Das Bernoulli-Prinzip

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1 Das Bernoulli-Prinzip
Inhalt Entscheidungen unter Risiko Ergebnismatrix Erwartungswert der Ergebnisse μ-σ-Prinzip Das Bernoulli-Prinzip

2 Ergebnismatrix Handlungsalternativen

3 Ergebnismatrix Umweltzustände

4 Ergebnismatrix Ergebnisse

5 Ergebnismatrix Eintrittswahrscheinlichkeiten

6 Handlungsalternative Nichts tun
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts

7 Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10

8 Handlungsalternative Einsatz 1.-, 4.- bei größer 3
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3

9 Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 A2: 6 -1 10 * _ _ =

10 Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 A2: 6 -1 10 * * + _ _ _ =

11 Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 A2: 6 -1 10 * * * * * * + + + + + _ _ _ _ _ 10 6 5 6 =

12 Erwartungswert m μi = Σ eij . pj j=1 i: Aktion j: Umweltzustand

13 -1 10 3 5/6 1 Erwartungswert S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts
A2: 6 -1 10 A3: >3 3 5/6 1

14 Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6
1 - 5 5/6 6 1/6

15 Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6
1 - 5 5/6 6 1/6

16 Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1 mal 6, 10.- bei 2 mal 6
1 – 5 1 – 5 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 1. Würfeln 1/6 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 1 - 5 5/6 1/6 6 6 6 1/6

17 Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6
1 – 5 1 – 5 25/ 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 5/ 1. Würfeln 1/6 1 - 5 5/6 6 1 – 5 5/ 6 1 - 5 5/6 1/6 6 6 6 1/ 1/6

18 Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6
1 – 5 1 – 5 25/ 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 5/ 1. Würfeln 1/6 1 - 5 5/6 4/36 6 1 – 5 5/ 6 1 - 5 5/6 1/6 6 6 6 1/ 1/6

19 -1 10 3 5/6 1 Erwartungswert S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts
A2: 6 -1 10 A3: >3 3 5/6 1

20 Erwartungswert 5 4 μ bei A2 3 2 1 6 - 1 5/6 10 3 2 μ bei A3 1 6 5 4
5/6 10 3 2 μ bei A3 1 6 5 4 - 1 1 3

21 Abweichungen vom Erwartungswert
5 4 μ bei A2 3 2 1 6 - 1 5/6 10 3 2 μ bei A3 1 6 5 4 - 1 1 3

22 Abweichungen vom Erwartungswert
μ - 2 4 1 μ 0,5 1,5 1

23 Streuung m σi = √ Σ (eij - μi ) 2 . pj j=1 i: Aktion j: Umweltzustand

24 -1 10 3 5/6 1 Erwartungswert S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts
A2: 6 -1 10 A3: >3 3 5/6 1

25 -1 3 2 -2 -2 -2 2 2 2 Streuung S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 A3: >3 -1 3 2

26 -1 10 3 4,1 2 Streuung S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3 4,1 2

27 Entscheidungsregeln für μ-σ-Prinzip
z.B. Präferenzfunktion Φ (μ,σ) = μ + α . σ für α < 0: risikoscheu für α > 0: risikofreudig

28 Gleiches μ und σ andere Verteilung
3 3 2 3 Wahrscheinlichkeit jeweils 1/3 1 1 4 2 4

29 Gleiches μ und σ andere Verteilung
Handlungsalternative A1 W (e11 = - 1) = / W (e12 = )= / W (e21 = ) = ½ W (e22 = +1000) = ½ Handlungsalternative A2

30 Gleiches μ und σ andere Verteilung
Handlungsalternative A1 W (e11 = - 1) = / W (e12 = )= / W (e21 = ) = ½ W (e22 = +1000) = ½ Handlungsalternative A2 μ jeweils 0 und σ jeweils 1000

31 Das Bernoulli-Prinzip
Wähle die Handlungsalternative mit dem höchsten Erwartungswert des Nutzens (nicht des Ergebniswertes).

32 Das Bernoulli-Prinzip Vorgehensweise
Normierung zwischen 0 und 1: Höchster Ergebniswert , Niedrigstes Ergebniswert 0.

33 Das Bernoulli-Prinzip Normierung
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3 1

34 Das Bernoulli-Prinzip Nutzen
Restliche Ergebnisse (0 und 3): Indifferenzwahrscheinlichkeit zwischen dem sicheren Ergebnis und einer Lotterie mit dem höchsten und niedrigsten Ergebniswert

35 Das Bernoulli-Prinzip Nutzen
0 ~ (10, -1) 3 ~ (10, -1) W 1-W W 1-W

36 Das Bernoulli-Prinzip Nutzen
0 ~ (10, -1) 3 ~ (10, -1) W 1-W W 1-W 0,7 0,1

37 Das Bernoulli-Prinzip Nutzen
w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts 0,1 A2: 6 1 A3: >3 0,7

38 Das Bernoulli-Prinzip Nutzenerwartungswert
A1: nichts 0,1 A2: 6 1 A3: >3 0,7 1/10 1/6 2/5