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Übungen zur Vorlesung Stochastik und ihre Didaktik (BA) Referenten: Franziska Litschko Referenten: Franziska Litschko Lisa Dembny Lisa Dembny Maria Müller.

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1 Übungen zur Vorlesung Stochastik und ihre Didaktik (BA) Referenten: Franziska Litschko Referenten: Franziska Litschko Lisa Dembny Lisa Dembny Maria Müller Maria Müller

2 Thema: Wahrscheinlichkeit 4.1 Führen Sie in der Klassenstufe 7/8 die Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis ein und konzipieren Sie vielfältige Übungen zum Verständnis und zur Festigung dieser Begriffe im Zusammenhang mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit und dem Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe relativer Häufigkeiten. Schätzen Sie den Zeitbedarf für Ihre Vorschläge ab.

3 Rahmenlehrplan

4 4.2 Doppeljahrgangsstufe 7/ Pflichtbereich P1 7/8 Daten erheben und verstehen Zentrale Leitideen: Daten und Zufall, Zahl Schülerinnen und Schüler verstehen Statistiken und gehen kritisch mit ihnen um. Dabei ist es wichtig, selbst Daten zu sammeln, diese zweckmäßig darzustellen und geeignet zu interpretieren. Die Grundbegriffe aus der Grundschule werden aufgegriffen und vertieft. Kompetenzbezug Die folgenden Kompetenzen zur Verwendung von Darstellungen und zu den Leitideen Daten und Zufall und Zahl bilden den Schwerpunkt dieses Moduls: Planen und Durchführen statistischer Datenerhebungen Erfassen, Darstellen und Bewerten von Daten Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale Zahlen

5 Die folgenden Schülertätigkeiten dienen dem Erwerb dieser Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler stellen selbsterhobene Daten in Urlisten, Strichlisten und Häufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis-, Linien- und Balkendiagrammen dar, bestimmen das Maximum, das Minimum und berechnen das arithmetische Mittel eines Datensatzes, bestimmen absolute und relative Häufigkeiten, interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen, vergleichen diese mit ihren Erwartungen und beurteilen sie. klassifizieren Daten in Messdaten, mit denen Rechnungen durchgeführt werden können, in Daten mit qualitativen Merkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen, bestimmen den Median einer Häufigkeitsverteilung, ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistische Ergebnisse und begründen ihre Entscheidungen und Konsequenzen. planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten, stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) und bewerten Darstellungen kritisch.

6 Tätigkeiten verwenden die Begriffe: Ergebnis, Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, schätzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Häufigkeiten, beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge, begründen die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien. beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der Problemstellung angemessenen Ergebnismenge, begründen das verwendete Abzählverfahren.

7 1. Lehreinheit Klärung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten) Klärung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten) Einführung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Übungen (18 Minuten) Einführung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Übungen (18 Minuten) Definition des Begriffes Ereignis + Verständnisaufgaben (12 Minuten) Definition des Begriffes Ereignis + Verständnisaufgaben (12 Minuten) Hausaufgabenverteilung (3 Minuten) Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

8 Zufallsversuch Lehreraktivität (Kugelschreiber drehen, Licht an und aus schalten,…) > Schüler sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegt Lehreraktivität (Kugelschreiber drehen, Licht an und aus schalten,…) > Schüler sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegt Schüler erklären den Begriff mit eigenen Worten Schüler erklären den Begriff mit eigenen Worten Lehrer gibt Definition Lehrer gibt Definition Schüler nennen Beispiele (Verständniskontrolle) Schüler nennen Beispiele (Verständniskontrolle)

9 Definition-Zufallsversuch Experimente oder Vorgänge, deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist, nennt man Zufallsversuche/ Zufallsexperiment. Experimente oder Vorgänge, deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist, nennt man Zufallsversuche/ Zufallsexperiment. Ein Vorgang mit zufälligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: Ein Vorgang mit zufälligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: Er besitzt mehrere mögliche Ergebnisse Er besitzt mehrere mögliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Experiments nicht vorhergesagt werden. Das Ergebnis kann vor Ablauf des Experiments nicht vorhergesagt werden.

10 Definition: Ergebnis Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall) Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)

11 Ergebnis Aufgaben zum Verständnis: Was ist ein Ergebnis? Aufgaben zum Verständnis: Was ist ein Ergebnis? Nenne mögliche Ergebnisse beim Münzwurf Nenne mögliche Ergebnisse beim Münzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten, zwei schwarzen und einer weißen Kugel, zwei hinaus. Wie könnte das Ergebnis aussehen? Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten, zwei schwarzen und einer weißen Kugel, zwei hinaus. Wie könnte das Ergebnis aussehen? Nenne weitere Ergebnisse von Zufallsversuchen! Nenne weitere Ergebnisse von Zufallsversuchen!

12 Ergebnismenge Aufgabe: Schreibt für folgende Vorgänge alle möglichen Ergebnisse auf: Aufgabe: Schreibt für folgende Vorgänge alle möglichen Ergebnisse auf: Einmaliges Würfeln Einmaliges Würfeln Drei Mal hintereinander eine Münze werfen (Kopf, Zahl) Drei Mal hintereinander eine Münze werfen (Kopf, Zahl) > Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige Zufallsversuch?

13 Quelle:http://www.google.de/search?q=stochastik+ergebnis+element&sourceid=navclient -ff&ie=UTF-8&rlz=1B3GGGL_deDE240DE250 Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

14 Ergebnismenge: dreimaliger Münzwurf

15 Definition: Ergebnismenge Alle möglichen Ergebnisse (Ausfälle) zusammen, bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Zufallsversuches. Alle möglichen Ergebnisse (Ausfälle) zusammen, bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Zufallsversuches.

16 Ergebnismenge Übungsaufgaben: Übungsaufgaben: Nenne die Ergebnismenge beim zweimaligen Würfeln. Zeichne dazu ein Baumdiagramm! Nenne die Ergebnismenge beim zweimaligen Würfeln. Zeichne dazu ein Baumdiagramm! Eine Familie hat drei Kinder. Welche Möglichkeiten gibt es? (Junge/ Mädchen) Eine Familie hat drei Kinder. Welche Möglichkeiten gibt es? (Junge/ Mädchen) Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm dar! Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm dar!

17 Ereignis Bsp.: Mensch-Ärger-Dich-Nicht Bsp.: Mensch-Ärger-Dich-Nicht Ergebnismenge: {1,2,3,4,5,6} Ergebnismenge: {1,2,3,4,5,6} Es interessiert aber nur ob eine 6 fällt oder nicht. Es interessiert aber nur ob eine 6 fällt oder nicht. D.h. man will wissen, ob die gewürfelte Zahl zur Menge E 1 = {1,2,3,4,5} oder zur Menge D.h. man will wissen, ob die gewürfelte Zahl zur Menge E 1 = {1,2,3,4,5} oder zur Menge E 2 = {6} gehört. Wobei E 1 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge ist. E 2 = {6} gehört. Wobei E 1 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge ist.

18 Definition: Ereignis Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heißen Ereignisse Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heißen Ereignisse

19 Ereignis Übungsaufgabe: Übungsaufgabe: Ein Würfel wird geworfen. Beschreibe folgende Ereignisse: Ein Würfel wird geworfen. Beschreibe folgende Ereignisse: a) Eine ungerade Zahl fällt b) Ein Primzahl wird gewürfelt c) Es fällt eine Zahl, deren Quadrat kleiner 20 ist d) Überlege dir weitere Ereignisse!

20 Ziel Die Schüler kennen die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis. Die Schüler kennen die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis. Die Schüler können diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeiten. Die Schüler können diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeiten. Die Schüler sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu finden. Die Schüler sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu finden.

21 Hausaufgaben 1. Zwei Würfel werden geworfen und die Augenzahlen zusammengezählt. 1. Zwei Würfel werden geworfen und die Augenzahlen zusammengezählt. a)Wie lautet die Grundmenge dieses Zufallsversuches? a)Wie lautet die Grundmenge dieses Zufallsversuches? b) Nenne zwei mögliche Ereignisse für diesen Zufallsversuch! b) Nenne zwei mögliche Ereignisse für diesen Zufallsversuch!

22 Hausaufgaben 2. Tina und Paul knobeln: Schere-Stein-Papier 2. Tina und Paul knobeln: Schere-Stein-Papier (Schere siegt über Papier, Stein über Schere und Papier über Stein) (Schere siegt über Papier, Stein über Schere und Papier über Stein) a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von Paaren auf! [(Stein/Papier) meint, Tina zeigt Stein, Paul Paaren auf! [(Stein/Papier) meint, Tina zeigt Stein, Paul zeigt Papier] zeigt Papier] b) Schreibe das Ergebnis Tina gewinnt als b) Schreibe das Ergebnis Tina gewinnt als Teilmenge der Grundmenge! Teilmenge der Grundmenge!

23 2. Lehreinheit Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min) Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min) Einführen der Begriffe Laplace-Experiment/- Wahrscheinlichkeit (10 min) Einführen der Begriffe Laplace-Experiment/- Wahrscheinlichkeit (10 min) Aufgaben zum Verständnis dieser Begriffe (25 min) Aufgaben zum Verständnis dieser Begriffe (25 min)

24 Wahrscheinlichkeiten Für jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an, mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann: Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100 %.

25 Laplace-Experiment/- Wahrscheinlichkeit Es handelt sich dabei um ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Beispiel: - Münzwurf - Würfeln - Glücksrad

26 Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und entdeckt folgendes Glücksrad. Was ist die Ergebnismenge? Was ist die Ergebnismenge? Ist das ein Laplace-Experiment? Ist das ein Laplace-Experiment?

27 Ein weiteres Glücksrad: Ein weiteres Glücksrad: Was ist hier die Ergebnismenge? Was ist hier die Ergebnismenge? Kann ich hier auch die Laplace- Wahrscheinlichkeit anwenden? Kann ich hier auch die Laplace- Wahrscheinlichkeit anwenden?

28 Übungsaufgaben 1.Überlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne! Welche Ereignisse können eintreten? Gib die jeweiligen Ergebnismengen an! 2. Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace- Experiment? Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmen?

29 Relative Häufigkeiten

30 Schülertätigkeiten Beschreiben die wiederholte Durchführung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Häufigkeiten Beschreiben die wiederholte Durchführung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Häufigkeiten Schätzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Häufigkeiten Schätzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Häufigkeiten

31 3. Lehreinheit Einführung des Begriffes (5 Minuten) Einführung des Begriffes (5 Minuten) Üben mit Hilfe von Beispielaufgaben (15 Minuten) Üben mit Hilfe von Beispielaufgaben (15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten (5 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten (5 Minuten) Kleiner Ausblick: Was bringen uns relative Häufigkeiten? (10 Minuten) Kleiner Ausblick: Was bringen uns relative Häufigkeiten? (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

32 Einführung Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis eintritt. Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis eintritt. Wie berechnet man diesen Schätzwert? Wie berechnet man diesen Schätzwert?

33 Betrachten wir folgendes Würfelergebnis: Betrachten wir folgendes Würfelergebnis: Ein Würfel wurde 100 mal gewürfelt! Ein Würfel wurde 100 mal gewürfelt! Augenzahl Absolute Häufigkeite n

34 Hieraus sollen nun die relativen Häufigkeiten für die Ereignisse 1 und 6 errechnet werden. Hieraus sollen nun die relativen Häufigkeiten für die Ereignisse 1 und 6 errechnet werden. Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Häufigkeit in der 2. Zeile, wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (z.B. die 1 wurde 21 mal geworfen). Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Häufigkeit in der 2. Zeile, wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (z.B. die 1 wurde 21 mal geworfen).

35 Die relative Häufigkeit lässt sich nun mit Hilfe der absoluten Häufigkeit und der Anzahl aller Versuche ausrechnen, indem man den folgenden Bruch bildet: Die relative Häufigkeit lässt sich nun mit Hilfe der absoluten Häufigkeit und der Anzahl aller Versuche ausrechnen, indem man den folgenden Bruch bildet:

36 Dies bedeutet für unser Beispiel: Dies bedeutet für unser Beispiel: Augenzahl Absolute Häufigkeite n Relative 21/100=0,2111/100=0,11

37 Neu eingeführter Begriff durch Üben verfestigen Im 7. Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schüler und Schülerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema Lieblingssportarten durchgeführt. Die Ergebnisse findest du in der Tabelle. Vervollständige die Tabelle: Sportart Anzahl der Nennungen Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Fußball21 Handball12 Skaten44 Turnen10 Schwimmen13 Summe:100

38 Was passiert, wenn man die relativen Häufigkeiten aller Ereignisse addiert? Was passiert, wenn man die relativen Häufigkeiten aller Ereignisse addiert? Was lässt sich aus dieser Eigenschaft für uns gewinnen: Was lässt sich aus dieser Eigenschaft für uns gewinnen: Dient der Kontrolle, ob wir die relativen Häufigkeiten richtig berechnet haben.

39 Merke Merke Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1. Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1.

40 Beispiel Münzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl: Beispiel Münzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl: Stichprobenumfang: Stichprobenumfang: n=5, 10, 20, 30, ….300 Vergleich der relativen Häufigkeiten mit Zunahme der Stichprobe Vergleich der relativen Häufigkeiten mit Zunahme der Stichprobe Was fällt auf bzw. was sollte auffallen? Was fällt auf bzw. was sollte auffallen?

41 Gesetz der großen Zahlen: Nach einer großen Anzahl von Versuchen ändert sich die relative Häufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenig. Nach einer großen Anzahl von Versuchen ändert sich die relative Häufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenig. (Mit Grafiken und Simulationen den Schülern veranschaulichen!) (Mit Grafiken und Simulationen den Schülern veranschaulichen!) Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

42 Erfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst, wird sich keiner wundern, wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hat. Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst, wird sich keiner wundern, wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hat. Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spät in den Unterricht erscheint, dann ist nicht nur jeder überrascht, sondern wird Paul womöglich gleich nachdem warum fragen. Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spät in den Unterricht erscheint, dann ist nicht nur jeder überrascht, sondern wird Paul womöglich gleich nachdem warum fragen.

43 Ziel Die Schüler wissen und können mit dem Begriff relativer Häufigkeiten umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwenden Die Schüler wissen und können mit dem Begriff relativer Häufigkeiten umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwenden Die Schüler können mit Hilfe der relativen Häufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschätzen und somit Voraussagen treffen. Die Schüler können mit Hilfe der relativen Häufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschätzen und somit Voraussagen treffen.

44 Hausaufgaben An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse ein: An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse ein: Fülle die Lücken in der Tabelle aus! Fülle die Lücken in der Tabelle aus! Karten Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit As77/40 Bilder Zahlen(7- 10) 19 Summe

45 Für ein Projekt zum Thema Verkehr führte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraße eine Verkehrszählung durch. An einem Montagvormittag zwischen Uhr und 10.30Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezählt: Für ein Projekt zum Thema Verkehr führte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraße eine Verkehrszählung durch. An einem Montagvormittag zwischen Uhr und 10.30Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezählt: FahrzeugartPKWLKWMotorräder Fahrrad / Mofas Gezählte Fahrzeuge

46 Hausaufgaben A) Bestimme jeweils die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmer! A) Bestimme jeweils die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmer! B) Zeichne zu den relativen Häufigkeiten ein Balkendiagramm B) Zeichne zu den relativen Häufigkeiten ein Balkendiagramm C)*Zusatz: Zeichne zu den absoluten Häufigkeiten ein Kreisdiagramm! C)*Zusatz: Zeichne zu den absoluten Häufigkeiten ein Kreisdiagramm!

47 4. Lehreinheit Kontrolle der Hausaufgaben Kontrolle der Hausaufgaben Übungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des Gelernten Übungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des Gelernten

48 Übungsaufgaben In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben O, R und T stehen. Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegt. In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben O, R und T stehen. Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegt. a) Notiere die Ergebnismenge dieses Zufallsversuchs, indem du alle möglichen Buchstabenfolgen notierst! a) Notiere die Ergebnismenge dieses Zufallsversuchs, indem du alle möglichen Buchstabenfolgen notierst! b) Notiere das Ereignis Die Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergeben als Teilmenge der Ergebnismenge! b) Notiere das Ereignis Die Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergeben als Teilmenge der Ergebnismenge!

49 Aufgaben für die 4. Stunde Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Nägeln. Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Nägel der nächsten Reihe. Schließlich fällt sie unten in eines der Fächer. Die Abbildung rechts zeigt ein 4- stufiges Galton-Brett. 1.Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzählung der Fach- Nummern Ω = {0; 1; 2; 3; 4} eher ungünstig? Wie muss Ω gewählt werden, damit es ein Laplace- Raum ist?

50 Übungsaufgaben Wirf einen Reißnagel 50 mal und notiere jedes Mal, wie er liegen bleibt! Wirf einen Reißnagel 50 mal und notiere jedes Mal, wie er liegen bleibt! Entscheide dann: Kann man diesen Reißnagel für ein faires Losverfahren benützen? Entscheide dann: Kann man diesen Reißnagel für ein faires Losverfahren benützen?

51 Übungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe auf jeden ein X oder ein O! Falte die Zettel zusammen und mische diese! Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl. Anschließend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zurück. Der Vorgang wird 10 Mal wiederholt Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe auf jeden ein X oder ein O! Falte die Zettel zusammen und mische diese! Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl. Anschließend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zurück. Der Vorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Zetteln ein X steht! Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Zetteln ein X steht! Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl? Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl?

52 Literatur Schmitt; Wohlfahrt: bsv mathematik buch 8 GN, Bayrischer Schulbuch-Verlag, 3.Auflage, 1989 Schmitt; Wohlfahrt: bsv mathematik buch 8 GN, Bayrischer Schulbuch-Verlag, 3.Auflage, (Zugriff: ) (Zugriff: ) sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/ab_ absolute_relativehaeufig.doc (Zugang :11) sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/ab_ absolute_relativehaeufig.doc (Zugang :11) bildung/schulorganisation/lehrplaene/sek1_mathematik.pdf (Zugriff: :00) bildung/schulorganisation/lehrplaene/sek1_mathematik.pdf (Zugriff: :00) berlin.de/~warmuth/Modellierung_1_08_09.pdf (Zugriff :30) berlin.de/~warmuth/Modellierung_1_08_09.pdf (Zugriff :30) ebnisraum_ereignisse_laplace.pdf (Zugriff: ) ebnisraum_ereignisse_laplace.pdf (Zugriff: )


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