INHALTSVERZEICHNIS Grundwissen Übungen 2 Stichwortverzeichnis

Präsentation zum Thema: "INHALTSVERZEICHNIS Grundwissen Übungen 2 Stichwortverzeichnis"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen! Richtiger Einsatz des Lehrwerks
Gernot Mühlbacher ... mit uns können Sie rechnen! BRUCH-RECHNEN I * EINFÜHRUNG Richtiger Einsatz des Lehrwerks Download: Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe © Gernot Mühlbacher

1 INHALTSVERZEICHNIS Grundwissen Übungen 2 Stichwortverzeichnis
Probier‘s aus! I Bruchzahlen verstehen II Bruchzahlen umwandeln III Grundrechenarten Bruchrechenregeln 4 9 12 Folie 4 bis 8 Folien 9 bis 11 Folien 12 bis 18 Grundwissen BRUCHRECHNEN I  … als Überblick 1/2 I V Darstellen, Schätzen, Messen V Die vier Grundrechenarten VI Kritisch nachfragen! VII Fachbegriffe Folien 24 bis 37 24 Folien 21 bis 23 21 Folien 38 bis 39 37 Folie 39 39 Übungen BRUCHRECHNEN II  Folie 40 40 20 LERNEN … ist mehr als Verstehen! Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren Wie entwickeln sich die Werte bei Mult. oder Div.

2 Folien 21 bis 40 erreichbar über START BRUCHRECHNEN II
Immer gewünschte Folien-Nr. anklicken! Stichwortverzeichnis Knopf führt immer zum 2 … zum Suchen BRUCHRECHNEN I  1  Inhaltsverzeichnis Folie Nr.: Addition 12, 24,25 Ganze Zahl 3, 6 - 8 Brucharten 7 (und 8) Gemeinsamer Nenner 10, 11, … Bruchzahlen verstehen 4 - 6 Gemeinsames Vielfaches 10, 11…, 23 Bruch-Rechenregeln 12 – 17, 18 Geteilt-Operator 5, 39 Mal-Operator 5, 40 Darstellung von Bruchz. 6 (und bei Erklärungen) Gemischte Zahl 7 und 8 Multiplikation , 28 – 30, 38 Division 17, 31, 39 gleichnamig 10, 11,12 23 Nenner 4 Doppelbruch 17, 31 Hauptnenner 10, 11, 12 Operator 40 Echter Bruch 7 und 8 Kürzen 9 Schätzen Durchgehend in den Beispielen Erweitern Kürzungszahl Subtraktion 13, 27, 36 und 37 Erweiterungszahl 9, 10 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 11, 23 Unechter Bruch Fachbegriffe zu den Grundrechenarten Kehrwert 17,18 Werte vergleichen 9, 10, 11 Faktorenzerlegung (Primfaktoren) Kehrbruch Zähler ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Folien 21 bis 40 erreichbar über START BRUCHRECHNEN II Richtiger Einsatz des Lehrwerks: 19 20 21

3 Das Ganze … 2 … dafür finden wir im Alltag leicht Beispiele:
… ein ganzes Seil … ein ganzes Tuch … ein ganzer Baumstamm … eine ganze Scheibe … ein ganzer Ball Diese Stücke bilden jeweils ‚ein Ganzes‘. Sie werden für den Gebrauch in der Mathematik auf einfache Formen zurückgeführt. … ein ganzer Stab … ein ganzer Streifen … ein(e) ganze(r) Säule Balken … eine ganzer Kreis … eine ganze Kugel Das Ganze kann man jeweils teilen, so dass Bruchteile entstehen. 2

4 3 /5 TEIL 1 Bruchzahlen verstehen (1) 3/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 3 1 5 8
Auf den nächsten 2 Seiten werden viele Begriffe erklärt. Präge sie dir ein! Bruchzahlen verstehen (1) Dieses und das nächste Blatt sollen zeigen, dass zwei verschiedene Vorstellungen (Modelle) zur Erklärung von Brüchen herangezogen werden können. I Der Bruch als Teil eines Ganzen (z.B. 3/5) (Erklärung an einem Papier-Streifen.) Jetzt vereinbaren wir die mathematische Schreibweise mit einem ‚Bruchstrich‘: Wir teilen ein Ganzes in fünf gleiche Abschnitte: fünf Fünftel Die Zahl auf dem Bruchstrich ‚zählt‘, wie viele Teile davon gemeint sind. ein Fünftel ein Fünftel ein Fünftel ein Fünftel ein Fünftel 1/5 drei Fünftel 3/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Zähler 3 Und so sprechen wir: Ein solcher Abschnitt ist dann der „fünfte Teil“ oder „ein Fünftel“. 1 ein Fünftel Das Ganze entspricht hier „fünf Fünfteln“. z.B. Der Bruchstrich ist ein Symbol für das Teilen (Dividieren). Nenner 5 Die Zahl unter dem Bruchstrich ‚nennt‘, in wie viele Teile das Ganze aufgeteilt wurde. Nun fügen wir drei Teile zusammen: ein Fünftel ein Fünftel ein Fünftel In Texten wird auch die Schreibweise mit schräg gestelltem Bruchstrich verwendet. 3 /5 Wie müsste der weiß unterlegte Text heißen, wenn wir das Ganze in acht gleich große Abschnitte geteilt hätten? Wie müsste die Bruchzahl geschrieben werden, wenn wir von den acht gleich großen Abschnitten sieben meinen? 8 7 Notiere auf deinen Block! Dann KLICK! Das Ganze entspricht auch „acht Achteln“. Notiere auf deinen Block! Dann KLICK! 2

5 Bruchzahlen verstehen (2)
Dieses Mal soll die Bruchzahl 3/8 erklärt werden. Bis jetzt können wir 3/8 so erklären: Bruchzahlen verstehen (2) Die Bruchzahl als Teil eines Ganzen: Eine zweite Erklärung: Wir teilen ein Ganzes in acht gleich große Teile und nehmen davon drei Teile. II Der Bruch als Teil mehrerer Ganzen Wir teilen drei Papierstreifen jeweils in acht gleich große Abschnitte. Jede Bruchzahl entsteht durch das Zusammenwirken von zwei Operatoren (Rechenbefehlen): Die folgenden Fragen solltest du jetzt schon beantworten können: Wie nennst du einen einzelnen Bruchteil? Jetzt hast du alle Fragen beantwortet. Beim nächsten KLICK bekommst du die Ergebnisse. Nimm deinen Block und notiere! Bei KLICK kommt die nächste Frage. unser Beispiel: Name? ein Achtel • 3 Mal-Operator 3 Geteilt-Operator 8 : 8 Wie schreibst du diese Bruchzahl? geteilt durch 8 Die Bruchzahl als Teil mehrerer Ganzen: Welche Bruchzahl gilt für die restliche Fläche? 3/8 können wir also auch verstehen als: „der achte Teil von drei Ganzen“. Welche Bruchzahl gilt für die ver-dunkelt eingefärbten Flächenteile? Auf dieser Seite sind zwei verschie-dene Vorstellungen von einer Bruchzahl erklärt worden. Präge sie dir ein! mal 3 2

6 Tortendiagramm-bzw. Kreisdiagramm
Das Ganze … Das Ganze kann man jeweils teilen, so dass Bruchteile entstehen. Notiere jeweils auf deinem Arbeitsblatt, wie die einzelnen Teile benannt werden! Dann KLICK ! Siebtel Drittel Viertel Fünftel Halbe 1/7 1/4 1/7 1/3 1/7 1/2 1/4 1/5 1/5 1/7 1/3 1/7 1/4 1/5 1/5 1/7 1/2 1/3 1/5 1/7 1/4 … ein ganzer Stab … ein ganzer Streifen … ein ganzer Balken … eine ganzer Kreis … eine ganze Kugel Schreibe auch das Ganze als Bruchzahl! Dann KLICK ! Das Ganze: 7/7 3/3 4/4 5/5 2/2 Verwendung beim: Stab-diagramm Streifen-diagramm Balken-diagramm Tortendiagramm-bzw. Kreisdiagramm Kugel-diagramm Zur Wiederholung: Beschreibe auf deinem Arbeitsblatt, wie man die Bruchzahl ‚vier Siebtel‘ auf zwei Arten erklären kann! Dann KLICK ! 7 1 4 2

7 Ganze Zahlen, echte und unechte Brüche, gemischte Zahlen
Wir sollten schon wissen, was damit gemeint ist, wenn diese Fachausdrücke genannt werden. Sonst können wir selbst die leichtesten Zusammenhänge nicht verstehen. Mathematik bleibt für uns dann eine unverständliche Fremdsprache. 1 Ganzes 1 Ganzes 1 Ganzes 1 Ganzes 1 Ganzes 1/8 Schon wieder Fachausdrücke lernen … Unechter Bruch: 1/8 Wenn mehrere Ganze geteilt werden, dann entsteht eine Bruchzahl, deren Zähler (Mal-Operator) größer ist als der Nenner (Geteilt-Operator). Dies ist dann ein unechter Bruch. 1/8 Ganze Zahl: Beträgt der Zähler (Mal-Operator) genau ein Vielfaches des Nenners (Geteilt-Operator), dann ergibt die Bruchzahl durch Dividieren ohne Rest immer eine ganze Zahl. 3 (Ganze) geteilt durch 8 1/8 3 1/8 Vereinbarung: Das Pluszeichen lässt man weg. Achtung! Gemischte Zahl: 1/8 Erklärung: Sind Zähler und Nenner eines unechten Bruches teilerfremd, so kann man aus dem unechten Bruch jederzeit eine gemischte Zahl (Ganze Zahl plus Bruchzahl) herstellen. 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Bildlich kann man auch anders zeigen, indem man die an anderer Stelle wegnimmt. Zurück zum alten Bild! KLICK! Der Text wurde leicht verändert. 3 Ganze = 2

8 Ganze Zahlen, echte und unechte Bruchzahlen, gemischte Zahlen
Wir sollten schon wissen, was damit gemeint ist, wenn diese Fachausdrücke genannt werden. Sonst können wir selbst die leichtesten Zusammenhänge nicht verstehen. 1 Ganzes 1 Ganzes 1 Ganzes Unechter Bruch: Schon wieder Vokabeln lernen … Wenn mehrere Ganze geteilt werden, dann entsteht eine Bruchzahl, deren Zähler größer ist als der Nenner . Dies ist dann ein unechter Bruch. Der Wert des unechten Bruches ist immer größer als 1, denn der Mal-Operator ist mächtiger als der Geteilt-Operator. Ganze Zahl: Beträgt der Zähler (Mal-Operator) genau ein Vielfaches des Nenners (Geteilt-Operator), dann ergibt die Bruchzahl durch Dividieren ohne Rest immer eine ganze Zahl. 3 (Ganze) geteilt durch 8 3 Gemischte Zahl: Sind Zähler und Nenner eines unechten Bruches teilerfremd, so kann man aus dem unechten Bruch jederzeit eine gemischte Zahl (Ganze Zahl plus Bruchzahl) herstellen. Echter Bruch: 1/8 1/8 1/8 Eine Bruchzahl, deren Zähler kleiner ist als der Nenner, bezeichnen wir als echten Bruch. mal 3 Der Wert ist immer kleiner als 1, denn der Nenner (Geteilt-Operator) ist mächtiger als der Zähler (Mal-Operator) . 3 Ganze = 2

9 Keine Änderung des Wertes!
Oftmals ist man gezwungen, den Bruchzahlen ein verändertes Aussehen zu geben, ohne dabei den Wert zu verändern. Das Kürzen und das Erweitern Werte vergleichen: Der Bruch ändert sein Aussehen (nicht aber seinen Wert!), wenn man den Zähler … Von dieser Torte sind sechs Achtel (6/8) abgeschnitten. 1/8 :2 • 2 Keine Änderung des Wertes! :2 • 2 … und den Nenner mit jeweils dem gleichwertigen Operator behandelt. Daraus folgt: Kürzen: Erweitern: Kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl dividiert. Erweitern bedeutet, dass man Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert. • 1/4 Der jeweilige Operator heißt: Kürzungszahl Erweiterungszahlzahl Du kannst einen Bruch nur kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Von dieser gleich großen Torte sind drei Viertel (3/4) abgeschnitten. 2

10 ‚Gleichnamig‘ machen Z 6/21 Z 7/21 Äpfel Äpfel <
Der Obstbauer will auf zwei Siebtel (2/7) seines Obstgartens Zwetschgenbäume pflanzen. Sein Sohn rät, statt dessen ein Drittel (1/3) der Fläche für Zwetschgen zu nutzen. Wer will mehr Zwetschgen anpflanzen? Der Trick: Wir versuchen, das Aussehen der beiden Bruchzahlen so zu verändern, dass sie ohne Wertänderung die gleichen Nenner besitzen. Dann können wir vergleichen! Unser Auftrag: Wir müssen den Hauptnenner suchen, das nennt man ‚gleichnamig‘ machen durch Erweitern. Könntest du den Unterschied von 1/21 in einem Streifen- Diagramm wahrnehmen? Wenn du deine Meinung gebildest hast, dann KLICK! Ein mit dem Auge deutlich sichtbarer Unterschied: Die Nenner 7 und 3 haben ein gemeinsames Vielfaches, nämlich die Zahl 21. Die Nenner erhalten damit den gleichen Namen, das ist der Hauptnenner. Bist du so erfahren beim Umgang mit Bruchteilen, dass du vergleichen kannst, wessen Anteil größer ist, der des Vaters oder der des Sohnes? Kannst du deine Einschätzung auf dem Block festhalten? Notiere die beiden Bruchzahlen und setze das richtige Zeichen dazwischen: 1/3  2/ Setze ein: > ist größer als oder < ist kleiner als oder = ist gleich • 3 • ? Vater: Sohn: 6 7 • ? • 3 Welcher Anteil ist größer? Vater Sohn • ? • 7 Jetzt heißt es: „Die richtigen Erweiterungszahlen finden!“ Wir können sie ausrechnen. Himbeeren Himbeeren Z 6/21 Z 7/21 • 7 • ? ist kleiner als Äpfel Der Vater schlägt einen Anteil vor, der um 1/21 kleiner ist als der des Sohnes. Äpfel < Um den Wert von Bruchzahlen vergleichen zu können, muss man sie zuerst gleichnamig machen! 2

11 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
kgV ermitteln: Ordne die Brüche 2/5 , 3/4 , 5/10 und 5/8 der Größe nach! Jeder Teil-Nenner wird in möglichst kleine Faktoren (Primzahlen) zerlegt und dann aufgeschrieben. Am besten fangen wir mit dem größten Teil-Nenner an: Das Schätzen gestaltet sich ganz schön schwierig und nimmt Zeit in Anspruch. Versuche es mal und notiere die Zahlen nach aufsteigendem Wert! Keine Angst vor Fehlern! Am Schluss dieses Lernteiles wirst du die Lösung sehen! Wenn man Papier und Schreibzeug zur Hand hat, dann geht das schnell, indem man einen gemeinsamen Nenner (ein gemeinsames Vielfaches) sucht und die Brüche durch Erweitern gleichnamig macht. 10 = 5 • 2 8 = • 4 2 • 2 Te i l - N e n n e r Den gemeinsamen Nenner (das gemeinsame Vielfache) haben wir bisher gefunden, indem wir das Produkt aller Nenner gebildet haben. ( vorhergehende Folie 10) 4 = • 2 5 = 5 HN = 5 • 2 • 2 • = 40 Bei zwei Brüchen war das einfach. Bei unseren obigen Bruchzahlen ergäbe das aber eine große Zahl, nämlich das gemeinsame Vielfache 5 • 4 • 10 • 8 = Bei genauem Hinschauen wäre das kleinste gemein-same Vielfache (kgV) hier weitaus kleiner als Erkennst du diese Zahl? Gleichnamig machen: Der Faktor 2 kommt in die 2er-Spalte. Erweitere nun jede Bruchzahl so, dass jeweils der Hauptnenner (HN) 40 entsteht! 4 können wir weiter zerlegen in 2 • 2. Wir brauchen 2 neue 2er-Spalten! Und schon haben wir den Haupt-nenner um den Faktor 2 verringert. Wie finden wir dieses kgV? Es würde sich lohnen, denn dann könnten wir beim späteren Erweitern mit kleineren Erweiterungszahlen rechnen. Wir brauchen keine neue Spalte. Wenn du fertig bist: KLICK ! Eine Chance liegt darin, dass der kleinere Nenner 5 im Nenner 10 enthalten ist und 5 kann man nicht zerlegen. Auch hier brauchen wir keine neue Spalte. der kleinere Nenner 4 im Nenner 8 enthalten ist. Damit ist insgesamt dreimal der Faktor 2 (2 • 2 • 2) und einmal der Faktor 5 ein-gespart. Deshalb heißt der Hauptnenner jetzt statt 1600 nur noch 40. Damit kommen wir schon auf den Hauptnenner (HN) 80. Aber es wird noch besser! Wir zeigen nun ein Verfahren, wie man mit Sicherheit den kleinsten Hauptnenner (das kgV) findet und die Brüche dann später mit kleineren Erweiterungszahlen gleichnamig machen kann. Ordne jetzt die Bruchzahlen der Größe nach (Block!)! Wenn du fertig bist: KLICK! 2

12 Da tut sich eine Frage auf!
1 Liter (1l) Brüche addieren Das Zusammen-fügen der Bilder zeigt, dass die Summe kleiner als 1 l ist. Unser Problem: Aus einem kleinen Glaskrug soll ein Rest von 1/3 Liter Olivenöl in eine Literflasche zu 3/5 Liter des gleichen Öls hinzu gegossen werden. 3/5 l Schätze! … und halte deine Einschätzung auf dem Block fest! Dann KLICK! + = 14/15 l Das Öl hat Platz. Aber: Wie viel Öl ist jetzt genau in der Flasche? 9/15 l 3/5 l 5/15 l 1/3 l 1/3 l Hat das Öl beim Zusammengießen in der Literflasche Platz? Schätze, indem du die Bruchzahlen bewertest! Da tut sich eine Frage auf! Du kannst die Bruchzahlen inzwischen gleichnamig machen. Auf dem Arbeitsblatt! Wir können ‚Drittel‘ und ‚Fünftel‘ nicht so einfach zusammenrechnen. Dazu müssen wir sie zuerst durch Erweitern gleichnamig machen! Findest du ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner? Wenn du fertig bist: KLICK ! Wie lauten Frage und Rechenaufgabe? Arbeitsblatt! ... dann KLICK! • ? • 5 5 9 Die Nenner 3 und 5 haben ein gemeinsames Vielfaches, nämlich die Zahl 15. Die Nenner erhalten den gleichen Namen. Regel: • 5 • ? Zuerst muss man die Bruchzahlen gleichnamig machen! • 3 • ? Jetzt heißt es: „Die richtigen Erweiterungszahlen finden!“ Wir können sie ausrechnen. Gleichnamige Bruchzahlen addiert man, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt. Das erste Schätzen gelingt an einfachen Schaubildern besser. • ? • 3 2

13 3/4 2/3 ? Brüche subtrahieren
Tortendiagramm Der Vorrat reicht tatsächlich! Wie viel bleibt übrig? Eine andere Frage: Beim Konditor sind noch 3/4 von einer Sahnetorte übrig. Ein Kunde wünscht 2/3 einer ganzen Torte. 3/4 2/3 ? Deine Einschätzung: Beschreibe den Rest mit einer Bruchzahl als Teil(e) des Ganzen! Eine der drei angebotenen Lösungen stimmt: /12 oder 3/26 oder 2/14 Wenn fertig, dann KLICK! Bestätige den Wert deiner geschätzten Bruchzahl durch ‚gleichnamig‘ machen und Fertigstellung der Rechnung! Wenn fertig, dann KLICK! oder: Formuliere die Frage und die zugehörige Rechenaufgabe! ... dann KLICK ! Welche Erweiterungs-zahl galt für den ersten Bruch ¾? • 3 Reicht der Vorrat? Welche Erweiterungs-zahl galt für den zweiten Bruch 2/3? Denke aber daran: „Immer zuerst gleichnamig machen!“ • 4 Gleichnamige Bruchzahlen subtrahiert man, indem man die Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner belässt. Die Veranschaulichung gelingt am besten mit einem: 2

14 I Der Bruch als Teil eines Ganzen
Auf dem Weg zur nächsten Regel Ein weiteres Beispiel: (zugegeben: nicht ganz leicht zu verstehen) Als Preis waren drei Lakritzenstangen ausgesetzt. Wettrechnen: Julia gewinnt gegen Peter. Von einer Tafel Schokolade sind noch vier Fünftel übrig. (4/5) 10 cm Ein Fünftel ist gegessen! Vorher wurde vereinbart: 3/5 1/5 1/5 Sieger: Gewinnt drei Fünftel von allen drei Stangen. Verlierer: Gewinnt nur zwei Fünftel von allen drei Stangen. Drei Viertel von vier Fünfteln. 1/5 1/5 1/5 Rest 4/5 1/5 1/5 Wie verteilt die Lehrerin die drei Stangen? 1/5 1/5 Ina Vorschlag: Die Lehrerin schneidet jede einzelne Stange in fünf Teile. Dann lässt sie Julia je 3 Teile und Peter je 2 Teile abwechselnd nehmen. Andere Idee: Die Lehrerin rechnet kurz, nimmt das Lineal zur Hand und misst. Mit einem Schnitt teilt sie die drei Stangen auf einmal. gegessen Bruder 1/5 „Drei Viertel vom Rest bekomme ich!“ Ina sagt zu ihrem jüngeren Bruder: I Der Bruch als Teil eines Ganzen (Folie 4) II Der Bruch als Teil mehrerer Ganzen (Folie 5) Welches Erklärungsmodell (Folie 4 oder 5) liegt jeweils dem Vorschlag / der Idee zu Grunde? Gehe erst dann zum Arbeitsblatt, wenn beide Lösungen vorliegen! Grübel! Grübel! 1/5 1/5 1/5 „Drei Viertel von vier Fünfteln? “ Kern des Problems 9/5 Julia 2 cm Jetzt Arbeitsblatt ! Kannst du das Ergebnis im Bild abzählen? Wie viele Teilchen haben sie jeweils am Schluss?  Arbeitsblatt! 1/5 4 cm 6/5 Peter Wenn du das Ergebnis jetzt wissen willst,.. KLICK ! Inas Anteil entspricht drei Fünftel (3/5) der ehemals ganzen Tafel. Zur Kontrolle: KLICK ! Julia: Peter: Julia: 9/5 neun Fünftel Peter: 6/5 sechs Fünftel Alles klar! … mit Hilfe der Bilder. Geht das auch rechnerisch? So wird es noch deutlicher. KLICK! Kann man das auch ausrechnen? 2

15 Multiplikation mit Bruchzahlen
Rein rechnerisch führt eine solche Sprachwendung immer zu einer Multiplikation mit Bruchzahlen. Multiplikation mit Bruchzahlen Die vorangegangenen Beispiele hatten etwas Gemeinsames: Immer ging es um den Bruchteil von einem Ausgangswert. Du wendest auf den Ausgangswert zuerst den Durch-Operator (Nenner) an Ausgangswert 3 • Multiplikator ... der Mal-Operator (Zähler) gibt dann an, wie viele Teile du davon nimmst. 5 Unsere Beispiele von vorher: Rechen-aufgabe: Ausgangs-wert: Multipli-kator: Sprache: Die Lösung 3/5 war auf der vorigen Folie durch Nachdenken ganz schön schwer zu erreichen! übersetzen in eine Die Lösungen gelingen durch Anwenden der Rechenregel leicht. „Drei Fünftel von drei“ 3 • 3/5 = ganze Zahl • Bruchzahl „Zwei Fünftel von drei“ 3 • 2/5 = ganze Zahl • Bruchzahl „Drei Viertel von vier Fünfteln“ 4/5 • 3/4 = Bruchzahl • Bruchzahl Für das Rechnen im Alltag hat die Fähigkeit, Sprache in eine Rechenaufgabe zu übersetzen, eine große Bedeutung! Ebenso der Rückweg: Rechenaufgabe  Sprache Das praktische Rechnen: Eine ganze Zahl kannst du jederzeit als Bruch denken: Erinnerst du dich an das Problem mit dem Verteilen des 4/5 -Restes der Schokolade? Kürzen! Dies gilt auch, falls du die Faktoren vertauscht hättest. Die Regel gilt auch, wenn mehr als zwei Bruchzahlen mit einander multipliziert werden sollen. 3/8 • 2/7 • 1/3 • 6/21 = 1/98 Prüfe nach! Für den Fall, dass eine ganze Zahl als Faktor auftritt, vereinfacht man deshalb meist die Regel ( Folie 16) Kurz: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner Achtung! Verwechsle nicht mit Erweitern! 3 15 2

16 Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Sonderfall: … und wenn ich mit einer ganzen Zahl multiplizieren soll? Der allgemeine Fall: (ist dir bereits bekannt) Wenn du irgendwann unsicher sein solltest, dann denke daran, dass man jede ganze Zahl auch als Bruchzahl schreiben kann: Kürzen! :2 Das Kürzen könnte schon früher geschehen! 4 1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Kürzen! :2 1/8 1/8 1/8 1/8 Auch hier hättest du schon früher kürzen können! Welcher frühere Zeitpunkt wäre möglich? KLICK! Dies gilt auch bei vertauschten Faktoren! 4 1 Besser ist es, gleich zu kürzen! Aus Produkten darfst du jeweils einzelne Teilfaktoren kürzen. Aus Strichrechnungen jedoch nicht! Hier geht es nach der Regel „Bruch mal Bruch“: Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren, Nenner belassen! Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner 2

17 indem man die erste Bruchzahl belässt und
Division Die rechnerische Lösung führt über die Fragestellung: „Wie oft sind 150 ml in 750 ml enthalten?“ Bruch durch Bruch In einer Liter-Flasche sind 750 ml feines Olivenöl. Ein Gastwirt will kleine Karaffen mit je 150 ml auf die Tische verteilen. Wie viele solche Karaffen kann er abfüllen? … und diese Frage führt rechnerisch immer zu einer Division: Das kannst du ja im Kopf rechnen!  Arbeitsblatt (AB) Dann KLICK! 750 ml : 150 ml = 5 Wir können die Ölmengen auch als Bruchteile des ganzen Liters (1000 ml) angeben. Arbeitsblatt! Dann KLICK! Schreibe jetzt diese Rechnung als eine typische Bruchrechenaufgabe!  AB Kern unseres Problems! : Bruchzahl Bruchzahl Wir kennen das richtige Ergebnis: die Zahl 5. Wie errechnen wir sie jetzt? Aus dem • 3-Operator wird ein :3-Operator. Wir erinnern uns: Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Also kehren wir die Operatoren beim 2. Bruch (Divisor) mal um: Aus dem :20-Operator wird ein •20-Operator. 1 5 1 Aus dem Dividieren wird so rückwärts ein Multiplizieren: (Regel bekannt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner) = 5 Problem behoben. Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl belässt und mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. Ganze Zahlen kannst du jederzeit als Bruchzahlen schreiben (oder zumindest denken). Also gilt die Regel auch hier: Wie reagierst du, wenn statt einer der Bruchzahlen eine ganze Zahl auftritt?  AB 9 2 2

18 Die vier Bruchrechenregeln musst du zu jeder Zeit parat haben:
Additieren Gleichnamige Bruchzahlen addiert man, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt. zuerst gleichnamig machen!“ Denke aber daran: „Immer Subtrahieren Gleichnamige Bruchzahlen subtrahiert man, indem man die Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner belässt. Multiplizieren Zwei (oder mehrere) Bruchzahlen multipliziert man, indem man alle Zähler und dann alle Nenner mit einander multipliziert. Also: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner Dividieren Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl belässt und mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. Also: „Immer zuerst den Kehrbruch der zweiten Bruchzahl (= Divisor) bilden!“ 2

19 Lernen ist mehr als Verstehen!
BRUCHRECHNEN II Was erwartet uns? Mit den vier wichtigen Bruchrechenregeln wollen wir uns jetzt intensiv beschäftigen! Wenn du verstanden hast, dass die Regeln zu Recht gelten, dann kannst du noch lange nicht sicher mit ihnen umgehen. Wir wollen deshalb … Der Lernvorgang ist erst dann beendet, … Beispiele rechnen. … typische Fallen vermeiden. … auf häufig auftretende Rechenfehler hinweisen. wenn du nach dem ersten Verstehen auch später noch sicher und flüssig mit dem neu Gelernten umgehen kannst! … typische Denkfehler vermeiden. … Ergebnisse im Voraus abschätzen, damit wir am Ende der Aufgabe erkennen können, ob wir auch richtig gerechnet haben. … Lösungswege vergleichen. 2 Die nächste Folie gibt dafür zusätzlich eine Erklärung und Begründung!

20 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

21 Bruchrechnen Ausprobieren! Umgang mit der Technik:
Gernot Mühlbacher Ein Tipp: Mit der rechten Maustaste erscheint ein Menu. Damit kannst du gut durch das Programm steuern! Bruchrechnen Ausprobieren! Umgang mit der Technik: Die eigentlichen Steuerungsinstrumente sind das Inhaltsverzeichnis (nächste Folie ) oder das Stichwortverzeichnis oder „esc“ mit Links-KLICK geht‘s immer weiter! ... Schritt für Schritt Auch mit Hilfe des Maus-Rades kannst du Schritt für Schritt rückwärts (oder vorwärts) gehen. Alle 40 Folien des Lehrwerks ‚Bruchrechnen I und II‘ fortlaufend zu erarbeiten,… dazu wird in der Regel die Zeit fehlen. Verschaffe dir zuerst mit Hilfe des Inhaltsverzeichnisses einen Überblick über die Angebote und nutze das Stichwortverzeichnis! Richtiger Einsatz des Lehrwerks: Über die entsprechenden Schaltflächen ( ) kannst du alle Folien ansteuern. Zuerst solltest du die vier wichtigsten Bruchrechenregeln verstehen, nicht nur auswendig lernen! Ein besonderer Ratschlag: Lies auch aufmerksam die zwei Folien „Lernen ist mehr als Verstehen!“ Und weshalb lohnt es sich? Viele Alltagsprobleme wirst du nur mit Hilfe des Bruchrechnens lösen! Brüche hat nicht der Mensch erfunden. Die Natur und der Alltag bringen sie hervor. 2 Beim Rechnen mit allgemeinen Zahlen ( Algebra) ist der sichere Umgang mit Bruchtermen sehr wichtig!

22 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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