1924: De Broglie Wellenlänge eines Teilchens:  = h/p = h/ 2m0Ekin

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1 1924: De Broglie Wellenlänge eines Teilchens:  = h/p = h/ 2m0Ekin
Ergänzungen auf Fragen nach der letzten Stunde: 8 Teilchen als Wellen 1924: De Broglie Wellenlänge eines Teilchens:  = h/p = h/ 2m0Ekin Beispiel 1: 100 g Ball, 100 km/h 2*10-34 m Beispiel 2: Elektron 100eV 1.2*10-10 m vgl: Atom m, Kern 10-15m

2 Doppelspalt: Was passiert, wenn man eine Seite zuhält?

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4 Schliesse 1 Schlitz NACHDEM das Teilchen emittiert wurde:
Doppelspalt: Was passiert, wenn man eine Seite zuhält? Schliesse 1 Schlitz NACHDEM das Teilchen emittiert wurde:

5 Delayed Choice: Interferenz z.B. Auslöschung

6 Schalte Spiegel aus NACHDEM der Puls durch den Teiler ist
Delayed Choice: Schalte Spiegel aus NACHDEM der Puls durch den Teiler ist Keine Interferenz!

7 Was passiert wenn die Teilchen die Grösse der Schlitze haben?
Auch für Wasserwellen ist die Überlagerung 2er Kugelwellen eine Idealisierung. Details hängen von der Form der Schlitze ab. Reibung, Viskosität, Wirbel etc spielen eine Rolle!

8 Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle Einhüllende hängt von Stegbreite und Schlitzbreite ab.

9 Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle Einhüllende hängt von Stegbreite und Schlitzbreite ab. Toennies & Grisenti

10 Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle Einhüllende hängt von Stegbreite und Schlitzbreite ab. Toennies & Grisenti

11 Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle Helium Molekül: 50 Angstrom, 10-7 eV Effektive Schlitzbreite hängt von Teilchendurchmesser ab! Toennies & Grisenti

12 9. Heisenbergsche Unschärfe
Heisenbergsche Unschärferelation x px  ħ Ort und Impuls eines Teilchens können nicht genauer bestimmt werden Gute Ortsauflösung= kurze Wellenlänge= hoher Impuls P= h  / c Die Messung des Ortes erfordert Streuung von Licht, dadurch ist der Impuls nach der Messung geändert Es gibt keine Wechselwirkungfreie Beobachtung

13 Heisenbergsche Unschärferelation x px  ħ
Ort und Impuls eines Teilchens können nicht genauer bestimmt werden Der Meßprozeß ändert den Zustand des zu messenden Objektes! Präzise Impulsmessung Präzise Ortsmessung benötigt grossen Impulstransfer! Objekt in unbekanntem Zustand Objekt wieder in unbekanntem Impulszustand Ort bekannt Ort unbekannt, Impuls bekannt

14 Heisenbergsche Unschärferelation x px  ħ
Ort und Impuls eines Teilchens können nicht genauer bestimmt werden Der Meßprozeß ändert den Zustand des zu messenden Objektes! Die Wechselwirkung kann nicht beliebig klein sein! (gequantelt!) Theorie die nicht Aussage über die Welt an sich macht, sondern nur über mögliche Meßgrössen

15 Klassische Bahn eines Teilchen QM
Impuls ist NICHT dx/dt Da wenn x scharf p unscharf Vorhersage unscharf Zeit Ort x Px=mdx/dt Zeit Ort x Punkt im Phasenraum zu einem Zeitpunkt Impuls px Ort x Impuls px Ort x t als Parameter t1 t2 t3 x px  ħ

16 unbekanntem Impulszustand
Impuls px Ort x x px  ħ Impuls px Ort x x px  ħ Präzise Impulsmessung Präzise Ortsmessung benötigt grossen Impulstransfer! Objekt in unbekanntem Zustand Objekt wieder unbekanntem Impulszustand Ort bekannt Ort unbekannt, Impuls unbekannt

17 Wellenfunktion: Licht: E=h P= h  / c Materie: E= h = ħ 
p= h/ = ħ k k=2/  Ebene Welle: A(x,t) = A0 cos(kx - t)

18 Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k
Wellenfunktion: Licht: E=h P= h  / c Materie: E= h = ħ  p= h/ = ħ k k=2/  Ebene Welle: Impuls px Ort x x px  ħ A(x,t) = A0 cos(kx - t) x px  ħ Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k Völlig delokalisiert (unendlich ausgedehnt)

19 Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k
Wellenfunktion: Ebene Welle: A(x,t) = A0 cos(kx - t) Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k Fourieranalyse: Aufbau aus harmonischen Schwingungen

20 Beispiel: Schiefer Wurf
 = h/p = h/ 2m0Ekin Quantemechanische Teilchen x px  ħ „Wellenpaket“ Klassiche Bahn Impuls px Ort x x px  ħ Ortsunschärfe Impuls: Wellenlänge Unschärfe: verschiedene Wellenlängen

21 Beispiel: Schiefer Wurf
 = h/p = h/ 2m0Ekin Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt) Ausgedehnter: auseinandergelaufen

22 Beispiel: Schiefer Wurf
 = h/p = h/ 2m0Ekin Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt) Ausgedehnter: auseinandergelaufen Siehe movie auf

23 Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden
Doppelspalt: Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden ORT: dargestellt Impuls: nicht zu sehen Impuls px Ort x x px  ħ Gausssche Wellenpaket Gaussverteilung im Ort Impuls Movie auf

24 Impuls: in der Wellenlänge
Doppelspalt: ORT: dargestellt Impuls: in der Wellenlänge Amplitude:Farbsättigung Movie auf Impuls px Ort x x px  ħ

25 Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls x px  ħ Konsequenz: x Potentielle Energie Klassisch: Oszillation zwischen Potentieller und kinetischer Energie

26 Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls x px  ħ Konsequenz: x Potentielle Energie Klassisch: ein Teilchen kann in Ruhe am Boden sitzen

27 Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls x px  ħ Konsequenz: QM: In einem Potentialtopf gibts immer eine „Nullpunkts- schwingung“ x Potentielle Energie x px

28 Heisenbergsche Unschärfe Relation
Kugel 10g auf 1m x px  ħ ħ = kg m2/sec 10-26 m/sec x Potentielle Energie x px

29 Heisenbergsche Unschärfe Relation
x px  ħ ħ = kg m2/sec Elektronen im Atom: Radius: 10-10m Elektronenimpuls>10-24 kg m/sec me= kg -> m/sec

30 Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls x px  ħ t E  ħ Energie/Zeit Folgen: Monochromatisches Licht kann nicht sehr kurz sein Ein kurzlebiger Zustand hat keine scharfe Energie Nur stabile Zustände (Bohrmodel) haben scharfe Energie Energieerhaltung? kann kurzzeitig verletzt sein! Gilt streng im Einzelprozess, aber nicht in beliebig kurzen Zeitintervallen.

31 Beispiel 1: t E  ħ

32 Energieerhaltung gilt für Zwischenschritte nur innerhalb t E  ħ
Beispiel 1: t E  ħ Klassische Mechanik Quantenmechanik Energieerhaltung gilt für Zwischenschritte nur innerhalb t E  ħ Energieerhaltung gilt für jeden Zwischenschritt

33 Kurze Lichtpulse sind breitbandig: t E  ħ = 6.58*10-16 eVs
Beispiel 2: t E  ħ Kurze Lichtpulse sind breitbandig: t E  ħ = 6.58*10-16 eVs Ephoton= h  langer sinus: scharfe Energie Kurzer Laserpuls Überlagerung von ebenen Wellen Bsp: 5*10-15 sec (femto) 0.1 eV (von z.B. 1,5 eV)

34 Teilchen durch Wellen beschrieben (de Broglie)
Die Wellen interferieren Amplitudenquadrat ist Wahrscheinlichkeit Unschärfe von Ort & Impuls, Energie & Zeit Ebene Wellen: Impuls aber kein Ort Teilchenanschauung: Wellenpaket

35 9. Heisenbergsche Unschärferelation
10. Das Bohrsche Atommodell 10.1. Diskrete Spektren Schwarzer Strahler

36 9. Heisenbergsche Unschärferelation
10. Das Bohrsche Atommodell 10.1. Diskrete Spektren Wasserstoff Absorbtionsspektrum Absorbtionsspektren Wasserstoff Gas

37 a) Absorbtionsspektren
9. Heisenbergsche Unschärferelation 10. Das Bohrsche Atommodell 10.1. Diskrete Spektren Helium a) Absorbtionsspektren b) Emissionsspektren

38 Wasserstoff Emissionsspektrum
Wellenlänge nm

39 Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden
Spektralanalyse Kirchhoff und Bunsen: Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden

40 1853 von Anders Jonas Angström entdeckt
H 1853 von Anders Jonas Angström entdeckt H 1 Å = m

41 Rydbergkonstante cm-1 infrarot ganze Zahlen sichtbar Lyman n1=1 Balmer n1=2 Paschen n1=3 ultaviolett

42 Coulomb Anziehung Z=1, e-
9. Heisenbergsche Unschärferelation 10. Das Bohrsche Atommodell 10.1. Diskrete Spektren 10.2. Die Bohrschen Postulate Wie Rutherford Elektronen auf Kreisbahnen Coulomb Anziehung Z=1, e- Zentrifugalkraft: mer2

43 Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn:
E = Ekin + Epot Energy r Epot negativ Energie die frei wird wenn Elektron von unendlich zum Radius r gebracht wird.

44 Widerspruch zur klassichen
Mechanik & Maxwellgleichungen: Bewegte Ladung strahlt Energie ab, Elektron stürzt in Kern! Strahlung ist nicht quantisiert keine diskreten Linien!

45 Bohrsche Postulate (Niels Bohr 1913)
Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen Die Bewegung ist strahlungsfrei Der Drehimpuls der Bahnen ist quantisiert l=n ħ n rn (Historisch nicht korrekt) Ry = Rydbergkonstante (Ionisierungsenergie n=1) cm-1

46 Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms En=1= 13.59 eV
Einige Zahlenwerte: Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms En=1= eV Radius des Wasserstoffatoms rn=1= m Z2 !! dh. Uran 115 keV Heisenbergsche Unschärfe x px  ħ

47 10.3 Rydberg Atome

48 0.01 mm wurde wirkliche erreicht!
10.3 Rydberg Atome : n=10 000 Radius = 0.6 mm En=10 000= eV 0.01 mm wurde wirkliche erreicht! Rydberg Atome Heisenbergsche Unschärfe x px  ħ n ! 1 Übergang zu klassischer Bahn (Bohrsches Korrespondezprinzip) rn  n2 vn  1/n

49 Lebensdauer steigt E3