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Bisherige Vorlesungen: Beschreibende Statistik Datenerfassung, Datenkomprimierung (-zusammenfassung) Wichtige Eigenschaften der gegebenen Daten Techniken:

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Präsentation zum Thema: "Bisherige Vorlesungen: Beschreibende Statistik Datenerfassung, Datenkomprimierung (-zusammenfassung) Wichtige Eigenschaften der gegebenen Daten Techniken:"—  Präsentation transkript:

1 Bisherige Vorlesungen: Beschreibende Statistik Datenerfassung, Datenkomprimierung (-zusammenfassung) Wichtige Eigenschaften der gegebenen Daten Techniken: Darstellungsarten, Häufigkeitsberechnung, Mittelwerte, Streumaße Vorlesung : Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsbegriff

2 Erinnern Sie sich an unsere erste Vorlesung? Unsere Ausgangsfrage war die folgende: Zufall ??? Arbeitsdefinition: Vorgänge, Erscheinungen, deren Ausgang man im Vorhinein nicht mit Sicherheit voraussagen kann Aufgabe der Stochastik: Zufällige Phänomene erfassen, beschreiben, logische Schlüsse ziehen

3 Zufallsexperiment: Ein Experiment, das unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist, und dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorhersagbar ist: verschiedene mögliche Ausgänge, wobei nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, welches eintretenwird. Zufallsversuch, zufälliger Vorgang.

4 Beispiel: Zufälliges Experiment Knobeln Bedingungen: Wir bilden Spielerpaare. Keiner der Spieler verfolgt eine bestimmte Strategie, sondern entscheidet völlig willkürlich. Mögliche Handstellungen: Schere, Papier, Stein. Es gelten die üblichen Regeln. Zufälliges Experiment: Ein Spiel besteht in einer einmaligen Handstellungswahl durch beide Spieler und dem Aufnotieren der eingetretenen Handstellungskombination. verschiedene Handstellungskombinationen sind möglich; wir wissen im Voraus nicht, welche eintreten wird.

5 Bitte bilden Sie Spielerpaare und wiederholen Sie das Experiment 27x. Bitte notieren Sie Ihre 27 Handstellungskombinationen.

6 Möglichkeit, die Spielergebnisse zu notieren: Strich-Tabelle Häufigkeitstabelle ScherePapierStein Schere Papier Stein ScherePapierStein Schere Papier Stein Berechnen Sie für Ihre Serie von Versuchsergebnissen die zugehörigen 9 relativen Häufigkeiten.

7 Def. Die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum (Ergebnismenge). Jede Teilmenge des Ergebnisraumes heißt (zufälliges) Ereignis. Die 1-elementigen Ereignisse heißen Elementarereignisse.

8 Knobel-Beispiel: Ereignisraum: = Menge der Experimentausgänge = = { (Schere, Schere), (Schere, Papier), (Schere, Stein), (Papier, Schere), (Papier, Papier), (Papier, Stein), (Stein, Schere), (Stein, Papier), (Stein, Stein) } Achtung: Wir notieren die einzelnen möglichen Ergebnisse in der Form (Ergebnis Spieler 1, Ergebnis Spieler 2) Anzahl der Elemente der Menge = Anzahl der Elementarereignisse des Zufallsexperiments Knobeln = 3 2 Schreibweise: ScherePapierStein Schere Papier Stein Familie der 9 mög- lichen Ausgänge des Knobelexperiments

9 Beispiel für ein mögliches Ereignis beim Zufallsexperiment Knobeln: Ereignis E 1 : Spieler 1 gewinnt E 1 = { (Sch, P), (P, St), (St, Sch) } ScherePapierStein Schere(Sch, P) Papier(P, St) Stein(St, Sch) Das Ereignis E 1 setzt sich aus den 3 Elementarereignissen (Sch, P), (P, St), (St, Sch) zusammen.

10 Sprechweise: Das Ergebnis E ist bei der Durchführung des Zufallsexperiments eingetreten, wenn ein Elementarereignis realisiert wurde, das zu E gehört: erhaltenes Elementarereignis E Knobel-Beispiel: Bei der Durchführung des Spiel ist es zu dem Ergebnis (St, Sch) gekommen wegen ist das Ereignis E 1 = Spieler 1 gewinnt eingetreten.

11 Ereignis E 2 = Spieler 2 gewinnt = { (Sch, St), (P, Sch), (St, P) } ScherePapierStein Schere (Sch, St) Papier(P, Sch) Stein (St, P)

12 E 1 E 2 ScherePapierStein Schere Papier Stein Vereinigungsmenge E 1 E 2 = Menge alle Elementarereignisse, die zu E 1 oder zu E 2 gehören = { (Sch, P), (Sch, St), (P, Sch), ( P, St), (St, Sch), (St, P) } ScherePapierStein Schere(Sch, P) Papier(P, St) Stein(St, Sch) ScherePapierStein Schere (Sch, St) Papier(P, Sch) Stein (St, P)

13 E 1 E 2 ScherePapierStein Schere Papier Stein Durchschnitt E 1 E 2 = = Menge aller Elementarereignisse, die zu E 1 und zu E 2 gehören = Ø = leere Menge = unmögliches Ergebnis ScherePapierStein Schere(Sch, P) Papier(P, St) Stein(St, Sch) ScherePapierStein Schere (Sch, St) Papier(P, Sch) Stein (St, P)

14 Achtung: Jedes Ereignis eines zufälligen Experiments lässt sich durch eine bestimmte Eigenschaft charakterisieren: Unmögliches Ereignis Ø: Es gibt kein Elementarereignis, das Element dieses Ereignisses ist. Sicheres Ereignis : Jedes eingetretene Elementarereignis gehört zu diesem Ereignis. Der Ereignisraum kann also zugleich auch als Ereignis aufgefasst werden – als Ereignis, das alle Elementarereignisse umfasst. E 1 : Spieler 1 gewinnt. E 1 E 2 : Spieler 1 oder Spieler 2 gewinnt.

15 Gegenereignis zum Ereignis E = Komplementärereignis zum Ereignis E = Menge aller Elementarereignisse, die nicht zu E gehören = – E Schreibweise: Knobel-Beispiel: : Spieler 1 gewinnt nicht. ScherePapierStein Schere Papier Stein E1E1 SchPSt Sch P St

16 Häufigkeiten bei Zufallsexperimenten Beispiel: Zufallsexperiment: 1x Würfeln mit einem normalen Spielwürfel, Aufnotieren der gewürfelten Augenzahl Bedingungen des Zufallsexperiments Ereignis E : Die gewürfelte Augenzahl ist > 4. = {5, 6} ( = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ) Wir führen unser Experiment (n=) 20 mal durch. Frage: Wie oft ist das Ereignis E in dieser Versuchsserie eingetreten?

17 Führen Sie das Würfel-Experiment 20x durch, notieren Sie die 20 geworfenen Augenzahlen, berechnen Sie die relative Häufigkeit für das zufällige Ereignis Die gewürfelte Augenzahl ist > 4. für Ihre Augenzahl-Serie. h 20 (Die gewürfelte Augenzahl ist > 4. ) = = h 20 ({5,6}) = ………………….

18 Wie oft ist das Ereignis E in dieser Versuchsserie eingetreten? Meine Versuchsserie ( , Beginn: 7:00 Uhr) Auftrittshäufigkeit für das Ereignis E = Gewürfelte Augenzahl ist > 4.: H 20 (E) = 7 h 20 (E) =

19 Eigenschaften der relativen Häufigkeit: Gegeben sei ein Zufallsexperiment und eine Serie von n Versuchsdurchführungen. Liste von n Elementarereignissen, die bei dieser Serie von Versuchsdurchführungen eingetreten sind. Für jedes Ereignis zu diesem Zufallsexperiment lässt bezüglich dieser Serie die zugehörige relative Häufigkeit berechnen. h n ( ) = 1 h n ( Ø ) = 0 0 h n (E) 1 für jedes Ereignis E. h n (E) = h n ({ 1, …, k }) = h n ({ 1 }) + … h n ({ k }) (E={ 1, …, k }) h n (E 1 E 2 ) = h n (E 1 ) + h n (E 2 ), falls E1 E2 = Ø

20 Frage: Lässt sich aus Eintrittshäufigkeiten auf Eintrittschancen für Ereignisse schließen? Wie große ist die Chance, beim einmaligen Würfeln mit einem normalen Spielwürfel eine Augenzahl > 4 zu würfeln? Ereignis E Versuchsbedingungen Wir suchen nach einer Möglichkeit, eine allgemeingültige Aussage zur Eintrittschance eines zufälligen Ereignisses zu machen, eine Aussage, die also nicht von der konkreten Versuchsserie abhängt, die wir durchgeführt haben. Zufälliger Versuch

21 Beobachtungen: Bei zahlreichen und bei langen Versuchsserien kristallisiert ein gemeinsamer Grenzwert heraus: h n (E) empirische Wahrscheinlichkeit von E h n (E) konvergiert (strebt) für immer größeres n gegen eine bestimmte Zahl Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Fast immer gilt: Die relative Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses weicht für immer längere Versuchsserien beliebig wenig von einem festen Grenzwert ab. Diese Grenzzahl wird empirische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E genannt. Symbol: P(E).

22 Zufallsexperiment, zufälliges Ereignis E, Frage nach der Eintrittschance von E. Mögliches Vorgehen: Wir führen das Experiment n-mal durch. (n möglichst groß!) Wir berechnen die relative Eintrittshäufigkeit von E für diese Versuchsserie. Unsere Aussage über die Eintrittschance von E: P(E) h n (E), berechnet für unsere Versuchsserie Achtung: Auf diese Weise gewinnen wir nur einen Näherungswert für die gesuchte Chance von E.

23 Knobel-Beispiel: Wie groß ist die Chance, beim Knobeln zu gewinnen, wenn Sie Spieler 1 sind? Ereignis E 1 = Spieler 1 gewinnt bei 1 x Knobeln. Unser Vorgehen: Sie haben sich eine Ergebnis-Serie von 27 Handstellungs- kombinationen verschafft. Sie haben diese 27 Kombinationen aufnotiert in der Form (Handstellung des 1. Spielers, Handstellung des 2. Spielers). Für jeden dieser 27 Versuchsausgänge können Sie feststellen, ob es zum Ereignis Spieler 1 gewinnt. gehört oder nicht. relativen Eintrittshäufigkeit von E 1 für Ihre Serie:

24 Welche Vermutung haben Sie für die Eintrittschance des Ereignisses Spieler 1 gewinnt ? tragen Sie hier Ihre Vermutung ein: Begründung:

25 Diese relative Eintrittshäufigkeit von E ist Ihr Näherungswert für die unbekannte Eintrittschance P(E) für das Ereignis E. Achtung: Eine andere Versuchsserie kann / wird einen etwas anderen Näherungswert liefern! Aufgabe: Beim Verlassen des Hörsaals tragen Sie bitte Ihre 27 Handstellungskombinationen für das Knobelspiel in die ausgelegten Listen ein. (Von jedem Spieler-Paar trägt bitte jeweils nur eine/ einer die Ergebnisse in die Liste ein!)

26 Ereignis E 1 = Spieler 1 gewinnt beim Knobeln: Ihre Vermutung war: Empirische Wahrscheinlichkeit P(E 1 ) = …… P(E 1 ) hängt vermutlich ab von der Gesamtanzahl der möglichen Versuchsausgänge (hier: = 3 2 = 9 ) und vom Umfang des Ereignisses E (hier: = 3) Wir warten, ob die Auswertung unserer konkreten Versuchsserie von 27x……….. Versuchsdurchführungen diese Vermutung bestätigen wird. ( )

27 Schwierigkeiten bei der Bestimmung der empirischen Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses: Beliebig große Anzahl von Versuchsdurchführungen (unendlich viele Versuchsdurchführungen) ist unmöglich. Stabilisierung der relativen Häufigkeiten gilt nur fast immer – es können Ausreißer auftreten. Empirische Wahrscheinlichkeit liefert nur einen Näherungs- wert (einen vermutlichen Wert) für die Eintrittschance des untersuchten Ereignisses. Anliegen: Neben der empirischen Wahrscheinlichkeit auch exakte Berechnungsmöglichkeit für Eintrittschancen zu haben! Erst dann macht es Sinn, von der Eintrittschance eines zufälligen Ereignisses zu sprechen.

28 Laplace-Experimente Zufallsexperimente mit endlich vielen möglichen Ausgängen, bei denen jedem Elementarereignis dieselbe Eintrittschance zugeordnet werden kann. Beispiele: (1) Knobeln: Keine besonderen Strategien zulässig. Jede mögliche Handstellungskombination ist gegenüber jeder anderen Kombination gleichberechtigt. Jede Kombination hat prinzipiell die gleiche Chance realisiert zu werden. (2) 1 x Würfeln mit einem normalen Spielwürfel: Der Würfel ist ungezinkt. Keine Augenzahl ist gegenüber einer anderen Augenzahl bevorrechtet. Jede Augenzahl hat die gleiche Chance geworfen zu werden.

29 (3 ) 2 x Werfen einer normalen Münze, Notieren, welche Seite nach jedem der beiden dem Würfe oben liegt: = {(W(appen), Z(ahl)), (W, W), (Z, W), (Z, Z)} Achtung: Wir notieren die einzelnen Wurfergebnis-Paare in der realisierten Reihenfolge: (Ergebnis des 1. Wurfs, Ergebnis des 2. Wurfs) Jedes der 4 möglichen Ergebnisse hat die gleiche Realisierungschance wie jede der 3 anderen.

30 Def. Es sei der Ergebnisraum eines Laplace-Experiments: Wir betrachten das zufällige Ereignis E: P(E) = heißt die (Laplace-)Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E. Pierre-Simon Laplace ( ) Französischer Mathematiker, der insbesondere auch wichtige Beiträge zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung geleistet hat.

31 Knobel-Beispiel: = Menge der möglichen Handstellungspaare = { (Sch, Sch), (Sch, P), (Sch, St), (P, Sch), (P, P), (P, St), (St, Sch), (St, P), (St, St) } = 9 Ereignis E 1 = Spieler 1 gewinnt = { (Sch, P), (P, St), (St, Sch) } = 3 = Anzahl der für E günstigen Spielausgänge Laplace- Wahrscheinlichkeit von E 1 = P(E 1 ) =

32 Anwendung des empirischen Gesetzes der großen Zahlen auf unser Knobel-Beispiel: h n (E) stabilisiert sich für immer größere n-Werte (n = Versuchsserienlänge) Der Grenzwert (= die von uns vermutete Eintrittschance von E 1 ), d.h. die empirische Wahrscheinlichkeit, stimmt mit der Laplace- Wahrscheinlichkeit von E 1 überein: P(E 1 ) =

33 Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit: P( ) = 1 P(Ø) = 0 0 P(E) 1 für jedes Ereignis E P(E) = P({ 1, …, k }) = P({ 1 }) + … P({ k }) (E={ 1, …, k }) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) +PE 2 ), falls E 1 E 2 = Ø Analoge Eigenschaften, wie wir sie schon für relative Häufigkeiten kennen gelernt haben!

34 Beispiel : Versuchsbedingungen: 2 gleichlange Seile werden jeweils in der Mitte zusammengefaltet. Diese Faltstellen werden beide gleichzeitig in die Hand genommen und die Faust geschlossen, so dass die Faltenden nicht mehr zu sehen sind. Versuchsdurchführung: Die Aufgabe besteht darin, je zwei der herunterhängenden Seilenden willkürlich zusammenzubinden. Interessierendes Ereignis: Nach dem Öffnen der Faust stellt sich heraus, dass durch das Zusammen- binden ein einziger Ring entstanden ist. Frage: Handelt es sich bei diesem Versuch um ein Laplace-Experiment? Wie groß ist die Eintrittschance für das uns interessierende Ereignis?

35 Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung: Zufälliger Versuch Ergebnisraum Ereignis Elementarereignis Sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis Relative Häufigkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einer konkreten Versuchsserie empirische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit


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