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Präsentation zum Thema: "Gewünschte Folien-Nr. anklicken!"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher * Einführung: ... mit uns können Sie rechnen! * Immer bei einem Maus-KLICK  nächster Entwicklungsschritt Lernen ist mehr als nur verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal reinschaust! 24 Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. © Gernot Mühlbacher

1 Gewünschte Folien-Nr. anklicken!
Stichwortverzeichnis 1 führt immer zum 24/25 Lernen ist mehr als Verstehen … als Wegweiser Folie Nr.: Addition v. Potenzen 6, 7 Identische Potenzen Basis einer Potenz 3, 13 Koeffizienten Bewusstsein 25 Kehrwert einer Potenz 15, 22 Dividieren v. Potenzen Vorrangregel 11 Längenmaße (erste Potenz) 8 Dritte Potenz Lernen / Lernvorgang 24, 25 Punktrechnung 10, 22 Exponent einer Potenz 3, 13-15 Multiplikation einer Potenz 9 Raummaße (dritte Potenz) Erweiterungen des Potenzbegriffes 13, 14, 15, 23 Mal-Operator 10 Rechenoperationen 5 Erste Potenz Natürliche Zahl ℕ bzw. ℕ0 16 Subtraktion v. Pot. Vorrangregel 6, 7, Flächenmaß Potenzbegriff Strichrechnung Grundrechenarten 2 Potenzwert Ganze Zahlen ℤ 15, 16 Potenzen potenzieren 19 Vorzahlen (Koeffizienten) Hochzahl Potenzregeln 21 Zweite Potenz Zweierpotenz 8, 9 ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Gewünschte Folien-Nr. anklicken!

2 3 2 Die Grundrechenarten ………. ? ? ? ? ? ? ? ? ?
… eigentlich nichts überraschend Neues Schon im frühen Kindesalter entsteht ein Gespür für Mengen und deren Mächtigkeit. 3 Bald rechnet das Kind auch damit: „zwei Holzklötze“ , „drei Äpfel“ 2 „Ein Klötzchen und noch ein Klötzchen“. „1 Apfel und zwei Äpfel“. Es entdeckt zwei Arten, damit umzugehen: Das ‚Zusammenzählen‘ und das ‚Wegnehmen‘. Zahlzeichen (Ziffern) werden zugeordnet. Umkehrung: Spätestens die Grundschule ordnet das Ganze. begrifflich: „Addition“ „Subtraktion“ Zwei Grundrechenarten: schriftlich: = 3 = 1 Ein Sonderfall taucht auf : Viele gleiche Zahlen sollen addiert werden. z.B.: = Die Multiplikation ist definiert als mehrfache Addition immer gleicher Zahlen. Die mehrfache Addition gleicher Summanden führt zur Multiplikation (und ihrer Umkehrung): Eine verkürzte Schreibweise macht Sinn. Umkehrung: begrifflich: „Multiplikation“ „Division“ schriftlich: 8 • 3 = 24 24 : 8 = 3 Verkürzte Schreibweise für diesen Sonderfall: Kannst du dir vorstellen, dass bei der Multiplikation wiederum ein solcher Sonderfall auftreten kann? Der 1. Faktor (Multiplikator) 8 gibt an, wie oft der 2. Faktor (Multiplikand) 3 als Summand hingeschrieben (oder gedacht) werden sollte. Der zugehörige Rechenbefehl ist das Mahlzeichen •. Schreibe ein Beispiel für einen solchen Sonderfall auf deinen Block ! Dann KLICK! 1

3 10 Potenz 5 = 100000 Basis ? ? ? ? ? ? ? ? ? Potenzwert Hochzahl oder
… eigentlich nichts wirklich Neues Mehrere (viele) gleiche Zahlen sollen mit einander multipliziert werden. z.B.: 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = Potenz Eine verkürzte Schreibweise ist dringend notwendig: Potenzieren: Mehrfache Multiplikation mit immer gleichen Faktoren. Die mehrfache Multiplikation immer gleicher Faktoren führt zum Potenzieren: Hochzahl oder Exponent 10 5 Gesprochen: „Zehn hoch fünf“ = Die Berechnung von ‚Zehnerpotenzen‘ ist ja leicht! Kennst du das ‚Rezept‘? Bei den anderen Potenzen hilft nur das Ausmultiplizieren. Notiere den Wert der Potenz! Basis Potenzwert Präge dir alle Fachbegriffe ein! Zur Kontrolle Links-KLICK! Lass dir unbedingt zeigen, wie das an deinem Taschenrechner und auch bei Computer-Eingaben zügig funktioniert! Kleinere Potenzen berechnet man im Kopf! Wie bezeichnet man die verwendeten Zahlen? Bringe die neue Schreibweise auf deinen Block und schreibe die entsprechenden Fachbegriffe daneben! Training: Schreibe ohne langes Zögern den Potenzwert folgender Zehnerpotenzen auf deinen Block! 104 = 103 = 102 = 101 = Forsche ggf. in deinem Buch oder im Internet! Zum Nachprüfen  KLICK! 104 = 10000 103 = 1000 102 = 100 101 = 10 Berechne im Kopf! Dann KLICK! 24 = 33 = 112 = 41 = 24 = 16 33 = 27 92 = 81 41 = 4 Eine Zahl hoch 1 ergibt immer die Zahl selbst. Z.B.: 61 = 6 Bleibt die interessante Frage: „Was ist der Potenzwert irgend einer Zahl hoch Null? Z.B.: 60 1

4 Das Schätzen von Potenzwerten
21 2 2∙2 22 2∙2 ∙2 23 24 25 26 28 27 Stelle dir ein Schachbrett vor! Es hat 64 quadratische Felder. Wir stellen damit (in Abwandlung des berühmten „Schachbretträtsels“) ein Gedankenexperiment an: Unter dem Stichwort „Reiskornparabel“ findest du bei YouTube eine Geschichte, die sich rund um die Erfindung des Schachspiels rankt. Sehr interessant! Da kannst du erfahren, wie sich die Potenzwerte entwickeln, wenn bei gleich bleibender Basis die Hochzahlen ansteigen. Wir verändern diese Geschichte etwas, so dass sie für unsere Ziele dienlicher ist. Wir sollten ehrlich sein: Wenn die Hochzahlen über 10 hinausgehen, dann haben wir beim Schätzen keine wirkliche Chance, treffende Ergebnisse vorzulegen. Die Werte wachsen unglaublich schnell an. Bei unseren Aufgabenstellungen konnten wir die richtigen Ergebnisse nur liefern, solange wir Berechnungen anstellten. Beim richtigen „Schachbretträtsel“ ist die Zahl der Reiskörner auf dem 64. Feld etwa um die Hälfte kleiner, denn dort beginnt die Geschichte mit nur einem Reiskorn. Stelle dir vor, in welch atem-beraubendem Tempo die Potenz-werte anwachsen, wenn wir mit größeren Basiswerten arbeiten als mit der Zahl 2. Ermittle nur mal die Potenzwerte von 31 bis 310 und vergleiche dann! 29 210 212 214 216 211 213 215 Oben links auf das erste Feld legen wir zwei Reiskörner. 220 221 222 224 223 218 217 219 Rechts davon legen wir doppelt so viele. Bei jedem folgenden Feld verdoppeln wir wieder. usw. 225 226 228 230 232 227 229 231 Schreibe für das zweite bis achte Feld die Anzahl der Reiskörner jeweils als Produkt! Kontrolle: KLICK! 236 237 2388 240 239 234 233 235 Beim vierten Feld herrscht auf unserem Bild schon Platzmangel beim Eintragen des Produktes 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ! 241 242 244 246 248 243 245 247 Schreibe deshalb für das erste bis achte Feld die Anzahl der Reiskörner jeweils als Potenz! Kontrolle: KLICK! 252 253 2548 256 255 250 249 251 Berechne die Potenzwerte! Kontrolle: KLICK! 257 258 260 262 264 259 261 263 Schätze mal: Auf welchem Feld (3,5 cm X 3,5 cm) hätten die Reiskörner in einer Schicht neben einander liegend nicht mehr Platz? Feld 1 Feld 2 Feld 3 Feld 4 Feld 5 Feld 6 Feld 7 Feld 8 2 = 21 = 22 = 24 = 23 = 25 = 26 = 28 = 27 = 2 = 4 = 16 = 8 = 32 = 64 = 256 = 128 Feld 7 : 128 Reiskörner hätten -in einer Schicht liegend- nicht mehr Platz.! 2∙2 Auf Feld: Kontrolle: KLICK! 7 2∙2 ∙2 1 kg Langkornreis hat etwa Körner. 2∙2 ∙2 ∙2 Auf welchem Feld wäre diese Zahl erstmals überschritten? Schätze! 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 Auf Feld: 16 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 Langkornreis 1 Tonne Langkornreis hat etwa Körner. Auf dem wievielten Feld wäre 1 Tonne überschritten? Schätze! Kontrolle: KLICK! 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 26 Feld 15 215 = Feld 16 216 = Für das letzte (64.) Feld müssten wir mit einer unfassbar großen Zahl rechnen: 1 Feld 25 225 = Feld 26 226 =

5 Du hast inzwischen gemerkt, dass Potenzen immer auch einen bestimmten Wert darstellen.
Also muss man mit ihnen auch die bereits bekannten Rechenoperationen durchführen können: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren. Wir müssen klären, wie man Potenzen beim (Be)Rechnen verändern kann. unter welchen Bedingungen wir zwei Potenzen schon vor dem Ermitteln des Potenzwertes mit einander verrechnen können. Oft beginnen solche Aufgaben mit dem Auftrag: „Vereinfache!“ oder „Wandle um!“. ob man dann auch Regeln für das Rechnen mit Potenzen aufstellen kann, und wo diese Regeln ihre Anwendung bzw. Grenzen finden. WICHTIG! dass diese Regeln dann auch für das Rechnen mit allgemeinen Zahlen gelten. 1

6 Addieren und Subtrahieren von Potenzen
= 160 4096 Bei den hier gezeigten Ergebnissen ist nur eines richtig! oder Richtig ist: = Du musst hier zuerst die Potenzwerte getrennt ermitteln! Übertrage die Aufgabe auf deinen Block! Rechne und streiche das falsche Ergebnis! Kontrolle? KLICK! Falsch: = = Die Potenz-Terme 25 und 27 sind nicht identisch! Potenzen darfst du nur addieren/subtrahieren, wenn sie in Basis und Hochzahl übereinstimmen! Welcher falsche Lösungsweg wurde beschritten? Überlege! Dann KLICK! an, 27 , 9b2 , 3x5 , 5x , 72 , 4x5 , 12an , x2 , xy , a Welche der aufgezeigten Potenzen darfst du addieren / subtrahieren? KLICK! Wenn du gelesen hast. Eine Potenz kann auch eine Vorzahl (Koeffizient) haben. Solche sind hier grau geschrieben. Hat eine Potenz keine Vorzahl, so ist die 1 gemeint. (an = 1•an / x2 = 1•x2 / a = 1•a / 27 = 1•27) Du weißt: Eine Potenz besteht immer aus Basis und Exponent (Hochzahl). Wenn zu einer Basis keine Hochzahl hinzugefügt wurde, so meint man die Hochzahl 1 (a = a1) 1an und 12an 3x5 und 4x5 Mit anderen Worten: „Welche der Potenzen sind identisch? Jetzt kannst du die Frage beantworten! Prüfe dann mit einem KLICK! Die Potenzen sind jeweils identisch! 1

7 Die Potenz-Terme werden übernommen!
Addieren und Subtrahieren von Potenzen Bei den hier gezeigten Ergebnissen ist nur eines richtig! 5a a2 = 2a4 2 2a2 oder oder Richtig ist: 5•a •a2 = Die Potenzen (a2) sind jeweils identisch oder gleich. Du hast 5 Stück und sollst 3 Stück davon subtrahieren. Rechne und streiche die falschen Ergebnisse! Kontrolle? KLICK! ( )a2 = 2•a2 Mathematisch ausgedrückt: Du kannst das Distributivgesetz anwenden und die gleiche Potenz ausklammern. Egal, wie sich die betreffenden Terme nennen (x oder y oder a2) : 5 solche (Terme) minus 3 davon ergeben 2 solche. Berechne ! Dann KLICK! Regel 1a: Nur identische Potenz-Terme kann man addieren oder subtrahieren. x x x2 = Regel 1b: Identische Potenzen werden addiert / subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen (Koeffizienten) addiert / subtrahiert. Die Potenz-Terme werden übernommen! 1x x x2 = ( )x2 = -1x2 Berechne ! Dann KLICK! Falsch: 5a a2 = Lies noch einmal obige Regel! 2a3 + a a3 = Falsch: 5a a2 = 2a Du darfst die Hochzahlen nicht addieren (oder subtrahieren)!!! 2a a a2 = ( )a a2= -5a3 + a2 Nur identische Potenz-Terme kann man addieren oder subtrahieren. (Hier die a3) 1 Ermittle die fehlenden Koeffizienten!... dann KLICK! 2u3 + 9(v3 - u3) + 5(u3 - v3)= u v3 -2 4

8 Nur Größen mit identischen Maßeinheiten lassen sich verrechnen!
Potenzen im Alltag: Beim Aufbau der zwei vorangegangenen Folien haben wir für die Addition und Subtraktion von Potenzen oft einen Bezug zur Algebra gesucht. Alltägliche Anwendungen findest du in der Geometrie beim Umgang mit Längen-, Flächen- und Raummaßen. Maßeinheiten: 1. Potenz: 2. Potenz: 3. Potenz: Längenmaße: mm, cm, dm, m, km …. Flächenmaße: mm2, cm2, dm2, m2, km2 …. Raummaße: mm3, cm3, dm3, m3, km3 …. 1 cm Längenmaße  Strecken Längen-, Flächen- bzw. Raummaße haben zu völlig verschiedenen Vertretern aus der Wirklichkeit Bezug : Flächenmaße  Flächen 1 cm2 Raummaße  Körper Niemals würdest du die Größe 3 m zur Größe 5 m2 addieren oder Raummaße von Flächenmaßen subtrahieren. Du würdest sogar die Größe 4 mm vorher umwandeln, ehe du sie von 3 cm subtrahierst. Nur Größen mit identischen Maßeinheiten lassen sich verrechnen! Vernetzung hilft beim Lernen: Wenn du Querverbindungen in diesen Bereichen suchst, dann kannst du dich in folgendem Lehrwerk kundig machen: Insbesondere die Folien: 13 – 16 und 1

9 Multiplizieren von Potenzen
Folgendes Zahlenbeispiel wurde bewusst ausgewählt: 8 • = Du hast diese Zahlen auf Folie 3 bereits als Potenzen mit der Basis 2 (Zweierpotenzen) kennen gelernt. Schreibe die beiden Faktoren und den Produktwert als Zweierpotenzen! Kontrolle? KLICK! 23 • = = Da könnte man wohl auf eine Idee kommen: 32 • = = = 35 Prüfe am folgenden Beispiel ebenfalls, ob die Vermutung weiterhin stimmt! Stimmt die Überlegung? Auch bei diesem Beispiel stimmt unsere Vermutung! 9 • = Bedingung: Die Potenzen müssen die gleiche Basiszahl besitzen!!! Regel 2: Potenzen multipliziert man, indem man die Exponenten addiert und die Basis belässt. Formuliere auf deinem Arbeitsblatt eine Rechenregel für das Multiplizieren von Potenzen, die man aus unserer Vermutung ableiten könnte! Wenn du fertig bist, dann vergleiche! KLICK! mit gleicher Basis Wenn du so geantwortet hast, dann ist die Regel unvollständig! Das müssen wir aber noch beweisen! Vermutungen reichen nicht aus. Unsere erste Potenz mit der Basis a soll m Faktoren haben. Unsere zweite Potenz mit der Basis a soll n Faktoren haben. m mal der Faktor a am n mal der Faktor a an a • a • a • a • • a • a • a • • a am • an = am+n Das neu entstandene Produkt hat damit m + n Faktoren. Berechne diese Beispiele auf deinem Block: 23 • 25 = x7 • x-2 = a6 • a0 = 42 • 42 = 53 • 62 = Kannst du nicht vereinfachen! Berechne die Potenzwerte Zum Überprüfen: KLICK! 23+5 = 28 = 256 X7+(-2) = X5 a6+0 = a6 42+2 = 44 = 256 1 = 125 • 36 = 4600

10 Die Vorrangregel: Die höhere Rechenart hat immer Vorrang!
Potenzieren geht vor Punktrechnung und diese wiederum vor Strichrechnung. Weitere Übungen: Berechne! Dann KLICK! Rechne zuerst selbständig aus und kontrolliere dann! 8m2  5m2= 8m2 – 5m2= Zwei völlig verschiedene Aufgaben. Die Lösungswege unterscheiden sich! (8 – 5)  m2 = 3 m2 (8 – 5)m2 = 3m2 8m2  5m2= Die identische Potenz ausklammern! ( Regel 1b) Dies ist ein Produkt aus 4 Faktoren. 8  5 m2  m2= Faktoren vertauscht! Der Mal-Operator () vor (nach) allgemeinen Zahlen oder vor (nach) Klammern wird oft weggelassen! 40m2 + 2= 40m4 Jetzt Regel 2 anwenden! Immer schauen, ob in der Klammer was zu vereinfachen geht! Ein Rechenbefehl in der Klammer bricht die Vorrangregel. Welche Potenzregel kommt zuerst zum Zug? Berechne! Dann KLICK! 4v3(5v3 – 2v3) = 4v33v3 = 4v3(3v3) = 12v6 Welche Regel hast du dann angewandt? Die Klammern sind hier nicht mehr nötig! Regel 2 Regel 1b 9p3(3s3 – 2s3) = 9p3(1s3) = 9p3s3 = 9p3s3 =9(ps)3 Rechne wie vorige Aufgabe! Dann KLICK! Die Klammern, das Mal-Zeichen und der Koeffizient 1 sind hier nicht mehr nötig! Zu einem späteren Zeitpunkt gibt es noch eine kleine Weiterentwicklung. Eigentlich muss dieses Ausmultiplizieren nicht in jedem Fall einen Fortschritt bedeuten. Das hängt davon ab, wie dieser Term in eine größere Aufgabenstellung eingebunden ist. 9p3(3s3 – 2s2) = 27p3s p3s2 Ausmultiplizieren! Berechne! Dann KLICK! Die kleine Änderung gegenüber oben hat bedeutende Folgen! Du kannst in der Klammer nicht zusammenfassen. 1

11 Dividieren von Potenzen
Wenn wir die soeben gewonnene Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis logisch weiter denken, dann sollten wir leicht ein Rezept entwickeln können, wie man Potenzen mit gleicher Basis dividiert. Formuliere den Wortlaut, wie er für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis gelten könnte! Kontrolle? KLICK! am : an = am - n Vergiss nicht, die Bedingung in die Regel aufzunehmen! Regel 3: Potenzen dividiert man, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis belässt. mit gleicher Basis Vereinfache zuerst, dann berechne! Reine Zahlenbeispiele: Basis mit allgemeinen Zahlen: 35 : 32 = oder: 57 : 55 = x12 : x8 = oder: y25 : y13 = v5 : z3 = Kannst du vereinfachen? Wende die neue Regel an! Zum Überprüfen: KLICK! 35-2 = 33 = 27 57-5 = 52 = 25 X = X4 Y25-13 = y12 Es geht nicht! Weshalb? In Bruchschreibweise kann man sehr gut die Gültigkeit dieser Regel nachweisen. Wir verwenden die oben gestellten Aufgaben und kürzen, so oft es geht. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 35 32 3 • 3 = x12 x8 x • x • x • x • x • x • x • x = x • x • x • x • x • x • x • x • x • x • x • x = x4 = 33 = 27 57 55 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5• 5 y25 : y13 ergibt einen zu gewaltigen Bruchterm. Wir verzichten auf die Darstellung. Alle unsere bisherigen Überlegungen führen zu der allgemeinen Formel, die wir in jeder Formelsammlung finden. 1 = 52 = 25

12 Übungen zum Dividieren und Multiplizieren Berechne zuerst! Dann KLICK!
Bei jeder Aufgabe gilt: Übungen zum Dividieren und Multiplizieren Berechne zuerst! Dann KLICK! a5• c3 c2 • a3 = a5-3 • c3-2 = a2 • c1 = a2 c Multiplikation? Weshalb nicht? 8x5 4x4 = Dividieren kannst du aber! (Regel 3) Sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen jeweils keine Potenzen mit gleicher Basis (Regel 2), die sich multiplizieren lassen. Der Mal-Operator () und die Hochzahl 1 müssen nicht geschrieben werden. Der Mal-Operator () und die Hochzahl 1 müssen nicht geschrieben werden. 2 • x5-4 = 2x y4 • x3 • x2 y • x = y4 • x3+2 y • x = y4-1 • x5-1 = y3 • x4 y3x4 121x3 11x3 = 121x3 11x3 = 11 Hier hättest du auch frühzeitig kürzen können: 1 x4 • x5 • = •2 x3 7 x x4 • x x5• 7 • 2x3 = x5 x514x3 = 14x3 x5 14x8 = 14x3 10x = 54yx x • 2x2 • y 10x = 54yx yx3 10x = 70yx3 7x2y Punktrechnung geht vor Strichrechnung y7• 3x3 • 2x5 7y • x • 3y2 = y7• 6x8 21y3 • x = 2x8y7 7 xy3 = 2x7y4 7 = y4• 6x7 21 = 2 7 x7y4 2x7y4 7 = 2 7 x7y4 1 Aus einer Punktrechnung heraus darfst du kürzen! Möglichst sofort. Geht schneller!

13 10 Potenz 5 Basis Ursprünglicher Potenzbegriff ... 3/4 -2
10 • 10 • 10 • 10 • 10 = Potenz ... ein sehr begrenztes Verständnis von Potenzen. Hochzahl oder Jetzt ist es an der Zeit, sich noch einmal den Begriff /die Erklärung der Potenzen anzusehen. Du erinnerst dich an unser Beispiel von Folie 3. Exponent 10 5 Benenne aus dem Gedächtnis mit den Fachbegriffen!  Arbeitsblatt! an ist die Kurzschreibweise für ein Produkt aus n Faktoren (mit der allg. Bezeichnung) a. Basis Oder einfacher: Du sollst die Zahl a insgesamt n mal als Faktor schreiben (oder denken). a • a • a • • a • a n Faktoren Jetzt wollen wir kritisch überlegen: Welche Zahlen können wir ohne Problem als Hochzahlen für n einsetzen? Nenne fünf konkrete (also bestimmte) Zahlen für n, die als Hochzahlen denkbar sind! Beliebige Beispiele: Folgende Zahlen können wir uns vorläufig überhaupt nicht als Hochzahlen denken: Schreibe auf deinen Block!Dann KLICK! 3/4 -2 Du kannst Zahl a nicht 0 mal als Faktor schreiben (oder denken). Es gibt kein Produkt mit 0 Faktoren. Du kannst Zahl a nicht 1 mal als Faktor schreiben. Ein Produkt hat mindestens zwei Faktoren. Du kannst Zahl a nicht 3/4 mal als Faktor schreiben. Auch bei anderen Bruchzahlen unmöglich! Du kannst Zahl a nicht -2 mal als Faktor schreiben. Auch bei anderen negativen Zahlen unmöglich! da müssen wir eben den Potenzbegriff etwas weiter fassen! ... zunächst für die Hochzahlen 0 und 1 1

14 Erweiterungen des Potenzbegriffes
Nimm deinen Block und rechne! Die Anwendung der Regel führt zur Lösung 61. Prüfe das Ergebnis! KLICK! Schon auf Folie 2 haben wir behauptet, dass 61 = 6. Das wird auch als sinnvolle Festlegung bestätigt, wenn wir folgende Division durchführen, indem wir die gewonnene Regel (Folie 9) anwenden: 65 : 64 = = 61 Bruchrechnen mit Kürzen führt hingegen zur Lösung 6 . Erweiterung des Potenzbegriffes Allgemein können wir schreiben: 6 • 6 • 6 • 6 • 6 65 64 6 • 6 • = 6 • 6 a1 = a Eine Zahl hoch 1 ergibt immer diese Zahl selbst. Deshalb ist es sehr sinnvoll, festzulegen: 61 = 6 Mit unserer bisherigen Erklärung (Folie 2) für das Potenzieren können wir a1 nicht verstehen. Eine Zahl alleine kann niemals Teil eines Produktes bzw. ein Faktor sein. Mit anderen Worten: Eine Zahl alleine kann man nicht als Produkt bezeichnen. Wir mussten deshalb den Potenzbegriff sinnvoll erweitern. Genau so ergeht es uns, wenn wir berechnen: Bruchrechnen mit Kürzen: 7 • 7 • 7 73 7 • 7 • = 7 1 = 1 73 : 73 = Potenzrechnen: = 70 Gleiche Aufgabe, zwei verschiedene Lösungen! an = 1 = 1 Mit allgemeinen Zahlen: an : an = an - n = a oder Wir können eine Zahl nicht 0mal als Produkt hinschreiben! Aus dieser Klemme hilft auch dieses Mal die Erweiterung des Potenzbegriffes: Eine Zahl hoch 0 hat immer den Wert 1. Das gilt natürlich auch für Klammerterme: ... oder Bruchzahlen als Basis: z.B.: (x + v)0 = 1 1 a0 = ( ) = 1 5 17

15 Erweiterungen des Potenzbegriffes
Es geht weiter: 65 : 67 = Zu einem ganz anderen Ergebnis kommen wir, wenn wir diese Aufgabe als Bruch schreiben 65-7 = Wende die Divisionsregel (Regel 3) auf obige Aufgabe an! Kontrolle? KLICK! und dann kürzen: Was für ein unverständliches Ergebnis! 65 67 = 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 6 • 6 • 6 • 6 • 6 1 1 62 = Wie soll ich mir die Zahl 6 ‚minus zwei Mal‘ als Faktor vorstellen? Wir können den Widerspruch der zwei verschiedenen Ergebnisse nur auflösen, indem wir noch eine Erweiterung des Potenzbegriffes vornehmen. Erweiterung des Potenzbegriffes Allgemein können wir schreiben: a-2 1 a2 = a-n 1 an = Mit einfachen Worten: Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt vom Nenner in den Zähler eines Bruches, dann erhält die Hochzahl das entgegengesetzte Vorzeichen. a2 1 a-2 = Mathematisch korrekter: Der Exponent einer Potenz wechselt das Vorzeichen, wenn man den Kehrwert der Potenz bildet. Was haben wir mit diesem Paket von Erweiterungen erreicht? Bei der ursprünglichen Definition für eine Potenz wurde der Wert für die Hochzahl n noch stark eingeschränkt auf die positiven ganzen Zahlen ohne die 0 und ohne die 1 Durch die Erweiterungsschritte wurde zunächst n=1 zugelassen, also ℕ={1, 2, 3, ....}, dann noch mit 0 ergänzt zu ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. Im letzten Schritt erfolgte die zusätzliche Definition mit allen negativen ganzen Zahlen  ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } . Aber wie sieht es aus, wenn die Hochzahl n eine Bruchzahl ist?  Siehe Folie 23 1

16 Welche Werte darf die Basis a haben?
Auch über die Basis wollen wir kritisch nachdenken: Welche Werte darf die Basis a haben? Kannst du dir einen Zahlwert a als Basis vorstellen, für den dein bisher gewonnenes Verständnis von Potenzen nicht denkbar ist? Teste mal, ob verschiedene Werte aus ℤ zu einem richtigen Potenzwert führen! Du weißt ja: ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Positive ganze Zahlen heißen auch natürliche Zahlen ℕ = {1, 2, 3, ....}. Sie bereiten als Basis keine Schwierigkeiten beim Potenzieren. Die Potenzwerte können aber sehr, sehr groß werden! 25 = 32 27 Berechne zuerst! Dann KLICK! 33 = 109 = Die Mathematiker sind sich nicht einig, ob die Null (0) zu ℕ gehört. Oft schreibt man ℕ0 für die natürlichen Zahlen einschließlich Null. 03 = 0 0100 = 0 = 0 0n = 0 Aufpassen musst du bei 00. Weit verbreitet ist die Auffassung, dass man 00 nicht definieren kann Auch die negativen ganzen Zahlen kannst du dir gut als Basis einer Potenz vorstellen. z.B.: (-4)3 = (-4) •(-4) • (-4) Berechne zuerst! Dann KLICK! = (+16) • (-4) Achte aber sehr auf das Vorzeichen des Ergebnisses! (minus•minus  plus) (plus•minus  minus) = (-64) Prüfe nach, ob folgende Regel gilt: Regel 4: Der Potenzwert von Potenzen mit negativer Basis ist positiv, wenn die Hochzahl eine gerade Zahl ist, ist negativ, wenn die Hochzahl eine ungerade Zahl ist. Für die ganzen Zahlen ℤ als Basis von Potenzen bedarf es keiner Erweiterung des Potenzbegriffes. 1 Wie aber sieht es aus, wenn die Basis eine Bruchzahl ist?

17 Berechne zuerst! Dann KLICK!
Übungsaufgaben Unser Ziel: Das neue Wissen vertiefen, ein gutes Fundament richten. Die Lösungen sind falsch. Welche Fehler wurden gemacht? Erkläre! Wie lautet das richtige Ergebnis? 1. Aufgabe: 2•52=100 2. Aufgabe: 4-33=1 3. Aufgabe: 2• (3-5)2=16 4. Aufgabe: (x4 – x2) • x3 = x5 Berechne zuerst! Dann KLICK! 4. Aufgabe: (x4 – x2) • x3 = x7 – x5 = (x2 – 1)x5 Die Terme in der Klammer kannst du nicht zusammenfassen (Regel 1a). Deshalb kannst du nur ausmultiplizieren. Evtl. ist es vorteilhaft, dann wieder den gemeinsamen Faktor x5 auszuklammern, der in x7 und in x5 jeweils enthalten ist. 3. Aufgabe: 2·(3-5)2= 2 • (-2)2 = 2 • 4 = 8 Die Hochzahl bezieht sich hier nur auf den Inhalt der Klammer. Der Wert der Klammer wird zuerst festgestellt. Das ist der Sinn der Klammer! Dann wird potenziert. Bei gerader Hochzahl ergibt sich ein positiver Potenzwert +4. Aufgabe: 2•52 = • 25 = 50 Die Hochzahl bezieht sich nur auf die Basis 5. Zuerst wird potenziert ( höhere Rechenart) ! 50 2. Aufgabe: = = -23 Die Hochzahl bezieht sich nur auf die Basis 3. Zuerst wird potenziert ( höhere Rechenart) ! -23 8 x7 – x5 Das Potenzieren als höhere Rechenart hat immer Vorrang. Eine Klammer kann diese Reihenfolge ändern. Überprüfe, ob die folgenden Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind! Trage ins Kästchen w oder f ein! Überprüfe zuerst die Aussagen! Dann KLICK! 1. Der Wert einer Potenz kann positiv oder negativ sein. w Siehe Regel 4! Nur wenn die Basis negativ ist, dann wird der Potenzwert bei ungerader Hochzahl negativ. 2. Ist der Exponent eine ungerade Zahl, dann ist der Wert der Potenz immer negativ. f 3. Es gilt immer: Das Ergebnis (der Potenzwert) von a2n ist immer positiv, egal ob die Basis a selbst positiv oder negativ ist.. w Durch das Verdoppeln (•2)ist a2n immer eine Potenz mit gerader Hochzahl. (also Regel 4) 1

18 ( ) ( ) ( ) Welche Werte darf die Basis a haben? (Fortsetzung) 100 36
Die Basis könnte ja auch eine Bruchzahl sein! Am Beispiel der Bruchzahl 3/5 wollen wir herausfinden, wie man Bruchzahlen potenziert. Umwandeln von Dezimalzahlen in Bruchzahlen: Siehe Lehrwerk „Rechnen mit Dezimalzahlen“ 100 36 0,62 = 0,36 = Offensichtlich führt der zweite Weg, wenn wir Zähler und Nenner getrennt potenzieren, zum selben Ergebnis. Allgemein gilt: ... eine Bruchzahl als Basis, das lösen wir zuerst mal mit Hilfe der Dezimal-Schreibweise: Wir versuchen es auf einem zweiten Weg, indem wir Zähler und Nenner getrennt quadrieren. Wir wissen: 3 5 = 0,6 10 6 Unsere Aufgabe: 2 ( 3 ) 32 52 = 25 = 9 Erweitern 100 36 = 5 Regel 5: Eine Bruchzahl wird mit dem Exponenten n potenziert, indem man Zähler und Nenner jeweils getrennt mit n potenziert. a b = ( ) n an bn Umgekehrt können wir formulieren: Besitzen Zähler a und Nenner b eines Bruches die gleiche Hochzahl n, so kann man zuerst den Bruch berechnen und das Ergebnis mit n potenzieren. a b = ( ) n an bn 1

19 ) = ( ) = ( ( ) = ( ) = ) = ( ( ) = (x2(-y)3z4) = POTENZEN POTENZIEREN
Welche Werte darf die Basis a haben? (Fortsetzung) Die Basis könnte ja selbst eine Potenz sein! Kann man eine Potenz potenzieren? Wir betrachten die Potenz an.  a • a • a • .... • a Wie stellst du dir dann folgende Potenz vor? (an) 3 n mal als Faktor (an) 3 = a • a • a • .... • a • a • a • a • .... • a • a • a • a • .... • a = a3•n = a3n Wenn du fertig bist: KLICK! ... das sind  3 • n Faktoren. 3•n mal als Faktor n mal als Faktor n mal als Faktor n mal als Faktor Regel 6: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Wenn du jetzt die Hochzahl 3 durch die unbekannte Hochzahl m ersetzt, dann kannst du die allgemeine Darstellung in der Formelsammlung verstehen: (an) m = an•m Beim Potenzieren von Potenzen darf man die Exponenten deshalb auch vertauschen. (Vertauschungsgesetz) (an) m = n (am) Übungsaufgaben: Damit das neue Wissen in deinem Kopf richtig vernetzt wird! ... die verflixten Vorzeichen! (xy) = 3 (x1•y1) = 3 x3y3 Wenn du fertig bist: KLICK! ) = 6 (-x)2 ( ) = 12 (-x) ( x12 3 (-2)3 ( ) = 3 (-2) • ( ) = (-2) •(-2) ) = ( (-2)9 3 ( ) = (-8) -512 oder: 1 (x2(-y)3z4) = 3 • x6 (-y)9 z12 = - x6 y9 z12 • - x6 y9 z12

20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 x y z 2 x1 y1 z1 p2k+3m•qn-1
Überlege bei jedem Rechenschritt, welche Regel zur Anwendung gekommen ist. Vermischte Übungen 2 3 • 3 = 8 • 27 = 216 Immer, wenn du fertig bist: KLICK! 4 ( ) 1 3 1 108 = (2 • 3) = 3 3 6 = oder: 216 v n • v = n+1 v = n + n+1 v 2n+1 0,9 = 2 0,81 - 3 x4 y4 z4 6 x y z = - x4 y4 z4 2 x1 y1 z1 = Du hast weder im Zähler noch im Nenner eine Strichrechnung. Das Kürzen von Teilen aus einer Strichrechnung würde nämlich zu Fehlern führen! 2 - x3 y3 z3 = -( x y z)3 Also: Hier darfst du kürzen ! - p2k+3m•qn-1 = pk+2m• qn pk+m q p-k-m• q = = p(k+2m)-(2k+3m) • qn-(n-1) = pk+2m-2k-3m • qn-n+1 u4 vm+1 : = u2n+5 vm u4• vm+1• u2n+5 vm = u4• v-(m+1) u-(2n+5) • vm • = = 1 u2n+1 •v = u-2n-1 • v-1 u4-2n-5 • vm-m-1 3 1 ( ) 12a2 5b : = 3 12a3 15b2 12a2 5b : = ( 12a3 15b2 ) 3 12•a2 5•b• ( 12•a3 •15•b2 ) 3 12a2 5b • = ( 12a3 15b2 ) 3 = 3a2b2 ba3 ( ) 3 = 3a2-3 b1-2 ( ) 3 = Du kannst das Produkt auf einen langen Bruchstrich schreiben. Da auf und unter dem Bruchstrich nur Faktoren stehen, kannst du jetzt schon frühzeitig kürzen. a-1 b-1 ( ) 3 = b a ( ) 3 = b a 3 27 1

21 ( ) ( ) (an) an•m (an) n (am) am • an = am+n am : an = am - n
Die Potenzregeln im Überblick Regel 1: Nur identische Potenz-Terme kann man addieren oder subtrahieren. Identische Potenzen werden addiert / subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen (Koeffizienten) (Koeffizienten) addiert / subtrahiert. Die Potenz-Terme werden übernommen! Regel 2: Potenzen mit gleicher Basis multipliziert man, indem man die Exponenten addiert und die Basis belässt. am • an = am+n Regel 3: Potenzen mit gleicher Basis dividiert man, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis belässt. am : an = am - n Regel 4: Der Potenzwert von Potenzen mit negativer Basis ist positiv, wenn die Hochzahl eine gerade Zahl ist, ist negativ, wenn die Hochzahl eine ungerade Zahl ist. a b = ( ) n an bn Regel 5: Eine Bruchzahl wird mit dem Exponenten n potenziert, indem man Zähler und Nenner jeweils getrennt mit n potenziert. Umkehrung: Besitzen Zähler a und Nenner b eines Bruches die gleiche Hochzahl n, so kann man auch zuerst den Bruch berechnen und dann das Ergebnis mit n potenzieren. a b = ( ) n an bn (an) m = an•m Regel 6: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Beim Potenzieren von Potenzen darf man die Exponenten deshalb auch vertauschen. (Vertauschungsgesetz) (an) m = n (am) 1

22 ? 16 a1 = a a0 = 1 Die Erweiterungen des Potenzbegriffes im Überblick
Eine Zahl hoch 1 ergibt immer diese Zahl selbst. a0 = Eine Zahl hoch 0 hat immer den Wert 1. Mit negativen Hochzahlen muss man oft rechnen. Präge dir deshalb ein: Mit einfachen Worten: Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt vom Nenner in den Zähler eines Bruches, dann erhält die Hochzahl das entgegengesetzte Vorzeichen. a-2 1 a2 = oder: Mathematisch korrekter: Der Exponent einer Potenz wechselt das Vorzeichen, wenn man den Kehrwert der Potenz bildet. a2 1 a-2 = Weiterhin bleibt die Frage offen: Die nachfolgende Klärung wirst du erst mit dem Wurzelrechnen verstehen. 16 1 4 ? Was ist, wenn die Hochzahl eine Bruchzahl ist? Wie soll ich z.B. folgende Potenz verstehen: Die Vorrangregel: Die höhere Rechenart hat immer Vorrang! Potenzieren geht vor den Punktrechnungen und diese wiederum vor den Strichrechnungen. 1

23 √ √ √ √ √ √ √ √ √7 √zy = √v = √9 = √32 = √m + n √a2 + b2
Schreibe mit dem Wurzelzeichen! Voraussetzung für diese Seite ist das „Wurzelrechnen“. Potenzen mit einem Bruch als Hochzahl ??? 5 2 3 √52 3 c 1 2 √c1 2 An den Beginn unserer Überlegungen stellen wir eine ganz ‚normale‘ Wurzel : 9 1 2 = 5 2 √9 = 2 3 √ 2 5 √ 3 √ 3 = 90,5 = 3 1 2 5 3 = 2 5 = (3v) 2 3 √(3v)2 3 Wir haben gelernt, dass man die beiden Exponenten durch die selbe Zahl dividieren d.h. ‚kürzen‘ darf. (Folie 25) 3 v 2 3 √v2 3 Der Wert der Wurzel ändert sich dabei nicht. Allgemein: Durch die sinnvolle Wahl der Kürzungszahl 5 entsteht der Wurzelexponent 1. Das ist wieder eine ‚Scheinwurzel‘. m n 1 b 4 5 = a √ n m Zeige für die , dass man diese Herleitung auch allgemein formulieren kann! Zum Vergleich ...KLICK! a √ n m 5 √b4 1 √ a √ a = 1 n m a = n m b-0,8 = = Schreibe die Wurzelterme als Potenzen! Jetzt erinnern wir uns vielleicht an eine Frage, die bei der Arbeit mit Folie 13, 15 und 22 aufgetaucht ist: √7 2 3 = 7 3 2 = 71,5 Wie können wir Potenzen verstehen, deren Exponent eine Bruchzahl ist? √zy = x z y x v 1 2 Alle Potenzen mit gebrochener Hochzahl können wir als Wurzeln verstehen (und schreiben). √v = √9 = 3 √32 = 3 3 2 a = n m a √ n m Somit sind alle rationalen Zahlen ℚ als Exponenten von Potenzen erlaubt. (m + n) 1 2 √m + n 1 1 2 (a2 + b2) Aus einer Summe darfst du nicht teilweise radizieren! Da wir auch die ganzen Zahlen in unechte Brüche ver-wandeln können, ist jede Potenz als Wurzel darstellbar. √a2 + b2

24 Wie kann man so was vermeiden?
Welche Gefahr droht? Wie kommt so was? Wie kann man so was vermeiden? Beim Lernen errichten wir ein Wissenshaus! Stelle es auf ein solides Fundament! Risse im Fundament musst du vermeiden! Wie geht das? Auf der nächsten Folie wird einiges erklärt. 1 25

25 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

26 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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