Begründen und Beweisen als Aufgabe Benjamin Rudig & Sophie Winkelmann.

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1 Begründen und Beweisen als Aufgabe Benjamin Rudig & Sophie Winkelmann

2 „Muss das auch bewiesen werden? Das ist doch klar!“ a²+b²=c²

3 Übersicht Arten des Begründens Problem der Beweisbedürftigkeit Argumentationsbasis Exaktheit Proofs without words Leitideen und Kompetenzen

4 Arten des Begründens Berufung auf eine Autorität Deduktives Schließen Reduktives Schließen Induktives Schließen Analogieschlüsse, Wahrscheinlichkeitsaussagen

5 Berufung auf eine Autorität Bestätigung der Richtigkeit einer Aussage durch einen glaubwürdigen Zeugen Bsp.: -Im Fremdsprachenunterricht durch Rückgriff auf einen Muttersprachler -Im Geschichtsunterricht durch Quellen (Authentizität allerdings fraglich, evtl. Verfälschung durch Subjektivität)

6 Deduktives Schließen Anführen von Aussagen, die von B als richtig angesehen werden und deren Richtigkeit hinreichend für die Richtigkeit von a sind Bsp.: -Mathematikunterricht -Medizin (Ausschüttung von Insulin führt zu gewissen Reaktionen im Körper)

7 Reduktives Schließen Anführen von Folgerungen aus a, die von B als richtig angesehen werden, deren Richtigkeit aber nicht hinreichend für die Richtigkeit von a ist. Bsp.: -Geographie: Theorien über Erdplattenverschiebungen aufgestellt und mittels Experimenten bzw. Erdproben deren Richtigkeit überprüft

8 Induktives Schließen Anführen von Folgerungen aus a, die von B als richtig angesehen werden. Wobei man aus der Verifizierung von a an einzelnen Elementen einer Manege auf die Gültigkeit von a für alle Elemente dieser Menge schließen kann. Bsp.: -Naturwissenschaften: Erprobung einer Aussage durch Experimente

9 Analogieschlüsse, Wahrscheinlichkeitsaussagen Anführen von Aussagen, die von B als richtig angesehen werden und deren Richtigkeit in einem gewissen, nicht deduktiven Zusammenhang mit der Richtigkeit von a steht. Bsp.: -Sport: Entstehung des Muskelkaters

10 Beweisbedürftigkeit Beweisen ist charakteristisch für die Mathematik Es existiert eine falsche Vorstellung des Beweisens: Hochschulbeweise sind der Standard  zu komplex für Schule  Keine Verwendung Es gibt eine breite Palette des „Begründens“

11 Zweck des Begründens Überzeugungsfunktion: Durch den Beweis soll jemand von der Richtigkeit einer Behauptung überzeugt werden Zusammenhang stiftende Funktion: Durch den Beweis soll erkannt werden, dass etwas hergeleitet werden kann VORSICHT: Verwechslung kann zu Missverständnissen bei den Schülern führen!

12 Argumentationsbasis Definition: Eine Menge von Aussagen, die als richtig angesehen werden und Schlussweisen, die als zulässig anerkannt werden. Sie bildet das Fundament einer Argumentation  Es gibt verschiedene Arten des Beweisens, die sich jeweils auf eine bestimmte Argumentationsbasis beziehen.

13 Verschiedene Arten der Argumentationsbasis In der Höheren Mathematik an der Uni:  Sätze und Beweise Auf niedrigerer Ebene in der Schule:  Handlungen  Bilder  Realitätserfahrungen

14 Begründe:

15 Argumentationsbasen 1) Begründung: Das ist doch klar! Behauptung gehört selbst zur Argumentationsbasis 2) Alltagserfahrung als Argumentationsbasis ½ Kg Butter und ¼ Kg Butter ergeben ¾ Kg Butter

16 3) Anschauung (Tortenbild) als Begründung 4) Rechenverfahren der Bruchrechnung

17 5) Erweiterungs- und Additionsregel Und daraus folgt, dass

18 Zusammenfassung der Argumentationsbasen 1) Behauptung selbst als Bestandteil der Argumentationsbasis 2) Alltagserfahrung 3) Abbildung 4) Rechenverfahren 5) Rechenregeln Aufgabe: Ordnet eure Art der Begründung einer der angegebenen Argumentationsbasen zu!

19 Begründen im Unterricht Argumentaitonsbasis hängt von der kognitiven Struktur einer Person ab.  langfristiges Ziel des Unterrichts im Begründen: Schüler sollen 1) die Unterschiedlichkeit der Ab erkennen. 2)lernen, die Ab des Lehrers zu verstehen. Lehrer sollten auch versuchen, die von den Schülern verwendeten Ab besser zu erkennen, um die eigene verständlich machen zu können.

20 Begründen im Unterricht Bis 8. Schuljahr:  Überzeugungsfunktion soll im Vordergrund stehen  Verwickeln von Schülern in Gesprächssituationen Ab Klasse 9:  Argumentieren mit vorgegebener Ab  Schüler sollen Beweise niederschreiben

21 Exaktheit 1) Exaktheit bezieht sich immer auf eine Argumentationsbasis Abb. 1 exakter wie Abb. 2 in Bezug zur Ab „Tortenbild“ Beide Abbildungen nicht exakt in Bezug zu Ab „Regelsystem der Bruchrechnung“

22 Exaktheit 2) Exaktheit hat zu tun mit Explikation der Argumente Begründung umso exakter je detailierter die einzelnen Begründungsschritte ausgeführt werden Begründung umso exakter je deutlicher der Bezug zur Argumentationsbasis hergestellt wird

23 Begründe: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. (in 2 Exaktheitsgraden)

24 Exaktheit von Begründungen Begründung 1: Aufführen von Beispielen Begründung 2: Spielmarken zeigen die Behauptung für zweistellige Zahlen Begründung 3: Geeignete Zerlegung einiger natürlicher Zahlen  erstmals vollgültige Begründung Begründung 4: Beschreibung des o.g. Verfahrens mit Variablen  explizite Begründung für alle zwei- und dreistelligen Zahlen Begründung 5: Allgemeine explizite Begründung für alle n-stelligen Zahlen

25 Begründung 1 Bsp.: 9 teilt 36 9 teilt nicht 47 9 teilt nicht 109 9 teilt 81 9 teilt nicht 73 …

26 Begründung 2 Bsp: Die Zahl 26

27 Begründung 3 Dekadische Zahlendarstellung: Bsp.: 36 = 3 ∙ 10 + 6 = 3 ∙ 9 + 3 + 6 43 = 4 ∙ 10 + 3 = 4 ∙ 9 + 4 + 3 273 = 2 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 3 = 2 ∙ 99 + 7 ∙ 9 + 2 + 7 + 3 …

28 Begründung 4 (Dasselbe Vorgehen wie bei Begründung 3, aber verallgemeinert für zwei- bzw. dreistellige Zahlen): ZE = Z ∙ 10 + E = Z ∙ 9 + Z + E HZE = H ∙ 100 + Z ∙ 10 + E = H ∙ 99 + Z ∙ 9 + H + Z + E  Man erkennt dadurch die Richtigkeit der Behauptung.

29 Begründung 5 Beweis allgemein für n-stellige Zahlen: a n a n-1 …a 0 = a n ∙ 10 n + a n-1 ∙ 10 n-1 + … + a 0 = a n ∙(10 n -1) + a n-1 ∙(10 n-1 -1) + … + a n + a n-1 + … + a 0  Daraus folgt die Behauptung, da 10 k -1 immer durch 9 teilbar ist

30 Exaktheit Exaktheit kann in gewissen Graden vorliegen Es gibt keine oberste Exaktheit Es gibt keinen Exaktheitsgrad der für alle verbindlich ist. Man kann den jeweiligen Exaktheitsgrad selbst wählen und zwar so, dass er der jeweiligen Situation angemessen ist.

31 Beweisen in der Schule Beweisen ist auf jeder Schulart und Schulstufe möglich Beweisen sollte Alltagsgeschäft werden Beweise und Begründungen können Aufgaben angefügt werden: Ermitteln Sie eine Nullstelle der Funktion f mit f(x)=… Im Intervall [x;y] und begründe, dass die einzige Nullstelle von f in diesem Intervall ist.

32 Proofs without words

33

34 Sums of Integers

35 The Mediant Property

36 Sine of the Sum

37 Leitideen und Kompetenzen Die Beweisführung sollte in allen Bereichen der Mathematik Anwendung finden (keine spezielle Leitidee im Vordergrund) Kompetenzen: K1 (Mathematisch argumentieren) K3 (Mathematisch modellieren) K5 (mit Elementen der Mathematik umgehen) K6 (Kommunizieren)