Wahrscheinlichkeitstheorie

Präsentation zum Thema: "Wahrscheinlichkeitstheorie"—  Präsentation transkript:

1 Wahrscheinlichkeitstheorie
/ SES.125 Parameterschätzung Wahrscheinlichkeitstheorie Torsten Mayer-Gürr

2 Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter
Beispiel Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen): 100,006 m 100,005 m 99,995 m 100,008 m 99,993 m 0,000 m 99,996 m 99,998 m 99,992 m 100,000 m 100,004 m 99,991 m 99,997 m 100,002 m … Grober Fehler

3 Messfehler Grobe Fehler: Falschen Punkt angemessen
Rechenfehler / Programmierfehler … Systematische Fehler: Kalibrierung des Instruments fehlerhaft (Maßstabsfaktor im Instrument) Nicht beachtete physikalische Effekte (Laufzeitverzögerung in der Atmosphäre, Erdkrümmung, …) (Mitteln sich nicht heraus) Zufällige Fehler: Elektronisches Rauschen Turbulenzen in der Atmosphäre Nicht vorhersagbar => In dieser Vorlesung behandelt

4 Beispiel Histogramm von 10000 Beobachtungen Anzahl
Gemessene Strecke (reduziert um 100 m) [mm]

5 Dreiecksnetz 1. Ordnung

6 Gauß-Markoff Modell Gauß-Markoff Modell
Rechnung startet immer mit Beobachtungen, die zufällige Fehler enthalten. mit Schätzung der Lösung Fragen: Ist das wirklich die beste Lösung (Wahrscheinlichste Lösung)? Wie kommt man von der Genauigkeit der Beobachtungen zur Genauigkeit der Parameter => Varianzfortpflanzung Was ist eigentlich diese Kovarianzmatrix? Schätzung der ausgeglichenen Beobachtungen Schätzung der Residuen Schätzung des Varianzfaktors Schätzung der Genauigkeit der Lösung

7 Positionsbestimmung Positionen Koordinaten Pail

8 Positionsbestimmung Positionen Koordinaten Hat sich der Punkt bewegt?
Hypothesentest Aussage über Wahrscheinlichkeit

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

10 Wahrscheinlichkeit Definition: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses A ergibt sich mit der Anzahl 𝑛 𝐴 des Eintreffens des Ereignisses A unter n Versuchen zu Definition: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ergibt sich aus der relativen Häufigkeit für 𝑛→∞: Für die Wahrscheinlichkeit gilt: Beispiel: Bei 100 Würfen mir einem Würfel wurde 18 mal die Zahl Sechs gewürfelt. Die relative Häufigkeit ist: Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass beim nächsten Wurf wieder eine Sechs fällt:

11 Unabhängige Ereignisse
Definition: Zwei Ereignisse A und B bezeichnet man als unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit P(A) des Ereignisses A, nicht vom Eintreffen des Ereignisses B abhängt. Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, gilt: (Die Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert) Beispiel: 2 Sechsen würfeln

12 Unabhängige Ereignisse
15 rote, 5 blaue Kugeln Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach einer roten ein blaue Kugel mit Zurücklegen zu ziehen? rote Kugel: blaue Kugel:

13 Bedingte Wahrscheinlichkeit
15 rote, 5 blaue Kugeln Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach einer roten ein blaue Kugel ohne Zurücklegen zu ziehen? rote Kugel: blaue Kugel: Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis

14 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Als bedingte Wahrschinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis Definition: Die Ereignisse A und B sind voneinander unabhängig, falls gilt: Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, gilt: Beispiel: 2 Sechsen würfeln

15 Wahrscheinlichkeit Lotto: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 6 aus 45 zu ziehen? 1 2 3 4 5 6 7 … 45 Reihenfolge beliebig: k! Reihenfolge beliebig: (n-k)! Satz: Die Anzahl der Permutationen n verschiedener Element ist gleich: Satz: Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung ohne Berücksichtigung der Anordnung: Wahrscheinlichkeit für 6er im Lotto

16 Zufallsvariable

17 Zufallsvariable Zufallsereignisse: Wurf zweier Münzen Zufallsvariable:
Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeiten: Anzahl Kopf Definition: Man bezeichnet eine eindeutige reell wertige Funktion 𝑋 𝑠 𝑖 , die auf der Menge S der Elementarereignisse 𝑠 𝑖 definiert ist, als Zufallsvariable, falls für jedes beliebige 𝑥∈𝑅 das Ereignis, für das 𝑋 𝑠 𝑖 <𝑥 gilt, zu den zufälligen Ereignissen von Z gehört.

18 Zufallsvariable Zufallsereignisse: Wurf zweier Münzen Zufallsvariable:
Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit: -1 1 2 3 0.25 0.50 0.75 1.00 Definition: Man bezeichnet eine eindeutige reell wertige Funktion 𝑋 𝑠 𝑖 , die auf der Menge S der Elementarereignisse 𝑠 𝑖 definiert ist, als Zufallsvariable, falls für jedes beliebige 𝑥∈𝑅 das Ereignis, für das 𝑋 𝑠 𝑖 <𝑥 gilt, zu den zufälligen Ereignissen von Z gehört.

19 Diskrete Zufallsvariable
Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an. Werte: Wahrscheinlichkeit: Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Wahrscheinlichkeitsverteilung, probability density function (pdf) und bzw. Verteilungsfunktion

20 Dichte und Verteilungsfunktion
Dichtefunktion: Verteilungsfunktion: 1.00 1.00 0.75 0.75 0.50 0.50 0.25 0.25 -1 1 2 3 -1 1 2 3

21 Diskrete Verteilungen: Binomialverteilung (Tafel)

22 Binomialverteilung 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

23 Binomialverteilung 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Zum markierten Element gelangt man, wenn man 3 mal den linken und 2 den rechten Pfeil in beliebiger Reihenfolge verwendet. Allgemein: Es gibt Möglichkeiten von n Abzweigungen k mal die linke Abzweigung zu nehmen.

24 Binomialverteilung 1 Rekursionsformel oder 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
5 10 10 5 1 Zum markierten Element gelangt man, wenn man 3 mal den linken und 2 den rechten Pfeil in beliebiger Reihenfolge verwendet. Allgemein: Es gibt Möglichkeiten von n Abzweigungen k mal die linke Abzweigung zu nehmen.

25 Binomialverteilung 1 Rekursionsformel oder 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
5 10 10 5 1 Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeit, dass von n voneinander unabhängigen Experimenten x Erfolge eintreffen Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg Dichte der Binomialverteilung

26 Binomialverteilung Dichte der Binomialverteilung für und
Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 3-maligem Würfeln keinen / genau 1 / 2 / 3 Sechser zu erzielen?

27 Binomialverteilung Dichte der Binomialverteilung für und
Bedingungen für die Dichte: und Binomische Formel:

28 Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 zu Würfeln
Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 zu Würfeln

29 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 oder 2 zu Würfeln

30 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1, 2 oder 3 zu Würfeln

31 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1, 2, 3 oder 4 zu Würfeln

32 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1, 2, 3, 4 oder 5 zu Würfeln

33 Erwartungswert und Varianz

34 Erwartungswert und Varianz
Konkrete Messreihe Theoretischer Wert Mittelwert Gewichteter Mittelwert mit Erwartungswert Schätzung der Varianz Varianz (Beweis: Tafel)

35 Binomialverteilung Dichte der Binomialverteilung für und
Erwarungswert: Erwarungswert Binomische Formel:

36 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 oder 2 zu Würfeln Erwartungswert mit

37 Binomialverteilung Dichte der Binomialverteilung für und
Erwarungswert: Varianz:

38 Binomialverteilung Varianz: Binomische Formel:

39 Binomialverteilung Dichte der Binomialverteilung für und
Erwarungswert: Varianz:

40 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 oder 2 zu Würfeln Standardabweichung mit

41 Binomialverteilung Definition: Die diskrete Zufallsvariable X bezeichnet man als binomialverteilt mit den Parametern n und p, abgekürzt geschrieben 𝑋~𝐵(𝑛,𝑝), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für und Erwarungswert: Varianz:

42 Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

43 Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
cummulative density function (cdf) Dichtefunktion, probability density function (pdf)

44 Diskrete Zufallsvariable
Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an. Werte: Wahrscheinlichkeit: kontinuierliche Zufallsvariable X Idee: Anzahl der Ereignisse n gegen unendlich, Wert des einzelnen Ereignisses gegen null.

45 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

46 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

47 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

48 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

49 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses geht gegen null Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable

50 Stetige Zufallsvariable
Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit wobei die Verteilungsfunktion von X ist Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit

51 Stetige Zufallsvariable
Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit wobei die Verteilungsfunktion von X ist Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit Pail

52 Dichte und Verteilungsfunktion
Dichtefunktion Pail

53 Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert (diskret) Erwartungswert (stetig) Varianz (diskret) Varianz (stetig) Erwartungswertoperator

54 Kontinuierliche Verteilungen: Normalverteilung

55 Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für

56 Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Bedingungen für die Dichte: und

57 Normalverteilung Substitution Polarkoordinaten: Flächenelement:

58 Normalverteilung Erwartungswert: Substitution

59 Normalverteilung Varianz:

60 Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Verteilungsfunktion: Erwartungswert: Varianz:

61 Standardisierte Normalverteilung
Transformation: Zentrierung der Verteilung (Verschiebung entlang der x-Achse) Normierung der Verteilung (Division durch die Standardabweichung) Dichte der standardisierten Normalverteilung Verteilungsfunktion

62 Tabelle

63 3-Sigma Regel Transformation Pail

64 Mehrdimensionale Zufallsvariablen

65 Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail

66 Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Pail Randverteilung

67 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis 15 rote, 5 blaue Kugeln Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach einer roten ein blaue Kugel ohne zurücklegen zu ziehen? rote Kugel: blaue Kugel:

68 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis Bedingte Dichte mit der Randverteilung Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, gilt: Zwei Zufallsvariablen sind genau dann voneinander unabhängig, falls gilt

69 Mehrdimensionale Zufallsverteilung
Mehrdimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail

70 Erwartungswert & Varianz/Kovarianz (Tafel)

71 Zufallsvektor

72 Varianz / Kovarianz Zufallsvektor Erwartungswert
Varianz-Kovarianzmatrix Varianz Kovarianz Kovarianz Operator

73 n x m konstante Koeffizientenmatrix
Varianz / Kovarianz Lineare Transformation n x 1 Zufallsvektor m x 1 Zufallsvektor m x 1 konstanter Vektor n x m konstante Koeffizientenmatrix Erwartungswert Kovarianzmatrix

74 Kovarianzfortpflanzung

75 Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Differenz zweier Streckenmessungen mit Varianz der Differenz

76 Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Mittelwert mit Bei gleicher Varianz

77 Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit
Lineare Transformation? Kovarianzmatrix

78 Polares Anhängen Gemessen: Kovarianzmatrix: Berechnet: Jakobimatrix
Ergebnis

79 Drehung des Koordinatensystems

80 Polares Anhängen Polares Anhängen

81 Drehmatrizen Drehmatrix Inverse Drehung Allgemein: Orthogonale Matrix
(Rotation mit evtl. Spiegelung)

82 Polares Anhängen Polares Anhängen Drehung um Winkel t Kovarianzmatrix
mit

83 Polares Anhängen Drehung um Winkel t Nebenrechnung mit Kovarianzmatrix

84 Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit
Durch Drehung des Koordinatensystems kann man unkorrelierte Zufallsvariablen erhalten! Kovarianzmatrix