Gedämpfte harmonische Schwingungen

Präsentation zum Thema: "Gedämpfte harmonische Schwingungen"—  Präsentation transkript:

1 Gedämpfte harmonische Schwingungen

2 Gedämpfte harmonische Schwingungen
ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt

3 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt

4 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt

5 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m

6 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m

7 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds + 2d w02s = 0 dt2 dt

8 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt

9 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante exponentiell abnehmende Amplitude 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt

10 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

11 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt

12 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt

13 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt ^ ^ d2e-dt s coswdt + dwde-dt s sinwdt +

14 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt ^ ^ ^ ^ d2e-dt s coswdt + dwde-dt s sinwdt + dwde-dt s sinwdt - wd2e-dt s coswdt

15 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt ^ ^ ^ ^ d2e-dt s coswdt + dwde-dt s sinwdt + dwde-dt s sinwdt - wd2e-dt s coswdt

16 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ -2d2e-dt s coswdt ^ ^ d2e-dt s coswdt - wd2e-dt s coswdt

17 Gedämpfte harmonische Schwingungen
= v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 w02 -2d2 d wd2

18 d < w0: schwache Dämpfung wd reell
^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

19 d < w0: schwache Dämpfung wd reell
d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

20 d < w0: schwache Dämpfung wd reell
d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 d > w0: starke Dämpfung wd imaginär ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

21 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

22 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

23 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

24 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. s t ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

25 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt s t ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

26 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

27 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

28 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.

29 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. b = 2md = 2mL/Td

30 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. b = 2md = 2mL/Td w0 = wd2 + d2 = D/m

31 d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. b = 2md = 2mL/Td 4p2 + L2 Þ D = m w0 = wd2 + d2 = D/m Td2

32 d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0

33 d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0
einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s

34 d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0
einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s Anwendung: Vermeidung von Schwingungen

35 d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0
einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s Anwendung: Vermeidung von Schwingungen d > w0: starke Dämpfung (Kriechfall) wd imaginär Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands.

36 d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0
einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s Anwendung: Vermeidung von Schwingungen d > w0: starke Dämpfung (Kriechfall) wd imaginär Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands. Wegen der formalen Analogie zur schwach gedämpften Schwingung spricht man jedoch auch hier von einer (stark) gedämpften Schwingung.

37 [2.20] Ein gedämpft schwingendes Federpendel mit der Federkonstante D = 1 N/m erreicht nacheinander die Amplituden 1,000 Skalenteile; 0,368 Skt; 0,135 Skt; ? Skt. Die Schwingungsdauer Td beträgt 1,00 s. Wie groß ist die Dämpfungskonstante b?

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