannte Formen zerlegen und die passenden Formeln dazu kennen. Diese Aufgabe kehrt diesen Prozess bewusst um. Anhand der Formel sollen sich die Schüler das Abbild des Körpers vorstellen und beschreiben (verbalisieren) können. Wenn man sich auf eine bestimmte Reihenfolge bei den Formeln einigt, kann man auch zusammengesetzte oder ausgefräste Körper beschreiben lassen.

26 6. Umkehrung und Variation (4/4)
In der folgenden Rechnung fehlen die Kommas. Setze sie so, dass das Ergebnis stimmt. 3389 – = 45,82 33,89 - 4, ,3 - 4,8 = 45,82 Setze im folgenden Term die Klammern passend zum Ergebnis. 5 + 7 – 3 • = 29 5 + (7 – 3 ) • (4 + 2 ) = 29

27 7. Verbalisieren und begründen (1/5)
Matthias kauft in der Bäckerei vier Vollkornbrötchen. Die Verkäuferin verlangt 1,79 EUR. Matthias überlegt kurz und sagt: „Ich glaube, sie müssen sich verrechnet haben.“ Was meinst du dazu? Quelle Bild:

28 7. Verbalisieren und begründen (2/5)
Fehleraufgaben „Jede dritte Ehe in Deutschland wird geschieden, in Großstädten sogar jede vierte.“ (zitiert nach: Wochenpost 1995, in Herget, W./ Scholz, D., Die etwas andere Aufgabe, 2006, S. 33 )

29 7. Verbalisieren und begründen (3/5)
Fußballer Horst Szymaniak ( ) kommentiert seine Gehaltsverhandlungen: "Ein Drittel? Nee, ich will mindestens ein Viertel!" Horst Szymaniak, genannt „Schimmi“ (* 29. August 1934 in Erkenschwick; † 9. Oktober 2009 in Melle), war ein deutscher Fußballspieler. Er wurde meist als linker Läufer oder Halbstürmer eingesetzt und galt zu seiner besten Zeit als einer der herausragenden europäischen Mittelfeldspieler. Die wohl bekannteste und sich am hartnäckigsten haltende Geschichte über Horst Szymaniak ist diejenige über seine Vertragsverhandlungen. Dabei soll ihm sein Vereinspräsident angeboten haben, seine Bezüge deutlich zu erhöhen, worauf der Spieler angeblich antwortete: „Ich will ein Viertel, nicht nur ein Drittel mehr“. Diese Aussage wird, je nach Quelle, auch mit „ein Achtel / ein Viertel“ oder „die Hälfte / zwei Drittel“ kolportiert. Ihm wird u.a. der Satz „Ein Pilsken gibt einen flachen Schuß“ zugeschrieben. Quelle Bild: Lizenzbedingungen des Bildes finden sich hier:

30 7. Verbalisieren und begründen (4/5)
Paul liest die Werbung des Möbelhauses und regt sich auf, dass dabei geschummelt wird. Er findet es unfair, dass in großen Buchstaben versprochen wird, dass 19% MwSt. geschenkt werden, aber ganz klein in der Fußnote 1 behauptet wird, dass der Mehrwertsteueranteil einer Minderung von 15,96% entspricht. a) Begründe anhand eines Beispiels, dass das Möbelhaus recht hat. b) Schreibe Paul einen Brief und erkläre ihm den mathematischen Zusammenhang ausführlich. Es finden sich häufig in Zeitungen ähnliche Werbeaktionen, die hier aus urheberrechtlichen Gründen nicht im Original gezeigt werden dürfen. Sicherung vermehrter Grundwert.

31 7. Verbalisieren und begründen (5/5)
In der Norderneyer Badezeitung war folgende Meldung zu lesen: Fuhr vor einigen Jahren noch jeder zehnte Autofahrer zu schnell, so ist es mittlerweile heute nur noch jeder fünfte. Doch auch fünf Prozent sind zu viele, und so wird weiterhin kontrolliert, und die Schnellfahrer haben zu zahlen. Zitiert nach: „Der Spiegel“, Nr. 41/1991 in Herget, W./ Scholz, D., Die etwas andere Aufgabe, 2006, S. 32 Nimm zum mathematischen Gehalt dieser Meldung Stellung.

32 Woher kann ich neue Aufgabenstellungen nehmen?
- aktuelle Medien (Zeitungen/ Internet) - Schulbuchaufgaben umstellen - fehlerhafte Aufgaben aus Schülerarbeiten - Buchempfehlungen: a) Bühler, K./ Eigel, S., Offene Aufgabenformen für den Mathematik- unterricht, 5-10, Donauwörth, 2009 b) Herget, W. u.a., Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I, 2001 c) Büchter, A. u.a., Die FERMI-Box, 2007

33 Was leisten ergänzende Aufgaben?
Steigerung der mathematischen Kompetenzen Bewusstmachen einer heuristischen (problemlösenden) Strategie anhand eines markanten Beispiels. Gewöhnen an heuristische Methoden und Techniken durch Reflektion im Anschluss an eine Aufgabenlösung: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? Es empfiehlt sich, die abschließende Theorie anhand praktischer Erfahrungen zu erklären.

34 Was leisten ergänzende Aufgaben?
Stärkung des eigenständigen Lernens Sachverhalte verstehen Ziele setzen geeignete Vorgehensweisen finden Ergebnisse einschätzen Es empfiehlt sich, die abschließende Theorie anhand praktischer Erfahrungen zu erklären.

35 Was leisten ergänzende Aufgaben?
erhöhte Leistungsbereitschaft ermöglichen von Erfolgserlebnissen individuelle Lösungswege Freude am mathematischen Arbeiten Kommunikation über mathematische Sachverhalte Es empfiehlt sich, die abschließende Theorie anhand praktischer Erfahrungen zu erklären.

36 „Innovationen können weder Haupt- noch Daueraufgabe von Schulen sein
„Innovationen können weder Haupt- noch Daueraufgabe von Schulen sein. Es geht vielmehr um die Balance von Innovation und Routine und damit um die Herausforderung, diese beiden Kernaktivitäten organisatorisch zu unterstützen.“ Prof. Dr. Bernd Kriegesmann Institut für angewandte Innovationsforschung Mit dieser aus unserer Sicht sehr sinnvollen Aussage nimmt man Druck von Kollegen. Es soll außerdem die Botschaft vermittelt werden, dass man nicht alles neu machen kann und auch nicht muss! Das Einstreuen der vorgestellten ergänzenden Aufgaben in den Unterricht ist jedoch sinnvoll und motivierend für Schüler.

37 … in diesem Sinne: Aus: Uli Stein, Pisa-Alarm, 2003
Mit freundlicher Genehmigung des Uli Stein-Verlages