1 Matrizenrechnung 1Einführung 2Begriff der Matrix und spezielle Matrizen 3Relationen 4Operationen 1Transponierte Matrix 2Addition (Subtraktion) 3Multiplikation.

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1 1 Matrizenrechnung 1Einführung 2Begriff der Matrix und spezielle Matrizen 3Relationen 4Operationen 1Transponierte Matrix 2Addition (Subtraktion) 3Multiplikation 5Stufenproduktion 1Problemstellung 2Gesamtbedarfsmatrix 3Gozintograph

2 2 Matrizen Beispiel: In einer Firma werden aus jeweils vier verschiedenen Farbgranulaten drei verschiedene Plastikfiguren hergestellt. Die Zusammenhänge können in einer Tabelle veranschaulicht werden: Für Figur 1 (F1) benötigt man jeweils 3g von jedem der vier Farbgranulate (G1…G4). Für die zweite Figur (F2) von den ersten beiden Granulaten jeweils 4g, von den anderen beiden jeweils 2g. Für die dritte Figur werden benötigt: vom ersten Granulat 9g, von den anderen jeweils 1g. F1F2F3 G1349 G2341 G3321 G4321

3 3 Begriff einer Matrix Oder mit mehreren linearen Gleichungen: 3·f 1 + 4·f 2 + 9·f 3 = g 1 3·f 1 + 4·f 2 + 1·f 3 = g 2 3·f 1 + 2·f 2 + 1·f 3 = g 3 3·f 1 + 2·f 2 + 1·f 3 = g 4 Wichtig ist die Position der jeweiligen Zahl: Zeile:welche Farbe wird gebraucht Spalte: für welche Figur wird der Stoff benutzt Abkürzende Schreibweise: nur die Position ist wichtig

4 4 Begriff einer Matrix Matrix: Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema, das m  n reelle Zahlen angeordnet in m Zeilen und n Spalten enthält. Name: (m,n)- Matrix bzw. Matrix vom Typ (m,n). Der 1. Index heißt Zeilenindex, der 2. Index Spaltenindex. Schreibweise: A bzw. A A = bzw. A = (a ik ) mit i=1,…,m und k=1,…n Element a ik i-te Zeilek-te Spalte 1. Index2. Index

5 5 Spezielle Matrizen  Spaltenvektor (m,1) Bezeichnung: a  Zeilenvektor(1,n)  Skalar(1,1)  Quadratische Matrix(n,n) Sprechweise: Matrix n-ter Ordnung  Nullmatrix: alle Elemente sind Nullen  Diagonalmatrix: quadratische Matrix und es gilt a ik =0 für alle i,k mit i  k  Einheitsmatrix: quadratische Matrix und es gilt a ik =0 für alle i,k mit i  k und a ii =1 für alle i Bez.: E Merke: mit a werden Spaltenvektoren bezeichnet

6 6 Spezielle Vektoren  Nullvektor : enthält nur Nullen  Einheitsvektor: enthält genau eine 1, sonst nur Nullen –es gibt m Einheitsvektoren vom Typ (m,1) (bzw. der Dimension m) –Bez.: e 1,..., e m, wobei der Index die Position der 1 angibt –Beisp. Einheitsvektor e 2 der Dimension 3:  Summierender Vektor: enthält nur Einsen

7 7 Matrizenrelationen Diese Relationensind nur definiert für Matrizen gleichen Typs (m,n) A = B genau dann, wenn a ik =b ik für alle i,k A < B genau dann, wenn a ik <b ik für alle i,k

8 8 Matrizenoperationen  Transponierte Matrix: Matrix, die entsteht, wenn die Zeilen als Spalten und die Spalten als Zeilen geschrieben werden Bezeichnung: A T A = A T = Eigenschaft: (A T ) T = A spezielle Matrix: A heißt symmetrische Matrix, falls gilt A = A T.

9 9 Matrizenoperationen  Addition (bzw. Subtraktion) von zwei Matrizen gleichen Typs (für Matrizen unterschiedlicher Typen nicht erklärt) Es werden jeweils die Elemente, die an der gleichen Position stehen, addiert (bzw. subtrahiert). A+B = A – B =

10 10 Beispiel Eine Firma hat 2 Filialen F 1,F 2, in denen jeweils 3 Produkte P 1, P 2, P 3 verkauft wurden. Die jeweiligen Verkaufszahlen liegen für das 1. und 2. Quartal des Jahres 2006 getrennt vor. 1. Quartal 2006 2. Quartal 2006 Gesucht: a) Gesamtübersicht für beide Quartale b) Beispiel für transponierte Matrix

11 11 Eigenschaften der Addition A, B, C seien Matrizen gleichen Typs und 0 die entsprechende Nullmatrix. (1)A+B = B+A(Kommutativität) (2)A+(B+C) = (A+B)+C(Assoziativität) (3) A+0 = A(neutrales Element)

12 12 Matrizenoperationen  Multiplikation mit einem Skalar c Jedes Element der Matrix wird mit dem Skalar multipliziert. c  A =  Beispiel 1. Quartal 2006 Falls der Absatz aller drei Produkte in beiden Filialen im 3. Quartal gegenüber dem 1. Quartal um 10% steigt, ergibt sich: ?

13 13 Eigenschaften der Multiplikation mit einem Skalar A, B seien Matrizen gleichen Typs, c und d reelle Zahlen (1)c  A = A  c(Kommutativität) (2)(c  d  A = c  (d  A) = d  c  A)(Assoziativität) (3)1  A = A (neutralesElement) außerdem gilt (4) A  B = A + (  B (5) c  (A+B) = c  A + c  Bund (c  d)  A = c  A + d  A(Distributivität)

14 14 Matrizenoperationen - Skalarprodukt  Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor (Skalarprodukt) Ist a T eine (1,k)-Matrix (Zeilenvektor) und ist b eine (k,1)-Matrix (Spaltenvektor), so ist deren Produkt a T · b durch erklärt. Das Ergebnis ist ein Skalar.

15 15 Matrizenoperationen - Multiplikation von Matrizen Das Produkt C = A  B der Matrizen A und B kann (in dieser Reihenfolge) gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B ist. Das Element c ij, welches in der Produktmatrix C = A  B in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte steht ergibt sich dann aus der Multiplikation der i-ten Zeile der Matrix A und der j-ten Spalte der Matrix B. Ist A eine (m,k)-Matrix und ist B eine (k,n)-Matrix, so ist folglich das Produkt C = A  B eine (m,n)-Matrix. A  B = C (m,k) · (k,n) = (m,n) =

16 16 Beispiel Matrizenmultiplikation In einem Supermarkt werden zwei verschiedene Brötchentüten angeboten: „leicht“, die 4 Weizenbrötchen und zwei Fitnessbrötchen enthält und “knackig“, mit je einem Weizen- und Fitnessbrötchen und 4 Körnerbrötchen. Für die Brötchen werden (u.a.) die Zutaten Mehl und Körner in unterschiedlichen Mengen, die der Tabelle zu entnehmen sind (Angaben in Gramm pro Stück) verwendet. Frage: Welche Zutatenmengen werden für jeweils eine Brötchentüte benötigt?

17 17 Lösung ZutatenTüteninhalt zugehörige Matrizen Ergebnis Für eine Tüte „leicht“ werden 280 g Mehl und 20 g Körner benötigt, für eine Tüte „knackig“ dagegen 250 g Mehl und 130 g Körner. Typen AB (2,3) (3,2) A·BA·B Typ (2,2)

18 18 Falksches Schema Schema zur Erleichterung der Berechnung des Produktes: Beispiel: beide Matrizen sind vom Typ (2,2)

19 19 Rechenregeln für die Multiplikation von Matrizen Wenn die entsprechenden Produkte gebildet werden können gilt: (1)(A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C(Assoziativität) (2)A  (B+C) = A  B + A  Cund (A+B)  C = A  C + B  C(Distributivität), (3)A  E = E  A = A(neutrales Element) (4)(A  B) T = B T  A T Merke: In der Regel gilt A  B  B  A !

20 20 Stufenproduktion Problemstellung: Aus mehreren Rohstoffen werden über eine oder mehrere Zwischenproduktstufen Endprodukte gefertigt. Der Zusammenhang zwischen den benötigten Rohstoffmengen und den Endproduktmengen soll mit einer Matrix beschrieben werden. Problembeschreibung: m Rohstoffe R 1,..., R m Rohstoffmengenvektor r n Zwischenprodukte Z 1,...,.Z n Zwischenproduktmengenvektor z k Endprodukte E 1,...,E k Endproduktmengenvektor x gegeben: DirektbedarfsmatrizenM RZ, M ZE, M RE M RZ gibt an, wie viele Mengeneinheiten des Rohstoffs R i für eine Mengeneinheit von Z j benötigt werden (analog Erklärung von M ZE und M RE )

21 21 Stufenproduktion ZwischenprodukteEndprodukteRohstoffe M RZ M ZE M RE Ergebnis M Gesamtbedarfsmatrix (voller spezifischer Aufwand) gibt an, wie viele Mengeneinheiten des Rohstoffs R i für eine Mengeneinheit des Endprodukts E j benötigt werden M = M RZ · M ZE + M RE Zusammenhang r = M · x Rohstoffmengenvektor = Gesamtbedarfsmatrix · Endproduktmengenvektor Typen (m,1) (m,k) (k,1)

22 22 Gozintograph (the part that goes into) Materialflussgrafik: grafische Darstellung der Informationen aus den Direktbedarfsmatrizen Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 E1E1 E2E2 R1R1 R2R2 1 3 4 2 5 3 2 1 3 2 1 2 2 M RZ M ZE M RE

23 23 Aufgabe Welche Menge an Rohstoffen wird benötigt, um 100 Mengenein- heiten von E 1 und 150 Mengeneinheiten von E 2 herzustellen? Lösung: Ergebnis: Es werden 3550 ME von R 1 und 5200 ME von R 2 benötigt. r = M · x = (M RZ · M ZE + M RE )·x

24 24 Umkehraufgabe Ansatz: gegeben ist r gesucht ist x Lösung möglich mit Hilfe der inversen Matrix M -1 Welche Menge an Endprodukten kann hergestellt werden, wenn 414 Mengeneinheiten von R 1 und 552 Mengeneinheiten von R 2 vorhanden sind? r = M · x

25 25 Inverse Matrix A sei eine quadratische Matrix. Falls eine quadratische Matrix X mit der Eigenschaft A  X = X  A = E existiert, so heißt X inverse Matrix zu A, und wird mit A -1 bezeichnet. Eine quadratische Matrix A, zu der die inverse Matrix A -1 existiert heißt regulär bzw. invertierbar. Existiert zu A keine inverse Matrix, so heißt A singulär bzw. nicht invertierbar.

26 26 Rechenregeln für inverse Matrizen Sind A und B reguläre Matrizen so gilt: (1) die Matrix A -1 ist quadratisch und hat den gleichen Typ wie die Matrix A (2)A  A -1 = A -1  A = E (3)(A -1 ) -1 = A (4)(A T ) -1 = (A -1 ) T (5)(A  B) -1 = B -1  A -1 Berechnung der inversen Matrix Ist A = eine (2,2)-Matrix, so ist A -1 = Anderenfalls erfolgt die Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe des Austauschverfahrens (kommt später).

27 27 Umkehraufgabe Lösung: Ergebnis: Es können 16 ME von E 1 und 10 ME von E 2 hergestellt werden. Frage: Was passiert, wenn aus 3 Rohstoffen zwei Endprodukte hergestellt werden? x = M -1 · r Welche Menge an Endprodukten kann hergestellt werden, wenn 414 Mengeneinheiten von R 1 und 552 Mengenein- heiten von R 2 vorhanden sind?