Eine Einführung in unscharfe Logik

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1 Eine Einführung in unscharfe Logik
Fuzzy-Logik Eine Einführung in unscharfe Logik Nils Becker, November 2012

2 Inhalt Idee Unscharfe Mengen Entscheidungsfindung Abschluss
Fuzzifizierung Regeln Inferenzoperationen Defuzzifizierung Abschluss

3 Idee 1965: Theorie der unscharfen Mengen, Prof. Lotfi Zadeh, Berkeley
Klassische Mengenlehre bildet menschliche Sprache schlecht ab „Temperatur ist relativ hoch“

4 Beispiel: Große Menschen Unscharfe Mengen

5 Beispiel: Große Menschen – klassische Mengenlehre Unscharfe Mengen
nicht große Menschen große Menschen 1,58m 1,75m 1,80m 1,81m 1,85m 1,95m >1,80m

6 Beispiel: Große Menschen – unscharfe Mengenlehre Unscharfe Mengen
eher groß μ kaum groß 1 0,35 0,85 1 1 1 0,5 1,58m 1,75m 1,80m 1,82m 1,85m 1,95m

7 Definition Unscharfe Mengen
Zugehörigkeitsgrad μ: ( Elemente gehören zu gewissem Grad zur Menge μteuer(Porsche 911) = 0.99 = 99% μteuer(VW Polo) = 0.10 = 10% Zugehörigkeitsfunktion: Definiert Zugehörigkeitsgrad Wir verwenden normalisierte Mengen: Zugehoerigkeitsgrad von 0 bis 1 0,5 1 μ G

8 Darstellungsformen (1) Unscharfe Mengen
Geordnete Paare Grafisch (Kurvenform) Grund-menge 𝐴= 𝑥1,μ1 , 𝑥1,μ1 , … ∀x∈𝐺 0,5 1 μ G μ(xi) xi A

9 Darstellungsformen (2) Unscharfe Mengen
0,5 1 μ G A B μA(xi) μB(xi) xi

10 Darstellungsformen (3) – Venn-Diagramm Unscharfe Mengen
μ(x) = 1 G μ(x) > 0 & μ(x) < 1

11 Darstellungsformen (3) – Venn-Diagramm Unscharfe Mengen
Xi mit μA(Xi) = 1 & μB(Xi) > 0 μA(x) = 1 μB(x) = 1 G μA(x) > 0 & μA (x) < 1 μB(x) > 0 & μB (x) < 1

12 Unscharfe Mengen - Mengenoperationen Vereinigung
𝐴∪𝐵= 𝑥;µ𝐴∪𝐵 𝑥 µ𝐴∪𝐵 𝑥 >0} ∀𝑥∈𝐺 𝑚𝑖𝑡 µ𝐴∪𝐵 𝑥 ≔ max µ𝐴 𝑥 ;µ𝐵 𝑥 ∀𝑥∈𝐺 Beispiel x µ𝐴(𝑥) µB(𝑥) µA∪B(x) a 0,7 b 1 c 0,3 0,6 d 0,2 e f 0,5

13 Unscharfe Mengen - Mengenoperationen Schnittmenge
𝐴∩𝐵= 𝑥;µ𝐴∩𝐵 𝑥 µ𝐴∩𝐵 𝑥 >0} ∀𝑥∈𝐺 𝑚𝑖𝑡 µ𝐴∩𝐵 𝑥 ≔ min µ𝐴 𝑥 ;µ𝐵 𝑥 ∀𝑥∈𝐺 Beispiel x µ𝐴(𝑥) µB(𝑥) µA∪B(x) a 0,7 b 1 c 0,3 0,6 d 0,2 e f 0,5

14 Unscharfe Mengen - Mengenoperationen Komplement
Wichtig: ∀ schließt auch 𝑥 mit µ𝐴 𝑥 = 0 ein ¬𝐴= 𝑥;µ¬𝐴 𝑥 ∀𝑥∈𝐺 𝑚𝑖𝑡µ¬𝐴 𝑥 ≔ 1− µ𝐴 𝑥 ∀𝑥∈𝐺 Beispiel x µ𝐴(𝑥) µA (𝑥) a 1 b c 0,3 0,7 d 0,2 0,8 e f 0,5

15 Unscharfe Mengen - Mengenoperationen Eigenschaften
Distributivgesetze sind erfüllt, d.h. es gilt: Theorem von De Morgan ist erfüllt: 𝐴∩ 𝐵∪𝐶 =(𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶) 𝐴∪ 𝐵∩𝐶 =(𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶) ¬(𝐴∪𝐵)=¬𝐴∩¬𝐵 ¬(𝐴∩𝐵)=¬𝐴∪¬𝐵 Beweise u.a.: „Einführung in die Fuzzy-Logik“, Dirk H. Traeger, 1994, S.18ff

16 Unscharfe Mengen – Logische Operatoren Und-Operator
Minimum-Operator (=== Schnittmenge) 𝜇𝐴 𝑈𝑁𝐷𝜇B = min(𝜇𝐴 x ;𝜇𝐵 x ) Produkt-Operator 𝜇𝐴 𝑈𝑁𝐷𝜇B = 𝜇𝐴 x ∗𝜇𝐵 x Summe größer 1 𝜇𝐴 𝑈𝑁𝐷𝜇B = max(0; 𝜇𝐴 x +𝜇𝐵 x −1)

17 Unscharfe Mengen – Logische Operatoren Und-Operator (Beispiel)
x µ𝐴(𝑥) µB(𝑥) Minimum Produkt > 1 a 0,7 b 1 c 0,3 0,6 0,18 d 0,4 0,28 0,1 e 0,2 f 0,5

18 Unscharfe Mengen – Logische Operatoren Oder-Operator
Maximum-Operator (=== Vereinigung) 𝜇𝐴 𝑂𝐷𝐸𝑅𝜇B = max(𝜇𝐴 x ;𝜇𝐵 x ) Summe - Produkt 𝜇𝐴 𝑂𝐷𝐸𝑅 𝜇B =𝜇𝐴 x +𝜇𝐵 x −𝜇𝐴 x ∗𝜇𝐵 x Summe (max. 1) 𝜇𝐴 𝑂𝐷𝐸𝑅 𝜇B = min(1; 𝜇𝐴 x +𝜇𝐵 x )

19 Unscharfe Mengen – Logische Operatoren Oder-Operator (Beispiel)
x µ𝐴(𝑥) µB(𝑥) Maximum Summe –Produkt Summe (max. 1) a 0,7 b 1 c 0,3 0,6 0,72 0,9 d 0,4 0,82 e 0,2 f 0,5

20 Unscharfe Mengen – Kompensatorische Operatoren Gamma-Operator
𝜇 𝐴𝛾𝐵 (𝑥)=( 𝜇 𝐴 (𝑥) ∗𝜇 𝐵 (𝑥)) 1−𝛾 ∗ (1−(1− 𝜇 𝐴 𝑥 )∗(1− 𝜇 𝐴 𝑥 )) 𝛾 UND γ=0 Keine Kompensation ODER γ=1 Volle Kompensation SUV Sportwagen Oldtimer Dunkel 1 0,5 Schnell 0,4 0,1 Sparsam 0,7 0,3 UND γ = 0,5 0,52 170km/h 230km/h 130km/h

21 Fuzzy-Logik

22 Fuzzy-Logik Übersicht
Input Fuzzifizierung Regeln erstellen Inferenz Defuzzifizierung Output

23 Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung Ein-und Ausgangsvariablen
Beispiel: Automatisches Bremssystem Eingangsvariablen Geschwindigkeit (km/h) Abstand (m) Ausgangsvariable Bremsdruck (bar)

24 Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung Linguistische Variable: Geschwindigkeit
Wertebereich: 0 – 240km/h Linguistische Terme/Fuzzy Sets: Sehr niedrig Niedrig Mittel Hoch Sehr hoch

25 Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung Fuzzy-Sets: Geschwindigkeit

26 Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung Linguistische Variable: Abstand
Wertebereich: 0 – 300m Linguistische Terme/Fuzzy Sets: klein mittel groß

27 Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung Fuzzy-Sets: Abstand

28 Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung Linguistische Variable: Bremsdruck
Wertebereich: 0 – 3bar Linguistische Terme/Fuzzy Sets: Sehr schwach Schwach Mittel Stark Sehr stark

29 Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung Fuzzy-Sets: Bremsdruck

30 Fuzzy-Logik Regeln erstellen
WENN Geschwindigkeit „sehr niedrig“ ODER Abstand „groß“ DANN bremse „sehr schwach“ WENN Geschwindigkeit „hoch“ UND Abstand „mittel“ DANN bremse „stark“ … Regeln meist intuitiv basierend auf Erfahrung Experte mit Erfahrung notwendig

31 Fuzzy-Logik: Regeln erstellen Regelmatrix
Abstand/ Geschwindigkeit Klein Mittel Groß Sehr niedrig UND bremse schwach … ODER bremse sehr schwach Niedrig UND bremse mittel Hoch UND bremse stark Sehr hoch ODER bremse sehr stark

32 Fuzzy-Logik Regel auswählen
Beispiel: Geschwindigkeit: 90km/h Abstand: 100m 90km/h 100m μ niedrig(90km/h) = 0,75 μ mittel(90km/h) = 0,25 μ klein(100m) = 0,67 μ mittel(100m) = 0,33

33 Fuzzy-Logik: Regeln erstellen Regelmatrix
Abstand/ Geschwindigkeit Klein Mittel Groß Sehr niedrig UND bremse schwach … ODER bremse sehr schwach Niedrig UND bremse mittel Hoch UND bremse stark Sehr hoch ODER bremse sehr stark 1 2 3 4 5 6 1 fliegt raus, da UND-verknuepft 4,5,7,8 da beides zutrifft! 13 da ODER-verknuepft Naechste Folie An der Tafel vorrechnen 7 8 9 10 11 12 13 14 15

34 Fuzzy-Logik Inferenz: Max/Min-Inferenz
Regel 5: Regel 8: Regel 13: 𝜇 𝑠𝑐ℎ𝑤𝑎𝑐ℎ 𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 = min 𝜇 𝑛𝑖𝑒𝑑𝑟𝑖𝑔 90𝑘𝑚 ℎ , 𝜇 𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 100𝑚 =min 0.75, =0.33 𝜇 𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 = min 𝜇 𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 90𝑘𝑚 ℎ , 𝜇 𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 100𝑚 =min 0.25, =0.25 𝜇 𝑠𝑒ℎ𝑟_𝑠𝑡𝑎𝑟𝑘 𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 = m𝑎𝑥 𝜇 𝑠𝑒ℎ𝑟_ℎ𝑜𝑐ℎ 90𝑘𝑚 ℎ , 𝜇 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛 100𝑚 =max 0, =0.67

35 Fuzzy-Logik: Einschub Inferenzmethoden
Max/Min-Inferenz ODER = Minimum; UND = Maximum Max/Prod-Inferenz: ODER = Summe – Produkt; UND = Produkt Inferenz beschreibt in der Linguistik wie in der Logik eine Schlussfolgerung.

36 Fuzzy-Logik Defuzzifizierung: Flächenschwerpunkt
Bremsdruck: 2 bar

37 Fuzzy-Logik Defuzzifizierung: Flächenschwerpunkt
𝐴= 𝑖=1 𝑁−1 𝑦 𝑖 + 𝑦 𝑖+1 ∗ 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖+1 𝑥 𝑠 = 1 6𝐴 𝑖=1 𝑁−1 𝑥 𝑖 + 𝑥 𝑖+1 ∗ 𝑥 𝑖 ∗ 𝑦 𝑖+1 − 𝑥 𝑖+1 ∗ 𝑦 𝑖 Fuer ys einfach im vordereren Teil x und y vertauschen (xi+xi+1) -> (yi+yi+1) (xi, yi) sind die Koordinaten welche das Polygon beschreiben

38 Fuzzy-Logik: Defuzzifizierungsalternative Defuzzifizierung: Singleton

39 Fuzzy-Logik: Defuzzifizierungsalternative Defuzzifizierung: Singleton am Beispiel
Ein gewichteter Mittelwert 𝑋 𝐿 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 ∗ 𝜇 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝜇 𝑖 = 1∗0,33+1.5∗0,25+3∗0,67 0,33+0,25+0,67 ≈2,2 Bremsdruck: 2,2 bar

40 Fuzzy-Logik Defuzzifizierungsmethoden
Flächenschwerpunkt Rechenaufwendig häufig gutes Ergebnis Singleton sehr einfach häufig ausreichendes Ergebnis

41 Hilfsmittel, Anwendung, Literatur

42 Tools jFuzzyLogic Viele andere Tools sind veraltet Verwendet FCL
Eclipse-Plugin Bibliotheks- funktion Viele andere Tools sind veraltet Fuzzy Control Language (IEC Standard)

43 Anwendung Bildverarbeitung: Bildstabilisierung
Steuerung/Überwachung von Industrieanlagen Robotik Expertensysteme

44 Vor- und Nachteile Vorteile Nachteile Nah an der menschlichen Sprache
Nachvollziehbarkeit und Wartbarkeit Formulierung von Regeln ist einfach Hardwareumsetzung Nachteile Nicht lernfähig Expertenwissen muss vorhanden sein Wahl der besten Methode schwierig (z.B. Defuzzifizierung)

45 Literatur und Websites
Einführung in die Fuzzy-Logik, Traeger Neuronale Netze & Fuzzy-Logik, Seraphin Fuzzy Logic, Müller, Grundlagen der Fuzzy-Logik, Reinarz, Diese Präsentation: (bald verfügbar)

46 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

47 Bildquellen Foto Zadeh:
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