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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 1/17 Schlechtkonditionierte lineare GS. Ax = b A R m m b,x R m Schlechtkonditionierte lineare Gleichungssysteme sind von höherer Rundungsfehlersensitivität
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 2/17 Überblick Vorgangsweise zur Datenberechnung Verwendete Hilfsmittel in Matlab Numerische Singularität Rundungsfehlerschranken Gutkonditioniertes System Schlechtkonditionierte Systeme mit SVD Schlechtkonditionierte Systeme mit EW-Zerlegung
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 3/17 Vorgangsweise zur Berechnung Kondition einer Matrix: Matrizen A 1,A 2,A 3,... mit: K p (A i ) < K p (A i+1 ) x fest(!) wählen, z.B. b=A i ·x berechnen A i ·x=b numerisch(!) lösen, ergibt Rel. Rundungsfehler:
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 4/17 Matlab-Hilfsmittel diag([1 2 3]) erzeugt inv(A)... A -1 norm(A)... 2-Norm der Matrix A cond(A)... Konditionszahl der Matrix A condest(A)... Schätzung der Konditionszahl der Matrix A A\b... Löst das G.S. Ax=b numerisch eps... Maschinengenauigkeit (=2.2204e-16)
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 5/17 Numerische Singularität Durch numerisches Rechnen geht der scharfe Unterschied zwischen Regularität und Singularität von Matrizen verloren! Beispiel einer Matlab-Warnung im kritischen Fall: Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND=3.1838e-17.
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 6/17 Rundungsfehlerschranke Numerisch stabile Algorithmen haben Rundungsfehlerschranken der Form: K...Konditionszahl C...moderate Konstante m...Anzahl der Rechenoperationen
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 7/17 Householder-Matrizen Eigenschaften: orthogonal K 2 (H(u))=1 symmetrisch,involutorisch(H 2 =I)
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 8/17 A i =H([1,2,3,4,5,6,7,10^(-i)] T )
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 9/17 Singulärwertzerlegung A=USV T mit U R n n orthogonal, V R m m orthogonal A,S R n m S=
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 10/17 S i =diag([1,2,3,4,5,6,7,10^(-i)]) ; U,V...Householderm.
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 11/17 S i =diag([10^i,2,3,4,5,6,7,10^(-i)]) ; U,V...Householderm.
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 12/17 Eigenwert-Zerlegung A=X X -1 mit X, R n n und in JNF 2 Beispielarten: 1)Variation der Eigenwerte, d.h. Variation von 2)Variation von X
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 13/17 i =diag([1,2,3,4,5,6,7,10^(-i)]
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 14/17 i =diag([1,2,3,...,13,14,(1/10)^i])
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 15/17 i =diag([10^i,2,3,4,5,6,7,-(10^i)])
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 16/17 i =diag([J 4 (10^i),2,3,4,5])
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Gaußelimination, Teilprojekt 1&2: Schlechtkonditionierte lineare G.S. Alexander Zapletal,Gerald Meinhart 17/17 X schlecht konditioniert
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